楊 瑩, 曹懷信*, 李 靜， 雷娟霞

(1.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710062; 2.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 陜西 渭南 714000)

0 引 言

框架的概念最早由Duffen和Schaeffer在1952年研究非調(diào)和Fourier時提出[1]. 1989年, Heil和Walunt將框架理論與Gabor變換相結(jié)合[2], 使得框架理論有了初步的發(fā)展. 此后, 大批學(xué)者對此進(jìn)行了深入的研究. 20世紀(jì)90年代, Grochenig、Aldroubi[4]、 Sun和Tang[4]開始研究Banach空間中的框架理論. 孫文昌[5,6]教授引入Hilbert空間中g(shù)-框架的概念, 這一定義包含了以往研究過的所有框架, 例如：偽框架、外框架、斜框架、有界偽框架以及子空間框架等. 曹懷信教授[7]提出并研究了Banach空間的(p,Y)-算子框架與p階框架. 近年來, 框架理論已經(jīng)成為一個應(yīng)用廣泛、生機(jī)勃勃的熱點研究領(lǐng)域, 同時也成為信號處理、圖像處理及數(shù)據(jù)壓縮等各種技術(shù)的重要工具之一. 框架的快速發(fā)展廣泛汲取了各個領(lǐng)域的知識, 而將框架與物理概念特別是量子力學(xué)相結(jié)合也為框架的發(fā)展提供新的契機(jī). 本文將討論d維Hilbert空間Cd中框架的一系列重要性質(zhì)，用Fd(A,B)表示Cd中所有以A,B為框架下、上界的框架之集，用Md(A,B)表示期望下界為A, 上界為B的d階正定矩陣之集，研究框架集Fd(A,B)與矩陣集Md(A,B)的一系列重要性質(zhì)，并揭示它們之間的關(guān)系.

1 預(yù)備知識

為了證明本文的主要結(jié)果, 先給出以下定義和相關(guān)結(jié)論.

定義2.1?C∈Md,?φ∈S(Cd), 定義矩陣C關(guān)于φ的期望為Eφ(C)=〈φ|C|φ〉.顯然有如下性質(zhì)：(1)Eφ(·)是線性的；(2)Eφ(·)是連續(xù)的.

定義2.2用Md(A，B)表示期望下界為A, 上界為B的d階正定矩陣之集, 即

用Fd(A,B)表示Hilbert空間Cd的以A為框架下界、B為框架上界的全體框架之集.

2 主要結(jié)果

證明(1)因為?φ∈S(Cd), 有

任取單位向量e∈Cd, 令

所以,A≤Eφ(C)≤B,?φ∈S(Cd)， 因此,C∈Md(A,B)， 顯然π(C)=f. 證畢.

其中λmax=max{λ1,…,λd},λmin=min{λ1,…,λd}.

證明?φ∈S(Cd) , 有

故TCT+∈Md(λminA,λmaxB). 證畢.

定理2.5若C∈Md(A,B),T為下有界的壓縮算子, 則T+CT∈Md(AM2,B).

證明因為T為下有界的壓縮算子, 所以存在常數(shù)M>0,使得

因為C∈Md(A,B), 所以A≤‖C‖≤B,B-1≤‖C-1‖≤A-1. 一方面有

另一方面,

于是,T+CT∈Md(AM2,B) . 證畢.

定理2.6若C∈Md(A,B),T為有界可逆算子, 則T+CT∈Md(‖T-1‖-2A,‖T‖2B).

另一方面,Eφ(T+CT)=‖C1/2T|φ〉‖2≥‖C-1/2‖-2‖T|φ〉‖2≥‖C-1‖-1‖T-1‖-2≥‖T-1‖-2A. 于是T+CT∈Md(‖T-1‖-2A,‖T‖2B). 證畢.

定理3.7(1)Md(A,B)是Md中的閉凸集, 且AId與BId是Md(A,B)的端點；

(2)Id∈Md(A,B)?A≤1≤B；

(3)Dd?Md(d-1,1).

證明(1)設(shè)C1,C2∈Md(A,B) ,且λ1,λ2≥0,λ1+λ2=1, 則

A≤Eφ(λ1C1+λ2C2)=λ1Eφ(C1)+λ2Eφ(C2) ≤B,?φ∈S(Cd)

可見λ1C1+λ2C2∈Md(A,B). 故Md(A,B)是凸集.

設(shè)Cn∈Md(A,B)(n=1,2,…),Cn→C(n→∞), 則

A≤Eφ(Cn) ≤B,?n≥1,?φ∈S(Cd)

因而A≤Eφ(C)≤B,?φ∈S(Cd),故Md(A,B)是閉的.

設(shè)C,D∈Md(A,B),AI=tC+(1-t)D,0

A=Eφ0(AI)=tEφ0(C)+(1-t)Eφ0(D)>tEφ0(C)+(1-t)Eφ0(C)=Eφ0(C)

這與A≤Eφ0(C)矛盾, 所以?φ∈S(Cd), 有Eφ(C)=Eφ(D)=A, 因此C=AI,D=AI. 于是AI∈Ext(Md(A,B)). 同理BI∈Ext(Md(A,B)).

(2)(?)：Id∈Md(A,B), 則有A≤Eφ(Id)≤B,?φ∈S(Cd), 即A≤1≤B.(?)：設(shè)A≤1≤B. 因為

Eφ(Id)=〈φ|Id|φ〉=〈φ|φ〉=1,?φ∈S(Cd)

于是A≤Eφ(Id)≤B,?φ∈S(Cd), 從而Id∈Md(A,B).

(1)若C∈Md(A1,B1),D∈Md(A2,B2), 則C+D∈Md(A1+A2,B1+B2)；

(2)若C∈Md(A,B), 則λC∈Md(λA,λB)；

(3)若C∈Md1(A1,B1),D∈Md2(A2,B2), 則

A1+A2≤Eφ1⊕φ2(C⊕D)≤B1+B2,?φ1∈S(Cd1),φ2∈S(Cd2)

(4)若C∈Md1(A1,B1),D∈Md2(A2,B2), 則

A1A2≤Eφ1?φ2(C?D)≤B1B2,?φ1∈S(Cd1),φ2∈S(Cd2)

(5)若C∈Md(A1,B1),D∈Md(A2,B2),且B2

C-D∈Md(A1-B2,B1-A2)

證明(1)若C∈Md(A1,B1),D∈Md(A2,B2) 由定義知

A1≤Eφ(C)≤B1,A2≤Eφ(D)≤B2,?φ∈S(Cd)

于是A1+A2≤Eφ(C+D)≤B1+B2,?φ∈S(Cd), 故C+D∈Md(A1+A2,B1+B2).

(2)若C∈Md(A,B), 由定義知A≤Eφ(C)≤B,?φ∈S(Cd), 于是

λA≤Eφ(λC)≤λB,?λ∈R+,?φ∈S(Cd)

故λC∈Md(λA,λB).

(3)因為C∈Md1(A1,B1),D∈Md2(A2,B2), 所以由定義知

A1≤Eφ(C)≤B1,?φ∈S(Cd1),A2≤Eφ(D)≤B2,?φ∈S(Cd2)

于是?φ1∈S(Cd1),φ2∈S(Cd2) , 有

A1+A2≤Eφ1⊕φ2(C⊕D)=Eφ1(C)+Eφ2(D)≤B1+B2

(4)因為C∈Md1(A1,B1),D∈Md2(A2,B2), 所以由定義知

A1≤Eφ(C)≤B1,?φ∈S(Cd1),A2≤Eφ(D)≤B2,?φ∈S(Cd2)

于是,?φ1∈S(Cd1),φ2∈S(Cd2), 有

A1A2≤Eφ1?φ2(C?D)=Eφ1(C)·Eφ2(D)≤B1B2

(5)因為C∈Md(A1,B1),D∈Md(A2,B2), 所以由定義知

A1≤Eφ(C)≤B1,A2≤Eφ(D)≤B2,?φ∈S(Cd)

于是, -B2≤-Eφ(D)≤-A2,?φ∈S(Cd), 從而

0

因此C-D∈Md(A1-B2,B1-A2). 證畢.

參考文獻(xiàn)

[1] Duffin R J, Schaeffer A C. A class of non harmonic Fourier series[J].Transactions of the American Mathematical Society, 1952, 72(2): 341-366.

[2] Heil C, Walnutw D. Continuous and discrete wavelet transforms[J]. SIAM Review, 1989, 31(4): 628-666.

[3] Grochenig K. Describing functions:atomic decompositions versus frames[J]. Monatshefte für Mathematik, 1991, 112(1): 1-41.

[4] Aldroubl A, SUN Q Y, TANG W S. P-frames and shift invariant subspaces ofLp[J]. The Journal of Fourier Analysis and Applications, 2001, 7(1): 1-22.

[5] SUN W C. G-frames and g-Riesz bases[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006, 322(1): 437-452.

[6] SUN W C. Stability of g-frames[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007, 326(2): 858-868.

[7] CAO H X, LI L, CHEN Q J,etal. (p,Y)-Operator frames for a Banach space[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, 347(2): 583-591.

[8] Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases[M], 2002: 344-355.

[9] 朱紅鮮. Hilbert空間中框架與Riesz基的擾動及其正交分解[D]. 西安:陜西師范大學(xué)碩士學(xué)位論文, 2003: 1-39.

[10] 鄒玉梅. Hilbert空間中的框架及廣義框架的相關(guān)性質(zhì)[D].西安:陜西師范大學(xué)碩士學(xué)位論文, 2002: 1-34.

[11] LI S, OGAWA H. Pseudo frames for subspaces with applications[J]. The Journal of Fourier Analysis and Applications, 2004, 10(1): 409-431.

[12] Christensen O, Eldar Y. Dual frames and shift-invariant spaces[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2004, 17(4): 48-68.

[13] Fornasier M. Quasi-orthogonal decompositions of structured frames[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2004, 289(1): 180-199.

[14] Khosravi A, Kamran M. Fusion frames and g-frames[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, 342(1): 1 068-1 083.

[15] Cao H X. Bessel sequences in a Hilbert space[J]. J. Eng. Math., 2000, 17(2): 92-98.

[16] 李春艷, 曹懷信. Banach空間中的框架與Riesz基[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報, 2006, 49(6): 1 361-1 366.

[17] 李春艷, 曹懷信. Banach空間中框架的獨(dú)立性[J]. 河北師范大學(xué)學(xué)報, 2007, 31(2): 159-162.

[18] 陳崢立,曹懷信,陸 玲. Hilbert空間中幾種基的關(guān)系[J]. 西北大學(xué)學(xué)報, 2008, 30(3): 345-353.

[19] 郅偉萍, 曹懷信. 框架的冗余性及其對小波重構(gòu)的影響[J]. 寶雞文理學(xué)院學(xué)報, 2007, 27(1): 1-4.