●鄭 怡 (寧波市第三中學(xué) 浙江寧波 315040)

例談數(shù)學(xué)應(yīng)用題在高考中的作用

●鄭 怡 (寧波市第三中學(xué) 浙江寧波 315040)

數(shù)學(xué)的應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要組成部分，是這門學(xué)科存在價(jià)值的一個(gè)具體體現(xiàn)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容．新課程標(biāo)準(zhǔn)指出:“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”．在數(shù)學(xué)高考試題中，應(yīng)用題是必不可少的組成部分，歷來(lái)受到廣大師生的重視．

1 考查要求

能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問題;能理解對(duì)問題陳述的材料，并對(duì)所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題;應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題并加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地表達(dá)和說(shuō)明．

2 考點(diǎn)回顧

浙江省從2004年開始實(shí)行自主命題．這幾年來(lái)，對(duì)應(yīng)用題的考查一直是比較穩(wěn)定的，主要集中在概率、排列組合、隨機(jī)變量的分布列等內(nèi)容，題型以一個(gè)解答題為主，難度一般屬于中檔題．其中也有對(duì)函數(shù)、數(shù)列、不等式以及解析幾何等高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容的考查，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，總體難度不高．

3 命題走勢(shì)

筆者預(yù)計(jì)2011年浙江省數(shù)學(xué)高考應(yīng)用題還將以常規(guī)的概率應(yīng)用題為主，可能會(huì)結(jié)合新課程的部分考點(diǎn)，譬如統(tǒng)計(jì)、算法等．

4 典例剖析

例1甲、乙、丙3個(gè)人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是＿ (用數(shù)字作答)． (2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

評(píng)注本題主要考查了排列與組合的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)以及分類討論的思想．

例2已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員3次投籃恰有2次命中的概率:先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0 表示不命中;再以每 3 個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員3次投籃恰有2次命中的概率為( )

A．0．35 B．0．25 C．0．20 D．0．15

(2009年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題)

評(píng)注本題考查了獨(dú)立重復(fù)事件的概率以及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生．

例3為了測(cè)量山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在點(diǎn)A，B進(jìn)行測(cè)量，點(diǎn)A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖1)，飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括:(1)指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出);(2)用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟．

圖1

(2009年寧夏、海南數(shù)學(xué)高考理科試題)

方案1(1)需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有:點(diǎn)A到點(diǎn)M，N 的俯角 α1，β1;點(diǎn) B 到點(diǎn) M，N 的俯角 α2，β2;A，B的距離d．

(2)第1步，計(jì)算AM，由正弦定理得

評(píng)注本題主要考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，思路開闊，答案不唯一．

例45位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定:(1)第1位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第2位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前2位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和;(2)若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手1次，當(dāng)?shù)?0個(gè)數(shù)被報(bào)出時(shí)，5位同學(xué)拍手的總次數(shù)為＿＿ ．

(2009年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題)

解這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律是:從第3個(gè)數(shù)開始遞增，且是前 2 項(xiàng)之和，有 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987…，分別除以 3 得余數(shù)分別是1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0…．由此可見，余數(shù)的變化規(guī)律是按 1，1，2，0，2，2，1，0循環(huán)，周期是8．在這一個(gè)周期內(nèi)第4個(gè)數(shù)和第8個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)，因此在3個(gè)周期內(nèi)共有6位同學(xué)報(bào)出的數(shù)是3的倍數(shù)，后面6個(gè)報(bào)出的數(shù)中余數(shù)是1，1，2，0，2，2，只有1 個(gè)是3 的倍數(shù)，故3 的倍數(shù)總共有7個(gè)，也就是說(shuō)拍手的總次數(shù)為7．

評(píng)注這樣得到的數(shù)列是歷史上著名的斐波那契數(shù)列．尋找規(guī)律是解決本問題的關(guān)鍵．

精題集粹

1．小明中午放學(xué)回家自己煮面條吃，有下面幾道工序:①洗鍋盛水2分;②洗菜6分;③準(zhǔn)備面條及佐料2分;④用鍋把水燒開10分;⑤煮面條和菜共3分．以上各道工序除了④之外，一次只能進(jìn)行一道工序．問小明要將面條煮好，最少要用( )

A．13分 B．14分 C．15分 D．23分

2．在20．2℃，細(xì)菌受到5%的消毒溶液消毒，每小時(shí)細(xì)菌的死亡率為11%．在此環(huán)境下對(duì)一批消毒對(duì)象進(jìn)行消毒，要使細(xì)菌的存活率低于原來(lái)的5%，消毒時(shí)間最少為＿＿ 小時(shí)(結(jié)果四舍五入精確到1小時(shí))．

3．有一種游戲規(guī)則如下:口袋里有5個(gè)紅球和5個(gè)黃球，一次摸出5個(gè)，若顏色相同，則得100分;若4個(gè)球顏色相同，另一個(gè)不同，則得50分;其他情況不得分．小張摸1次得分的期望是＿＿ ．

4．為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如表1所示的列聯(lián)表．

表1 學(xué)生愛打籃球情況

已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為

(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整．

(2)是否有99．5%的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)?說(shuō)明你的理由．

(3)已知喜愛打籃球的10位女生中，A1，A2，A3，A4，A5還喜歡打羽毛球，B1，B2，B3還喜歡打乒乓球，C1，C2還喜歡踢足球．現(xiàn)從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的女生中各選出1名進(jìn)行其他方面的調(diào)查，求B1和C1不全被選中的概率．

臨界值表2供參考．

表2 臨界值

參考答案

4．(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如表3．

表3 學(xué)生愛打籃球情況

(2)因?yàn)?/p>