基于最小二乘法的工作面上隅角瓦斯?jié)舛确治龇椒ㄑ芯?/h1>
2011-01-22 01:23:07李紅曉湯友誼
中國礦業(yè) 2011年7期
李紅曉，湯友誼
(1. 河南理工大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院，河南 焦作 454000；2. 河南省煤層氣開發(fā)利用有限公司，河南 鄭州 450016)
目前我國的國有重點煤礦中，49.8%是高瓦斯和突出礦井。在這些礦井中，工作面上隅角的巷道為直角轉(zhuǎn)彎，風(fēng)流在此容易形成渦流，并且此處是采空區(qū)漏風(fēng)的交匯處，易形成工作面上隅角瓦斯積聚。當(dāng)遇到高溫?zé)嵩磿r，就會造成瓦斯爆炸，從而造成人員傷亡和財產(chǎn)損失。
為了控制上隅角瓦斯積聚，實踐中一般是采取每日對上隅角瓦斯進(jìn)行監(jiān)測，當(dāng)測得瓦斯?jié)舛瘸^允許界限時便采取一定的防治上隅角瓦斯積聚的措施，如：在工作面上隅角附近設(shè)置木板隔墻或帆布風(fēng)障；將回風(fēng)巷道后的聯(lián)絡(luò)眼的密閉打開，并在工作面回風(fēng)巷中設(shè)置調(diào)節(jié)風(fēng)門或掛風(fēng)簾，迫使一部分風(fēng)流經(jīng)上隅角后由采空區(qū)經(jīng)聯(lián)絡(luò)眼排除等措施[1]。在分析研究上隅角氣體變化規(guī)律時，經(jīng)常需要分析大量規(guī)律性不強的數(shù)據(jù)，一般難以通過觀察預(yù)測氣體未來變化趨勢，需要找到一種方法來擬合和分析數(shù)據(jù)的變化趨勢。最小二乘法可以較好地對上隅角瓦斯氣體變化規(guī)律進(jìn)行理論分析和擬合，擬合結(jié)果對防治工作面上隅角瓦斯積聚具有指導(dǎo)作用。
1 數(shù)據(jù)分析模型
在科學(xué)實驗的統(tǒng)計方法研究中，往往要從一組實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i= 1,2,…,n)中尋找出自變量x和因變量y之間的函數(shù)關(guān)系y=φ(x)。由于觀測數(shù)據(jù)不夠準(zhǔn)確，并不要求y=φ(x)經(jīng)過所有的點(xi,yi)，只要求在給定xi上誤差δi=φ(xi)-yi按照某種標(biāo)準(zhǔn)最小。通常采用歐氏范數(shù)‖δ‖2作為誤差量度的標(biāo)準(zhǔn)，這就是最小二乘法。在選擇了曲線的數(shù)學(xué)模型之后，使用最小二乘法求取曲線方程中的待定系數(shù)，一般通過對偏差的平方和對每個待定系數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，使偏導(dǎo)數(shù)為零，來建立方程組[2]。
1.1 最小二乘法多項式擬合過程
實踐中得到一組數(shù)據(jù)(xi，yi) (i=1, 2,…,n)時，常會遇到因變量y與自變量x之間根本不存在線性關(guān)系。此時可以考慮用一個次數(shù)低于n-1次多項式[3]
y=φ(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm(m
其中，a0，a1，…，am為待定系數(shù)，使其“最好”地擬合這組數(shù)據(jù)。“最好”的標(biāo)準(zhǔn)是：使得φ(x)在xi的偏差
的平方和
達(dá)到最小。
擬合曲線y=φ(x)通常不過點(xi,yi)。把(xi,yi)代入y=φ(x)，便得到以a0,a1,…,am為未知量的矛盾方程組，寫為矩陣形式為
Ax=b
其中
那么以上矛盾方程的最小二乘解，也就是正則方程組ATAx=ATb的解，其中AT是矩陣A的轉(zhuǎn)置。
由此方程組得到的唯一解代入擬合多項式y(tǒng)=φ(x)，即得所求的擬合曲線。可利用上隅角處n組氣體觀測數(shù)據(jù)(xi,yi) (i=1, 2, ...,n)，xi代表時間，yi代表某種氣體的濃度，通過最小二乘擬合得出氣體隨時間的變化關(guān)系式y(tǒng)=φ(x)。
1.2 氣體相關(guān)性分析
為了分析各種指標(biāo)氣體濃度之間的相關(guān)關(guān)系，可引入相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析。由概率論可知[4]，兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)ρX，Y定義為：
式中：X代表某種氣體的濃度；Y代表另一種氣體的濃度；Cov(X，Y)為隨機變量X和Y的協(xié)方差；D(X)、D(Y)分別為隨機變量X、Y的方差。相關(guān)系數(shù)ρX，Y的取值范圍為[-1，1]，ρX，Y的絕對值越大，說明隨機變量X和Y的相關(guān)性越好，反之越差。當(dāng)ρX，Y為負(fù)值時，說明隨機變量X和Y的的變化方向相反，反之變化方向相同。
2 工程實例應(yīng)用
2.1 擬合數(shù)據(jù)選取
為了分析實測工作面上隅角的瓦斯?jié)舛?，按照上述方法，選取2009年11月18日到2010年1月4日觀測的瓦斯數(shù)據(jù)40組進(jìn)行分析，觀測數(shù)據(jù)如表1所示。
2.2 最小二乘法多項式擬合
對上隅角40組CH4氣體數(shù)據(jù)，利用MATLAB中的polytool工具進(jìn)行擬合，可以得到CH4濃度的大致分布，如圖1所示。其中，橫坐標(biāo)代表第幾天測量的數(shù)據(jù)，d；縱坐標(biāo)代表CH4濃度，%。
從圖1中可以看出，中間的實線能大致反映觀測數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，用polytool函數(shù)的目的是便于選取擬合函數(shù)模型。選用4次多項式進(jìn)行擬合。在MATLAB中利用命令[P, S]=polyfit(x, y, 4)得出P值，這個值就是擬合多項式的系數(shù)，由y=poly2str(P, ‘x’)值得到擬合多項式為[5]：
y=(-0.06306x4+ 6.4603x3-211.16x2+ 2315.5x + 37170)×10-5
擬合后的圖形及其殘差如圖2所示。從圖2中發(fā)現(xiàn)，第36天觀測的數(shù)據(jù)殘差很大，這是因為那天工作面處于停采狀態(tài)，測得的數(shù)據(jù)不能代表正常開采時上隅角瓦斯的濃度。
表1 瓦斯觀測數(shù)據(jù)
3 曲線擬合分析
3.1 擬合方法的分析
理論上，提高多項式的次數(shù)可以提高擬合的精度。實驗中有40組數(shù)據(jù)，最大可進(jìn)行39次多項式擬合。高次多項式擬合確實使得曲線經(jīng)過大部分的已知試驗點，但曲線兩端精度很差，不能很好的反映氣體的變化規(guī)律。即高次多項式擬合的效果并不理想，如圖3所示。從圖4中我們可以看出，3、4、5次多項式擬合的標(biāo)準(zhǔn)差分別是0.37532、0.3705、0.33388，4次擬合優(yōu)于3次擬合。高次多項式會產(chǎn)生Runge現(xiàn)象[6]，除非已知數(shù)據(jù)來自高次多項式，否則多項式擬合的次數(shù)一般不超過6次。圖3中表明5次擬合效果并不理想，因此，4次擬合較合適。
3.2 擬合效果分析
圖5所示為利用MATLAB中的regress和rcoplot函數(shù)得到的殘差及其置信區(qū)間。從圖5上可以看出，39組數(shù)據(jù)的殘差都在置信區(qū)間里。擬合效果比較理想，所以擬合曲線成立。如果想更精確的去分析數(shù)據(jù)，可以通過判斷殘差剔除不理想的數(shù)據(jù)后多次擬合。
3.3 擬合結(jié)果分析
從圖2看出，CH4的濃度在一定的范圍內(nèi)波動，這是由工作面開采條件決定的。工作面的風(fēng)量和工作面的開采進(jìn)度是不斷變化的，造成采空區(qū)漏風(fēng)的不同和工作面瓦斯釋放速度的不同，使得CH4在工作面上隅角積聚的濃度發(fā)生變化波動。
圖1 CH4濃度的大致分布
圖2 擬合圖形及其殘差分布
圖3 3、4、5次多項式擬合對比
圖4 3、4、5次多項式擬合殘差分布
圖5 殘差及其置信區(qū)間
3.4 氣體的相關(guān)性分析
為了更好的分析工作面上隅角瓦斯的變化規(guī)律，以及考慮上隅角瓦斯的來源，本文引入相關(guān)系數(shù)來分析上隅角和其他氣體的相關(guān)性。利用表1中的數(shù)據(jù)，在MATLAB中利用函數(shù)r=corrcoef(x，y)計算出上隅角瓦斯氣體與工作面的瓦斯氣體的相關(guān)系數(shù)r為
上隅角瓦斯氣體與工作面的瓦斯氣體的相關(guān)系數(shù)為0.441。說明上隅角瓦斯的來源只有一小半來自于工作面采煤釋放的瓦斯，而一多半來自于采空區(qū)漏風(fēng)帶出的瓦斯。因此，該工作面的漏風(fēng)是比較嚴(yán)重的。漏風(fēng)把采空區(qū)的瓦斯帶出，一部分停留在上隅角，造成上隅角的瓦斯?jié)舛雀哂谄渌胤降耐咚節(jié)舛取Ｒ虼?，為了控制采空區(qū)瓦斯被大量帶到工作面，應(yīng)控制采空區(qū)漏風(fēng)量。
從整體來說，上隅角的瓦斯?jié)舛冗€沒有達(dá)到瓦斯積聚的濃度。這主要和該工作面的通風(fēng)方式有關(guān)。該工作面采用回風(fēng)尾巷法排放瓦斯，使得大量瓦斯從尾巷排除，上隅角不容易瓦斯積聚。
4 結(jié)論
本文利用MATLAB，基于最小二乘法對實測工作面上隅角的CH4濃度進(jìn)行了擬合分析。結(jié)果顯示，該工作面上隅角CH4濃度在正常開采時，CH4濃度符合4次多項式分布。根據(jù)礦上實際條件和相關(guān)性分析結(jié)果，得出工作面上隅角的瓦斯一小半來自于工作面，一多半來自于采空區(qū)漏風(fēng)攜帶的瓦斯。由此判斷出采空區(qū)的漏風(fēng)情況有利于控制上隅角瓦斯的積聚。最小二乘法提供了一種分析數(shù)據(jù)的方法，可以在煤礦數(shù)據(jù)分析中加以推廣。
[1] 王德明. 礦井通風(fēng)與安全[M]. 徐州: 中國礦業(yè)大學(xué)出版社, 2007: 258-259.
[2] 余明高, 常緒華, 賈海林, 等. 基于最小二乘法的高抽巷CO濃度變化規(guī)律分析[J]. 防災(zāi)減災(zāi)工程學(xué)報, 2010, 30(2): 190-195.
[3] 黃永安, 李文成, 高小科. MATLAB7.0/Simulink6.0應(yīng)用實例仿真與高效算法開發(fā)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2008.
[4] 高雷阜, 李偉. 新編概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 沈陽：東北大學(xué)出版社, 2000.
[5] 蘇金明, 阮沈勇. MATLAB實用教程[M]. 北京：電子工業(yè)出版社, 2005.
[6] 林永. 高次插值Runge現(xiàn)象的可視化教學(xué)初探[J]. 宿州學(xué)院學(xué)報, 2008, 23(5): 147-149.
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目前我國的國有重點煤礦中，49.8%是高瓦斯和突出礦井。在這些礦井中，工作面上隅角的巷道為直角轉(zhuǎn)彎，風(fēng)流在此容易形成渦流，并且此處是采空區(qū)漏風(fēng)的交匯處，易形成工作面上隅角瓦斯積聚。當(dāng)遇到高溫?zé)嵩磿r，就會造成瓦斯爆炸，從而造成人員傷亡和財產(chǎn)損失。
為了控制上隅角瓦斯積聚，實踐中一般是采取每日對上隅角瓦斯進(jìn)行監(jiān)測，當(dāng)測得瓦斯?jié)舛瘸^允許界限時便采取一定的防治上隅角瓦斯積聚的措施，如：在工作面上隅角附近設(shè)置木板隔墻或帆布風(fēng)障；將回風(fēng)巷道后的聯(lián)絡(luò)眼的密閉打開，并在工作面回風(fēng)巷中設(shè)置調(diào)節(jié)風(fēng)門或掛風(fēng)簾，迫使一部分風(fēng)流經(jīng)上隅角后由采空區(qū)經(jīng)聯(lián)絡(luò)眼排除等措施[1]。在分析研究上隅角氣體變化規(guī)律時，經(jīng)常需要分析大量規(guī)律性不強的數(shù)據(jù)，一般難以通過觀察預(yù)測氣體未來變化趨勢，需要找到一種方法來擬合和分析數(shù)據(jù)的變化趨勢。最小二乘法可以較好地對上隅角瓦斯氣體變化規(guī)律進(jìn)行理論分析和擬合，擬合結(jié)果對防治工作面上隅角瓦斯積聚具有指導(dǎo)作用。
1 數(shù)據(jù)分析模型
在科學(xué)實驗的統(tǒng)計方法研究中，往往要從一組實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i= 1,2,…,n)中尋找出自變量x和因變量y之間的函數(shù)關(guān)系y=φ(x)。由于觀測數(shù)據(jù)不夠準(zhǔn)確，并不要求y=φ(x)經(jīng)過所有的點(xi,yi)，只要求在給定xi上誤差δi=φ(xi)-yi按照某種標(biāo)準(zhǔn)最小。通常采用歐氏范數(shù)‖δ‖2作為誤差量度的標(biāo)準(zhǔn)，這就是最小二乘法。在選擇了曲線的數(shù)學(xué)模型之后，使用最小二乘法求取曲線方程中的待定系數(shù)，一般通過對偏差的平方和對每個待定系數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，使偏導(dǎo)數(shù)為零，來建立方程組[2]。
1.1 最小二乘法多項式擬合過程
實踐中得到一組數(shù)據(jù)(xi，yi) (i=1, 2,…,n)時，常會遇到因變量y與自變量x之間根本不存在線性關(guān)系。此時可以考慮用一個次數(shù)低于n-1次多項式[3]
y=φ(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm(m
其中，a0，a1，…，am為待定系數(shù)，使其“最好”地擬合這組數(shù)據(jù)。“最好”的標(biāo)準(zhǔn)是：使得φ(x)在xi的偏差
的平方和
達(dá)到最小。
擬合曲線y=φ(x)通常不過點(xi,yi)。把(xi,yi)代入y=φ(x)，便得到以a0,a1,…,am為未知量的矛盾方程組，寫為矩陣形式為
Ax=b
其中
那么以上矛盾方程的最小二乘解，也就是正則方程組ATAx=ATb的解，其中AT是矩陣A的轉(zhuǎn)置。
由此方程組得到的唯一解代入擬合多項式y(tǒng)=φ(x)，即得所求的擬合曲線。可利用上隅角處n組氣體觀測數(shù)據(jù)(xi,yi) (i=1, 2, ...,n)，xi代表時間，yi代表某種氣體的濃度，通過最小二乘擬合得出氣體隨時間的變化關(guān)系式y(tǒng)=φ(x)。
1.2 氣體相關(guān)性分析
為了分析各種指標(biāo)氣體濃度之間的相關(guān)關(guān)系，可引入相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析。由概率論可知[4]，兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)ρX，Y定義為：
式中：X代表某種氣體的濃度；Y代表另一種氣體的濃度；Cov(X，Y)為隨機變量X和Y的協(xié)方差；D(X)、D(Y)分別為隨機變量X、Y的方差。相關(guān)系數(shù)ρX，Y的取值范圍為[-1，1]，ρX，Y的絕對值越大，說明隨機變量X和Y的相關(guān)性越好，反之越差。當(dāng)ρX，Y為負(fù)值時，說明隨機變量X和Y的的變化方向相反，反之變化方向相同。
2 工程實例應(yīng)用
2.1 擬合數(shù)據(jù)選取
為了分析實測工作面上隅角的瓦斯?jié)舛?，按照上述方法，選取2009年11月18日到2010年1月4日觀測的瓦斯數(shù)據(jù)40組進(jìn)行分析，觀測數(shù)據(jù)如表1所示。
2.2 最小二乘法多項式擬合
對上隅角40組CH4氣體數(shù)據(jù)，利用MATLAB中的polytool工具進(jìn)行擬合，可以得到CH4濃度的大致分布，如圖1所示。其中，橫坐標(biāo)代表第幾天測量的數(shù)據(jù)，d；縱坐標(biāo)代表CH4濃度，%。
從圖1中可以看出，中間的實線能大致反映觀測數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，用polytool函數(shù)的目的是便于選取擬合函數(shù)模型。選用4次多項式進(jìn)行擬合。在MATLAB中利用命令[P, S]=polyfit(x, y, 4)得出P值，這個值就是擬合多項式的系數(shù)，由y=poly2str(P, ‘x’)值得到擬合多項式為[5]：
y=(-0.06306x4+ 6.4603x3-211.16x2+ 2315.5x + 37170)×10-5
擬合后的圖形及其殘差如圖2所示。從圖2中發(fā)現(xiàn)，第36天觀測的數(shù)據(jù)殘差很大，這是因為那天工作面處于停采狀態(tài)，測得的數(shù)據(jù)不能代表正常開采時上隅角瓦斯的濃度。
表1 瓦斯觀測數(shù)據(jù)
3 曲線擬合分析
3.1 擬合方法的分析
理論上，提高多項式的次數(shù)可以提高擬合的精度。實驗中有40組數(shù)據(jù)，最大可進(jìn)行39次多項式擬合。高次多項式擬合確實使得曲線經(jīng)過大部分的已知試驗點，但曲線兩端精度很差，不能很好的反映氣體的變化規(guī)律。即高次多項式擬合的效果并不理想，如圖3所示。從圖4中我們可以看出，3、4、5次多項式擬合的標(biāo)準(zhǔn)差分別是0.37532、0.3705、0.33388，4次擬合優(yōu)于3次擬合。高次多項式會產(chǎn)生Runge現(xiàn)象[6]，除非已知數(shù)據(jù)來自高次多項式，否則多項式擬合的次數(shù)一般不超過6次。圖3中表明5次擬合效果并不理想，因此，4次擬合較合適。
3.2 擬合效果分析
圖5所示為利用MATLAB中的regress和rcoplot函數(shù)得到的殘差及其置信區(qū)間。從圖5上可以看出，39組數(shù)據(jù)的殘差都在置信區(qū)間里。擬合效果比較理想，所以擬合曲線成立。如果想更精確的去分析數(shù)據(jù)，可以通過判斷殘差剔除不理想的數(shù)據(jù)后多次擬合。
3.3 擬合結(jié)果分析
從圖2看出，CH4的濃度在一定的范圍內(nèi)波動，這是由工作面開采條件決定的。工作面的風(fēng)量和工作面的開采進(jìn)度是不斷變化的，造成采空區(qū)漏風(fēng)的不同和工作面瓦斯釋放速度的不同，使得CH4在工作面上隅角積聚的濃度發(fā)生變化波動。
圖1 CH4濃度的大致分布
圖2 擬合圖形及其殘差分布
圖3 3、4、5次多項式擬合對比
圖4 3、4、5次多項式擬合殘差分布
圖5 殘差及其置信區(qū)間
3.4 氣體的相關(guān)性分析
為了更好的分析工作面上隅角瓦斯的變化規(guī)律，以及考慮上隅角瓦斯的來源，本文引入相關(guān)系數(shù)來分析上隅角和其他氣體的相關(guān)性。利用表1中的數(shù)據(jù)，在MATLAB中利用函數(shù)r=corrcoef(x，y)計算出上隅角瓦斯氣體與工作面的瓦斯氣體的相關(guān)系數(shù)r為
上隅角瓦斯氣體與工作面的瓦斯氣體的相關(guān)系數(shù)為0.441。說明上隅角瓦斯的來源只有一小半來自于工作面采煤釋放的瓦斯，而一多半來自于采空區(qū)漏風(fēng)帶出的瓦斯。因此，該工作面的漏風(fēng)是比較嚴(yán)重的。漏風(fēng)把采空區(qū)的瓦斯帶出，一部分停留在上隅角，造成上隅角的瓦斯?jié)舛雀哂谄渌胤降耐咚節(jié)舛取Ｒ虼?，為了控制采空區(qū)瓦斯被大量帶到工作面，應(yīng)控制采空區(qū)漏風(fēng)量。
從整體來說，上隅角的瓦斯?jié)舛冗€沒有達(dá)到瓦斯積聚的濃度。這主要和該工作面的通風(fēng)方式有關(guān)。該工作面采用回風(fēng)尾巷法排放瓦斯，使得大量瓦斯從尾巷排除，上隅角不容易瓦斯積聚。
4 結(jié)論
本文利用MATLAB，基于最小二乘法對實測工作面上隅角的CH4濃度進(jìn)行了擬合分析。結(jié)果顯示，該工作面上隅角CH4濃度在正常開采時，CH4濃度符合4次多項式分布。根據(jù)礦上實際條件和相關(guān)性分析結(jié)果，得出工作面上隅角的瓦斯一小半來自于工作面，一多半來自于采空區(qū)漏風(fēng)攜帶的瓦斯。由此判斷出采空區(qū)的漏風(fēng)情況有利于控制上隅角瓦斯的積聚。最小二乘法提供了一種分析數(shù)據(jù)的方法，可以在煤礦數(shù)據(jù)分析中加以推廣。
[1] 王德明. 礦井通風(fēng)與安全[M]. 徐州: 中國礦業(yè)大學(xué)出版社, 2007: 258-259.
[2] 余明高, 常緒華, 賈海林, 等. 基于最小二乘法的高抽巷CO濃度變化規(guī)律分析[J]. 防災(zāi)減災(zāi)工程學(xué)報, 2010, 30(2): 190-195.
[3] 黃永安, 李文成, 高小科. MATLAB7.0/Simulink6.0應(yīng)用實例仿真與高效算法開發(fā)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2008.
[4] 高雷阜, 李偉. 新編概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 沈陽：東北大學(xué)出版社, 2000.
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