胡賽陽(yáng)，馬淞江，羅道成

(1. 清遠(yuǎn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 清遠(yuǎn) 511510；2. 湖南科技大學(xué)，湖南 湘潭 411201)

我國(guó)礦產(chǎn)資源總量豐富，品種齊全，但人均占有量少[1-2]。礦產(chǎn)資源代際公平配置問題，屬于礦產(chǎn)資源合理開發(fā)利用與節(jié)約和可持續(xù)發(fā)展理論研究的重要范疇，近年來(lái)，已有眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了較為深入的研究。王日華等[3]認(rèn)為，資源在代際之間的永續(xù)利用是可持續(xù)發(fā)展的核心問題。這一問題，在當(dāng)代人利益激勵(lì)和后代人主體缺位的條件下是不可能自然實(shí)現(xiàn)的。所以，對(duì)人們賴以生存的自然資源進(jìn)行公平合理的代際管理和分配，是實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的必由之路。魏曉平[4]闡述了礦產(chǎn)資源代際公平配置理念，探討了公正儲(chǔ)蓄率與真正儲(chǔ)蓄內(nèi)涵、提出了真正儲(chǔ)蓄為非負(fù)的兩個(gè)必要條件，研究了貼現(xiàn)率與礦產(chǎn)資源可持續(xù)利用的關(guān)系及調(diào)節(jié)資源利用貼現(xiàn)率的途徑。王金洲等[5]認(rèn)為，礦產(chǎn)資源具有不可再生性，從而產(chǎn)生了耗竭問題。從可持續(xù)發(fā)展觀來(lái)看，必然涉及到當(dāng)代人與未來(lái)各代人之間代際資源優(yōu)化配置問題及公平問題。因而，實(shí)行礦產(chǎn)資源耗竭補(bǔ)償費(fèi)的實(shí)質(zhì)，是當(dāng)代人的過(guò)度開采對(duì)未來(lái)消費(fèi)者造成損失的部分價(jià)值補(bǔ)償。這種補(bǔ)償費(fèi)應(yīng)以國(guó)家為資源所有者身份向資源使用者所征收，因而它包括礦山地租、資源耗竭補(bǔ)償費(fèi)和環(huán)境補(bǔ)償費(fèi)3個(gè)部分。國(guó)家征收補(bǔ)償費(fèi)應(yīng)用之于加強(qiáng)地質(zhì)勘查及資源保護(hù)和尋找新的替代資源，以保證資源的可持續(xù)利用。魏曉平等[6]運(yùn)用數(shù)學(xué)模型對(duì)資源的替代問題進(jìn)行了定量分析，從經(jīng)濟(jì)角度推導(dǎo)出了礦產(chǎn)資源耗竭及替代發(fā)生的條件及特殊情況下礦產(chǎn)資源的最佳配置，為進(jìn)一步研究礦產(chǎn)資源的代際公平配置奠定了理論基礎(chǔ)，對(duì)礦產(chǎn)資源的保護(hù)利用具有重要的意義。魏曉平[7]認(rèn)為，礦產(chǎn)資源是自然界中有限、稀缺的可耗性資源，其開采利用無(wú)疑會(huì)導(dǎo)致最終可采儲(chǔ)量為零，從理論上講是達(dá)不到持續(xù)利用的。該文作者根據(jù)非再生資源的最佳開采條件、最佳存量條件，從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度對(duì)礦產(chǎn)資源耗竭過(guò)程進(jìn)行了定量分析。龐保成[8]則認(rèn)為，礦產(chǎn)資源開采利用后可轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂性鲋的芰Φ馁Y本資產(chǎn)，由于資金具有時(shí)間價(jià)值，因此為了達(dá)到礦產(chǎn)資源利用的凈效益現(xiàn)值之和最大，資源的分配使用量應(yīng)隨著時(shí)間推移而遞減，而不同時(shí)期的分配比例取決于受利率等因素影響的貼現(xiàn)率的大小。在追求經(jīng)濟(jì)效益最大化的同時(shí)，要兼顧代際公平，即為后代儲(chǔ)存一定量的資源。該文在論述礦產(chǎn)資源有效配置的同時(shí)，對(duì)邊際開采成本逐漸增長(zhǎng)、礦產(chǎn)資源最優(yōu)耗竭理論、礦產(chǎn)資源利用貼現(xiàn)率和為后代儲(chǔ)存的礦產(chǎn)資源量等問題進(jìn)行了討論。彭秀平[9]提到，礦產(chǎn)資源代際公平配置的主要形式是相對(duì)公平配置—效用上的公平配置。而這種公平配置，可以通過(guò)人類各代人的共同努力，依賴于科技進(jìn)步，采取循環(huán)利用、替代資源開發(fā)、尋求新礦產(chǎn)等方式實(shí)現(xiàn)。這就意味著，要實(shí)現(xiàn)礦產(chǎn)資源的代際公平配置，人類必須在耗用礦產(chǎn)資源的同時(shí)，努力促進(jìn)礦產(chǎn)資源效用存量的增加，二者不可偏廢。本文針對(duì)礦產(chǎn)資源代際公平配置問題，通過(guò)簡(jiǎn)化假設(shè)建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)，對(duì)礦產(chǎn)資源代際公平配置的可能性和實(shí)現(xiàn)條件進(jìn)行了初步分析，為礦產(chǎn)資源的可持續(xù)發(fā)展作了一些有益的探索。

1 礦產(chǎn)資源效用增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型

從理論上說(shuō)，人類社會(huì)的科技進(jìn)步是無(wú)止境的，從而礦產(chǎn)資源的替代資源開發(fā)也是無(wú)止境的。因此，在此意義上說(shuō)，礦產(chǎn)資源效用具有與生物資源類似的特性—被耗用之后可以再增長(zhǎng)。所不同的是，這種增長(zhǎng)并非天然出現(xiàn)的，而是靠人類勞動(dòng)和物化勞動(dòng)的投入來(lái)實(shí)現(xiàn)的。通過(guò)人類勞動(dòng)使礦產(chǎn)資源效用總量增長(zhǎng)的途徑主要有：地質(zhì)勘探(導(dǎo)致礦產(chǎn)資源可用儲(chǔ)量增加)、二次礦產(chǎn)資源回收(對(duì)可循環(huán)利用的礦產(chǎn)資源而言)、新技術(shù)導(dǎo)致的礦產(chǎn)資源的節(jié)約、新型礦產(chǎn)的發(fā)現(xiàn)、可自然再生替代資源的開發(fā)利用等。下面先不考慮耗用，建立礦產(chǎn)資源效用純?cè)鲩L(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型。

為了敘述方便，考慮某種具體的礦產(chǎn)資源效用(稱之為A資源效用)。為簡(jiǎn)單起見，先給出如下假設(shè)：1)假設(shè)A資源效用的所有組成部分對(duì)于人類來(lái)說(shuō)都是同質(zhì)的，從而可以相加。這樣一來(lái)，就可以使用A資源效用的總量來(lái)描述該種資源隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)特征。2)假設(shè)A資源效用的增長(zhǎng)率只與其總量有關(guān)，而不直接與時(shí)間有關(guān)。這是因?yàn)榈V產(chǎn)資源效用總量的增長(zhǎng)，依賴于人類的勞動(dòng)與物化勞動(dòng)的投入，而人們投入的積極性直接受其擁有的礦產(chǎn)資源效用總量的影響，所以這種假設(shè)是基本合理的。3)假設(shè)A資源效用總量的增長(zhǎng)是其自然損耗(如鈾的蛻變)、人類對(duì)A資源的偏好與補(bǔ)償力度共同作用的結(jié)果。為了簡(jiǎn)化問題的討論，將從平均水平上來(lái)考慮資源效用的增長(zhǎng)現(xiàn)象。也就是說(shuō)，以所有A資源效用單位時(shí)間平均增長(zhǎng)的百分率作為A資源效用的各種構(gòu)成要素的增長(zhǎng)率進(jìn)行分析，以排除各種隨機(jī)因素的干擾。4)假設(shè)A資源效用總量是時(shí)間t的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。上述假設(shè)顯然不完全符合礦產(chǎn)資源的實(shí)際情況，特別是假設(shè)1)和4)。但為了簡(jiǎn)化分析，只能在這樣的假設(shè)下進(jìn)行討論，以便在較為簡(jiǎn)單的情形下掌握處理問題的思路。由假設(shè)1)，可以用M(t)表示第t代人可支配的A資源效用總量。由假設(shè)4)可以認(rèn)為M(t)是可導(dǎo)的。顯然M(t)=dM(t)/dt給出了A資源效用的增長(zhǎng)速度，而M(t)/M(t)就是A資源效用在單位時(shí)間內(nèi)平均增長(zhǎng)的百分率。由假設(shè)2)，可得A資源效用增長(zhǎng)的模型為：

M(t)/M(t)=f[M(t)]

亦即：

M(t)=f[M(t)]M(t) (1)

式中，f[M(t)]按照假設(shè)3)應(yīng)理解為所有A資源效用單位時(shí)間平均增長(zhǎng)的百分率。

由于邊際效用遞減規(guī)律的作用，人類對(duì)礦產(chǎn)資源效用的偏好將隨著其總量的增加而下降，且用于補(bǔ)償?shù)呢?cái)力是有限的，所以應(yīng)假設(shè)f(M)是M的減函數(shù)，而且M必存在一個(gè)飽和值B，使f(B)=0。最簡(jiǎn)單的情形是設(shè)它為M的線性減函數(shù)：即f[M(t)]=R[1-M(t)/B]。此時(shí)模型1)就可以寫成：

M(t)=R[1-M(t)/B]M(t) (2)

式中，B為由于人類補(bǔ)償能力所限的A資源總量可達(dá)到的飽和值；R表示人類在A資源總量增長(zhǎng)上的投入力度(或者稱為補(bǔ)償力度)，可理解為單位時(shí)間內(nèi)投入的促進(jìn)A資源總量增長(zhǎng)的人類勞動(dòng)與和物化勞動(dòng)的總和。

式(2)與生態(tài)學(xué)上的Logistic方程具有完全一致的形式。經(jīng)計(jì)算可得該方程的解為：

M(t)=B/[1+Ce-Rt]

式中，(B-M0)/M0，M0=M(0)。易知，當(dāng)M00，此時(shí)M(t)必隨著時(shí)間t的無(wú)限增大而其圖象呈S型曲線增長(zhǎng)(拐點(diǎn)為t=lnC/R)，并以指數(shù)率收斂于B。

模型(2)反映了礦產(chǎn)資源效用總量增長(zhǎng)的基本特性，并且形式比較簡(jiǎn)單。下面將在此基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步討論。

2 礦產(chǎn)資源代際配置的數(shù)學(xué)模型

2.1 礦產(chǎn)資源代際配置的Scheafer模型

實(shí)際上，礦產(chǎn)資源效用只增長(zhǎng)而不耗用是不可能的。如果用Logistic方程(2)所描述的A資源總量以速率g[M(t)]被第t代人耗用，則(2)式變?yōu)椋?/p>

M(t) =R[1-M(t)/B]M(t)-g[M(t)] (3)

式中，g[M(t)]表示M(t)的函數(shù)。由于消費(fèi)心理的作用，較多的A資源擁有量總是導(dǎo)致人們對(duì)該資源消耗速度的加快，所以一般情況下，g[M(t)]是M(t)的增函數(shù)。為簡(jiǎn)單計(jì)，假設(shè)g[M(t)]與M(t)成正比，即：

g[M(t)] =HM(t) (4)

式中，比例系數(shù)H稱為耗用力度，可理解為人類單位時(shí)間內(nèi)投入的用于A資源耗用(開采、加工、利用)的人類勞動(dòng)與物化勞動(dòng)的總和。若用S表示人類單位時(shí)間內(nèi)可用于A資源補(bǔ)償與耗用的力度總量，則顯然R+H=S。將式(4)代入式(3)，可得：

M(t) =R[1-M(t)/B]M(t)-HM(t) (5)

這就是將要討論的礦產(chǎn)資源效用代際配置的數(shù)學(xué)模型，通常稱之為Scheafer模型[10]。

2.2 模型的平衡態(tài)和礦產(chǎn)資源效用的代際配置

式(5)右端給出的增長(zhǎng)函數(shù)如圖1所示。不難看出，當(dāng)H0，則意味著有這樣一個(gè)A資源效用存量。在這個(gè)存量下，當(dāng)人類以力度H來(lái)耗用A資源效用并且同時(shí)以力度R進(jìn)行補(bǔ)償性投資以促進(jìn)A資源效用的增長(zhǎng)時(shí)，A資源的效用將始終維持在這個(gè)存量水平上不再增多，也不再減少。也就是說(shuō)，這時(shí)人類將世世代代可耗用HM2這么多的A資源效用。我們則稱：

Y* =HM2=HB(1-H/R) (6)

式(6)是補(bǔ)償力度為R、耗用力度為H時(shí)的A資源效用的代際公平配置量。

圖1 增長(zhǎng)函數(shù)示意圖

還可以對(duì)平衡態(tài)M1、M2進(jìn)行穩(wěn)定性分析。由圖1可以看出，當(dāng)H 0，而對(duì)于M>M2，則有M< 0。因此，式(5)的解在相空間(M軸)的動(dòng)態(tài)分析表明M2是穩(wěn)定的，而M1不穩(wěn)定。也就是說(shuō)，當(dāng)耗用力度H低于補(bǔ)償力度R時(shí)，A資源效用存量總能自行調(diào)節(jié)到存量M2上去，代際公平配置的實(shí)現(xiàn)是可能的。

如果H≥R，則圖1中射線HM與R(1-M/B)M，除M1=0外，不再有第二個(gè)交點(diǎn)。而且在M軸的正半軸處有M< 0，這時(shí)M1= 0將是穩(wěn)定的。在這種情形下，由于耗用力度超過(guò)了補(bǔ)償力度，使得A資源效用存量不斷減少直至完全耗竭，A資源效用的代際公平配置是不可能實(shí)現(xiàn)的。

2.3 礦產(chǎn)資源效用的最大公平配置量

建立礦產(chǎn)資源效用代際公平配置模型的目的之一，在于制定一種補(bǔ)償—耗用策略，使得在代際公平的條件下，為各代人提供最大的耗用量。從數(shù)學(xué)上說(shuō)，就是在M=0或者R(1-M/B)M-g(M) = 0的條件下，極大化所期望的耗用量。對(duì)于上述Scheafer模型(5)，可以從數(shù)學(xué)上描述為：

maxY=HM

S.t.R(1-M/B)M-HM= 0

這里它可以歸結(jié)為由式(6)所示的H和R的二元二次函數(shù)Y*(H,R)在約束條件R+H=S下的最大值問題，即：

maxY*(H,R) =HB(1-H/R)

S.t.R+H=S

或者一元函數(shù)：

的最大值。利用求最大值的方法計(jì)算可得：

從而：

這里Hm為能實(shí)現(xiàn)A資源效用最大代際公平配置量的耗用力度；Rm為相應(yīng)的補(bǔ)償力度；Ym為A資源效用最大代際公平耗用量；而Mm為實(shí)現(xiàn)A資源效用最大代際公平配置的可用存量。

3 結(jié) 論

通過(guò)簡(jiǎn)化假設(shè)而建立的數(shù)學(xué)模型中可以看出，只有當(dāng)每代人對(duì)礦產(chǎn)資源效用增長(zhǎng)的投資或補(bǔ)償力度大于其耗用力度時(shí)，實(shí)現(xiàn)礦產(chǎn)資源效用的代際公平配置才成為可能。雖然這些假設(shè)不一定能夠完全反映礦產(chǎn)資源開發(fā)的實(shí)際，但其中反映的基本思想仍然具有一定的啟迪作用，即人類在對(duì)礦產(chǎn)資源效用進(jìn)行耗用的同時(shí)，必須通過(guò)一定的方式和更大的力度對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償性投資，以促進(jìn)其可用存量的增長(zhǎng)，只有這樣，才能實(shí)現(xiàn)礦產(chǎn)資源效用的代際公平配置。

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