黃善波，李兆敏

(1.中國石油大學(xué)儲運與建筑工程學(xué)院，山東青島 266555;2.中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東青島 266555)

黏彈性流體環(huán)空內(nèi)脈動層流流動的理論解析

黃善波1，李兆敏2

(1.中國石油大學(xué)儲運與建筑工程學(xué)院，山東青島 266555;2.中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東青島 266555)

結(jié)合運動方程和本構(gòu)方程，建立同心環(huán)空內(nèi)上隨體Maxwell型黏彈性流體在周期性壓力梯度作用下脈動層流流動的數(shù)學(xué)模型，采用固有函數(shù)法對模型進(jìn)行理論求解，得到環(huán)空內(nèi)的速度分布，并討論各種因素對環(huán)空內(nèi)速度分布的影響。結(jié)果表明:受周期性壓力梯度作用的影響，環(huán)空內(nèi)的速度隨時間呈周期性變化;流體的彈性作用使環(huán)空內(nèi)的速度剖面具有顯著區(qū)別于牛頓流體的特征。

脈動流;黏彈性流體;Maxwell流體;環(huán)空;周期性壓力梯度

橫截面積均勻一致的同心環(huán)空內(nèi)的流動現(xiàn)象在化學(xué)、食品、石油、環(huán)境保護(hù)等工業(yè)領(lǐng)域內(nèi)有廣泛的應(yīng)用背景。同心環(huán)空內(nèi)牛頓流體與非牛頓流體的定常流動規(guī)律已研究得比較充分［1-8］，而在平均值不為零的周期性壓力梯度作用下的同心環(huán)空內(nèi)的非定常脈動流中，由于脈動流的物理機制復(fù)雜，并具有一定的非常規(guī)特性，使這方面的研究具有一定的難度。目前，對圓管內(nèi)的非定常脈動流已有一定的研究基礎(chǔ)［9-16］，而對同心環(huán)空內(nèi)的脈動流，特別是黏彈性流體在同心環(huán)空內(nèi)脈動流的研究報道尚不多見。筆者以上隨體Maxwell型黏彈性流體為研究對象，通過理論分析的方法得到其在同心環(huán)空內(nèi)充分發(fā)展的層流脈動流的分析解。

1 物理及數(shù)學(xué)模型

在如圖1所示的同心環(huán)空內(nèi)，常物性、不可壓縮的黏彈性流體在如下的周期性壓力梯度作用下產(chǎn)生了脈動流:

式中，pz為環(huán)空內(nèi)的平均壓力梯度，Pa/m;pA為壓力梯度脈動的振幅，Pa/m;ω 為脈動的頻率，s－1。

忽略黏性耗散效應(yīng)，并假設(shè)流動為已充分發(fā)展的層流流動，環(huán)空內(nèi)的速度場可表示為

這樣，柱坐標(biāo)下黏彈性流體的運動方程可簡化為

式中，τrz為剪切應(yīng)力分量。

圖1 同心環(huán)空的物理模型Fig.1 Physical model of concentric annuli

采用上隨體Maxwell模型作為黏彈性流體的本構(gòu)方程:式中，T為偏應(yīng)力張量;A為一階Rinlin-Erickson張量;λ為黏彈性流體的松弛時間，s;η0為流體的零剪切黏度，Pa·s;▽為上隨體導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)同心環(huán)空軸對稱的特點，柱坐標(biāo)系下本構(gòu)方程中的τrz可簡化為

這就是黏彈性流體環(huán)空內(nèi)脈動流的數(shù)學(xué)模型。

2 數(shù)學(xué)模型的求解

式中，F(xiàn)p(ˉt)為非齊次項;Ha是表征黏彈性流體彈性和黏性相對大小的無量綱參數(shù);Rev為脈動雷諾數(shù);A為壓力梯度脈動的無量綱振幅;α為環(huán)空內(nèi)外半徑之比。

方程(8)為二階非齊次線性偏微分方程，采用固有函數(shù)法［17］進(jìn)行求解。首先，通過分離變量法得到如下的本征函數(shù):

方程(12)為二階非齊次線性常微分方程，式(13)是其定解條件之一。為保證解的唯一性還需補充一個定解條件。為此，假設(shè)在初始時刻Tm(ˉt)為ˉt的線性函數(shù)，由方程(12)和(13)得到另一個定解條件為

3 計算結(jié)果分析

3.1 脈動流速度構(gòu)成特點

由式(15)可以看出，黏彈性流體環(huán)空脈動流的速度分布是由3項構(gòu)成的，其中空間項Cm(ˉr)反映了速度在空間的分布規(guī)律，時間項Tmi(ˉt)(i=1，2，3)則體現(xiàn)了速度隨時間的變化規(guī)律。時間項Tmi(ˉt)又由兩項構(gòu)成，其中Tmsi(ˉt)項中不含有Rev，反映了平均壓力梯度對速度分布的的貢獻(xiàn);Tmai(ˉt)項中含有Rev，反映了脈動壓力梯度對速度的貢獻(xiàn)。這樣，環(huán)空內(nèi)的速度分布實際上是由兩個分速度疊加構(gòu)成的:一是在平均壓力梯度作用下的分速度;二是在脈動壓力梯度作用下的脈動分速度。

3.2 幾種極限情形

通過對若干極限情形的分析，可以間接地驗證上述推導(dǎo)過程的準(zhǔn)確性。

3.3 速度分布規(guī)律

其他條件相同時(Rev=5.0、A=0.4和α=0.2)不同黏彈性流體在一個穩(wěn)定脈動周期內(nèi)不同時刻的速度剖面見圖2(Tc為壓力梯度的脈動周期)。由圖2可見，流體的彈性對環(huán)空內(nèi)速度剖面的形狀有決定性的影響。由圖2(a)可知，當(dāng)Ha數(shù)較小時，流體的彈性效應(yīng)不明顯，此時環(huán)空內(nèi)任一時刻的速度剖面均近似于拋物型，各點的速度變化同步，與穩(wěn)態(tài)充分發(fā)展流動和牛頓流體脈動流時的速度剖面相似。但是，隨著Ha數(shù)增加，流體彈性增強，速度剖面的拋物線形狀逐漸發(fā)生變化，環(huán)空內(nèi)各位置處的速度變化不再同步，某些時刻內(nèi)壁面附近流體和外壁面附近流體的流動方向相反，如圖2(b)所示。隨著流體彈性的進(jìn)一步增強，速度剖面呈現(xiàn)出波浪形，而且流體彈性越強，波數(shù)越多(圖2(c)、(d))。顯然，流體的彈性是產(chǎn)生這種變化的根本原因。

脈動Rev數(shù)對速度剖面的影響見圖3(Ha=1.0，A=0.4，α =0.2)。

圖2 不同黏彈性流體的速度剖面Fig.2 Velocity profile in annuli for different viscoelastic fluids

圖3 不同Rev數(shù)下環(huán)空內(nèi)的速度剖面Fig.3 Velocity profile in annuli for different Revnumber

在Rev數(shù)較小、脈動較弱時，環(huán)空內(nèi)各時刻的速度分布均近似于牛頓流體的拋物線型分布。隨Rev數(shù)不斷增加，速度剖面逐漸偏離拋物線型，各點的速度變化也不再同步，并隨Rev數(shù)增加而出現(xiàn)波浪形分布，并且速度剖面波浪形的波數(shù)隨脈動的增強而逐漸增多。

壓力脈動幅度對速度剖面的影響見圖4。圖4表明，脈動振幅基本上不改變環(huán)空內(nèi)瞬時速度剖面的形狀，但會影響到環(huán)空內(nèi)各點速度變化的幅度。振幅越大，環(huán)空內(nèi)各點速度變化的幅度就越大。

圖4 不同脈動振幅下環(huán)空內(nèi)的速度剖面Fig.4 Velocity profile in annuli at different pulse amplitude

4 結(jié)論

(1)黏彈性流體環(huán)空內(nèi)的脈動流是由平均壓力梯度作用下的分速度和脈動壓力梯度作用下的脈動分速度構(gòu)成的，是流體彈性和壓力梯度脈動共同作用的結(jié)果。

(2)表征流體彈性的Ha數(shù)和表征脈動的Rev數(shù)對環(huán)空內(nèi)速度剖面的影響規(guī)律相似。隨著Ha數(shù)和Rev數(shù)增加，環(huán)空內(nèi)的速度剖面不再是拋物線型分布，各位置處的速度變化也不再同步，速度剖面呈現(xiàn)出波浪形，而且流體的彈性越強或壓力梯度的脈動頻率越高，波數(shù)就越多。脈動振幅的變化基本不改變速度剖面的形狀，但影響速度隨時間的變化幅度。

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Theoretical analysis of pulsating laminar flow of viscoelastic fluid in annuli

HUANG Shan-bo1，LI Zhao-min2
(1.College of Pipeline and Civil Engineering in China University of Petroleum，Qingdao 266555，China;2.School of Petroleum Engineering in China University of Petroleum，Qingdao 266555，China)

By combining the momentum equation and the constitutive equation，a mathematical model for the pulsating laminar flow of the upper-convected Maxwell viscoelastic fluid under periodic pressure gradient in concentric annuli was set up.The velocity profile was obtained by using the intrinsic function method and the factors influencing the velocity profile were discussed.The results show that the velocity in annuli changes periodically with time due to the periodic pressure gradient.Fluid elasticity is responsible for the difference of velocity profile for Newtonian fluid and non-Newtonian fluid.

pulsating flow;viscoelastic fluid;Maxwell fluid;annuli;periodic pressure gradient

O 337

A >

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.05.017

1673-5005(2011)05-0094-05

2011－02－26

教育部重點科學(xué)技術(shù)研究項目(109158);中國石油大學(xué)博士科研基金項目(Y081524)

黃善波(1970－)，男(漢族)，山東文登人，副教授，博士，主要從事非牛頓流體力學(xué)理論與應(yīng)用研究。

(編輯 沈玉英)