周 俊，吳傳生，朱華平

（武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430070）

通常，由平移不變模糊函數(shù)和噪聲所導(dǎo)致的圖像降質(zhì)離散模型可表示為

其中，f（k，l）為M×N 的原始圖像；g（i，j）是帶有噪聲的模糊圖像，大小為（2 m－1）×（2n－1）的h（s，t）為成像系統(tǒng)的二維點擴散函數(shù)（PSF）.

為減少圖像邊界處的振鈴現(xiàn)象，本文假設(shè)原始圖像具有Neumann邊界條件（反射邊界條件）.假定離散的點擴散函數(shù)h（s，t）是對稱的（散焦模糊、水平運動和垂直運動模糊所對應(yīng)的點擴散函數(shù)是對稱的），此處的對稱是指

模型（1）可以轉(zhuǎn)化為如下模型：

1 具有對稱性的點擴散函數(shù)的圖像復(fù)原的 TSVD 方法［3－7］

sR2（M－1）×2（N－1）表示2（M－1）×2（N－1）的實對稱矩陣，此處的對稱是指：X ∈ R2（M－1）×2（N－1），

以F ∈sR（2M－2）×（2N－2）表示f ∈ RM×N的偶延拓，將h周圍補零擴充為M×N的矩陣并延拓為（2 M－2）×（2 N－2）的矩陣，記為H，如下所示：

顯然 H ∈sR（2M－2）×（2N－2）.

“否”在《齊》中未見，“否”在《周》中僅4見，位于句末作否定副詞，此用法在《國語》中已經(jīng)出現(xiàn)，“‘否’是一個用法較特殊的否定副詞：它不作狀語，用于肯定否定迭用的句子中，表示否定的一面。”[5]《戰(zhàn)國策》中“否”也是此用法。例2“否”位于疑問句末時省略謂語中心，可補全。

以Fext，Hext表示F與H的周期延拓滿足，顯然Fext，Hext滿足

將模糊圖像g以圖像中心點作為對稱中心進行對稱交換并延拓為（2 M－2）×（2 N－2）的矩陣，記為G，從而模型（2）可轉(zhuǎn)化為以下解卷問題：

對于X ∈Cp×q，離散卷積算子TX：Cp×q→Cp×q定義如下：

于是式（3）寫成

此處

通過計算方程（4）的正則解，可得到復(fù)原的圖像.

因為H是對稱的，TH的奇異系通過余弦變換容易得到，從而得到如下的TSVD算法：

步驟1 H0＝DTC（H（1：M，1：N）），

步驟2 k＝k＋1，按如下公式計算矩陣S：

步驟3 如果β（ik，jk）＜α轉(zhuǎn)步驟4，否則轉(zhuǎn)步驟2；

步驟4 計算fk＝IDCT（Sk），fk即為復(fù)原的圖像.

2 直線運動模糊圖像復(fù)原的TSVD方法

任意方向直線運動模糊所對應(yīng)的點擴散函數(shù)并不是對稱的，所以以上方法并不適用，下面考慮將不具有對稱性的任意直線運動模糊轉(zhuǎn)化為具有對稱性的水平直線運動模糊.目前已有許多關(guān)于任意方向直線運動模糊的點擴散函數(shù)的參數(shù)的確定方法［8－11］，本文假設(shè)點擴散函數(shù)的參數(shù)已知，即已知模糊的角度θ和模糊的長度I.

而直線運動模糊圖像僅僅由該運動方向上的像素相互作用形成，沿角度θ方向，以1像素為步長作一系列平行直線，對模糊圖像進行劃分，每條直線上的像素按從圖像頂部到圖像底部的順序進行排列，這樣就構(gòu)成了一個水平像素列，而該直線上的運動模糊近似可看作水平直線運動模糊，即該水平像素列可以看作由水平直線運動模糊形成，水平直線運動的模糊參數(shù)（模糊長度）仍然為l.轉(zhuǎn)化示意見圖1.而水平直線運動模糊的點擴散函數(shù)是對稱的，從而可以利用TSVD方法復(fù)原模糊圖像.

任意方向的直線運動模糊轉(zhuǎn)換為水平直線運動模糊可以采用以下簡單方法：將模糊圖像進行－θ角度的旋轉(zhuǎn)，則模糊方向變?yōu)樗剑瑢γ恳恍蟹謩e進行復(fù)原，然后進行θ角度的旋轉(zhuǎn)即可得復(fù)原圖像.

圖1 任意方向的直線運動模糊轉(zhuǎn)換為水平直線運動模糊Fig.1 Transform random orientation＇s linear motion’s fuzzy image into horizontal orientation＇s linear motion’s fuzzy image

上述TSVD算法可改寫為如下算法：

步驟1 沿θ方向以像素為單位作一系列平行直線劃分模糊圖像g，把每條直線上像素按從上到下的順序排列成一行，假設(shè)共有R行，則得到R個行向量，記為Gr（r＝1，2，…，R），模糊長度為l，可得水平直線運動模糊的點擴散函數(shù)h，對h進行延拓 記 為 H，H0＝ DTC（H（1：M，1：N）），βi，j＝H0（i，j），對｜βi，j｜從大到小排序，即：β（i1，j1）≥β（i2，j2）≥ …β（in，jn）r＝0；

步驟2 r＝r＋1，G0＝DCT（Gr），

步驟3 k＝k＋1，按如下公式計算矩陣S

步驟4 如果β（ik，jk）＜αr轉(zhuǎn)步驟5，否則轉(zhuǎn)步驟3；

步驟5 計算fk＝IDCT（Sk），把fk轉(zhuǎn)換到相應(yīng)圖像位置，記為F；

步驟6 若r＜R，轉(zhuǎn)步驟2，否則轉(zhuǎn)步驟7；

步驟7 F即為復(fù)原圖像.

3 圖像恢復(fù)實驗

實驗由Matlab 7.0實現(xiàn)，算法中τ＝1.5，復(fù)原圖像fk的相對誤差定義為

大小為256×256的原始圖像f為Matlab中的＇cameraman＇圖像（見圖2）.

圖2 原始圖像Fig.2 Primitive image

實驗中，原始圖像被長度為10、角度為30的離散點擴散函數(shù)模糊，所得模糊圖像大小為246×246.CPU運行時間為1.094 000s，復(fù)原圖像的相對誤差為0.007 6，運動模糊圖像及復(fù)原圖像見圖3和圖4.

圖3 長度為10、角度為30°的模糊圖像Fig.3 Fuzzy image whose length is 10 and angle is 30degree

圖4 復(fù)原圖像Fig.4 Image restoration

4 結(jié)論

本文的方法是將任意方向直線運動的模糊圖像沿模糊角度的方向用一系列平行直線進行劃分，把每條直線上的運動模糊看做水平直線運動模糊，分別采用TSVD方法進行復(fù)原，TSVD方法的最大優(yōu)點是對噪聲不敏感，可以有效避免噪聲對復(fù)原圖像的影響.通過數(shù)值實驗表明，該方法對任意方向直線運動模糊圖像的復(fù)原問題有很好的效果，而且速度很快.但是本文的方法依賴于模糊長度與模糊角度這兩個參數(shù)，參數(shù)的準確性對復(fù)原效果的優(yōu)劣有很大影響.

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