田 力

（河南省白龜山水庫灌溉工程管理局，河南 平頂山市 467031）

1 流域概況

白龜山水庫位于淮河流域沙潁河水系沙河本干上。是一座大（Ⅱ）型水庫，以防洪為主，兼顧灌溉、供水、養(yǎng)魚等綜合利用。控制流域面積2 740km2，它與上游昭平臺水庫形成梯級水庫，區(qū)間流域面積1 310km2。水庫下游有平頂山、漯河、周口等重要城市和京珠高速、京廣鐵路及107國道。漯河以下為豫皖平原，地理位置極為重要。

目前，水庫洪水預(yù)報模型和方法的研究已經(jīng)比較成熟，預(yù)報方案的精度評定也有相應(yīng)規(guī)范，但對洪水預(yù)報誤差分布特性的研究不多。已有的方法主要是采用正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布來描述，對于一次降雨徑流過程，在不發(fā)生決堤等災(zāi)害的情況下，模型預(yù)報誤差是隨著降雨增大而逐漸趨于穩(wěn)定，控制在一個有限的區(qū)域內(nèi)。因為當(dāng)流域下墊面達到飽和后，所有降雨全部產(chǎn)流，預(yù)報凈雨量與實際凈雨量基本相等。而正態(tài)分布的兩端是趨于無窮大的，在實際洪水預(yù)報操作中發(fā)現(xiàn)直接用其描述洪水預(yù)報誤差分布規(guī)律是欠合理的。為此，建立了基于極大熵洪水預(yù)報誤差分布的模型，通過白龜山水庫歷史洪水的預(yù)報誤差樣本序列，分析其模型預(yù)報誤差的分布規(guī)律。

2 洪水預(yù)報誤差分布的極大熵模型建立

熵增原理在信息熵領(lǐng)域則叫做“極大熵原理”。按照極大熵準(zhǔn)則，在不確定性問題的所有可行解中，應(yīng)該選擇在一定約束下使得熵（或條件熵）能達到極大化的一個解，即對數(shù)據(jù)的內(nèi)插或外推采取最客觀的態(tài)度。而熵最大就意味著獲得的總信息量最少，即所添加的信息量最少，因為數(shù)據(jù)不足而做的人為假定也（人為添加信息）最小，從而所獲得的解是最合乎自然、偏差最小的。

水文水資源學(xué)科從本質(zhì)上看，是一門有關(guān)水信息（采集、傳輸、整理、分析、應(yīng)用）的學(xué)科，其中存在著許多不確定性問題[1]，極大熵原理是一種有效的解決途徑。國內(nèi)外許多學(xué)者曾將極大熵原理應(yīng)用到水文頻率分析、徑流對降雨的條件分布等[2～3]問題中，但在預(yù)報誤差分布規(guī)律方面研究的不多。

對于洪水總量的預(yù)報誤差，其分布特性是與已知誤差信息有關(guān)的。由于無法通過概率論理論直接推導(dǎo)出誤差變量的先驗分布，誤差數(shù)據(jù)又十分有限，因此是一個典型的不確定性問題。只能依據(jù)有限的歷史洪水預(yù)報誤差序列，推求一種概率分布，使它和已有歷史洪水預(yù)報誤差的信息基本一致，并且沒有太大誤差，極大熵準(zhǔn)則正好可以有效地解決這個問題。

就一場洪水而言，洪水總量預(yù)報誤差或正或負，對多次洪水，則可以將模型的預(yù)報誤差限定在一個有限區(qū)域（-a，a）內(nèi)。設(shè)預(yù)報誤差變量為x，其概率密度函數(shù)為f（x），在區(qū)域（-a，a）內(nèi)，誤差分布應(yīng)滿足一般概率分布的約束式（2）。同時由于誤差為確定數(shù)值，所以樣本的各階原點距也是存在的，即應(yīng)當(dāng)滿足約束式（3）。則最終建立的誤差分布極大熵模型為：

式中m為所用矩的階數(shù)，為第i階原點矩。

3 洪水預(yù)報誤差分布的極大熵模型求解

上述模型的求解是一個泛函條件極值問題。為了求得f（x）的表達式，根據(jù)變分法引入拉格朗日乘子λ0，λ1，…，λm，設(shè)J為拉格朗日函數(shù)，R表示積分區(qū)域［-a，a］，則

要使函數(shù)J達到極值，令導(dǎo)數(shù)dJ/df（x）等于零，解之得

式（5）即為洪水總量預(yù)報誤差的概率密度函數(shù)解析形式，只要確定其中的參數(shù)λ，就可以完全確定函數(shù)f（x），文獻[4]也給出了參數(shù)λ的具體求解方法。將式（5）代入約束條件式（2），可解得

將式（6）代λi求導(dǎo)，得

通過式（7）可建立求解λ1，λ2，…，λm的m個方程組，求出λ1，λ2，…，λm后，可根據(jù)式（6）求出λ0。但由于式（7）是一個二元非線性方程組，目前沒有解析解法，而且存在多解現(xiàn)象，幾何意義是幾張曲面在空間相交的公共點。因此將式（7）轉(zhuǎn)換為一個非線性優(yōu)化問題，令

4 計算結(jié)果

根據(jù)表1的模擬預(yù)報結(jié)果，計算產(chǎn)流預(yù)報誤差序列的1階、2階和3階原點矩，分別為m1，m2，m3。將其帶入式（8），得到3個殘差方程

另外，極大熵分布與指數(shù)的理論分布（以指數(shù)分布為例）概率密度函數(shù)曲線，如圖1所示，兩者已基本重合。從圖1中可以看出，極大熵分布已對理論分布做出了較好逼近。由此可以看出，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，利用極大熵模型求解概率分布是可行的，精度也相對比較高。

表1 白龜山水庫場次洪水模擬結(jié)果

表2 白龜山水庫不同預(yù)報誤差上限對應(yīng)結(jié)果

圖1 指數(shù)分布與極大熵分布概率密度曲線圖

研究結(jié)果表明：

（1）當(dāng)誤差上限達到一定值時，誤差分布則基本保持不變。

（2）極限誤差的大小與水庫產(chǎn)流模型的預(yù)報精度和誤差系列有關(guān)。預(yù)報精度越高，誤差就會越小。

（3）白龜山水庫的產(chǎn)流方案預(yù)報誤差極限值為35mm。從表中還可以看出，殘差平方和的量級已經(jīng)很小，能夠滿足防洪調(diào)度的精度要求

上述預(yù)報誤差分布規(guī)律是通過有限的歷史洪水?dāng)?shù)據(jù)分析得到的，反映的是流域?qū)嶋H已發(fā)生洪水的預(yù)報誤差分布規(guī)律，對應(yīng)的基本都是中小洪水。對流域從未發(fā)生的設(shè)計校核等大洪水，當(dāng)實際降雨量級達到此標(biāo)準(zhǔn)時可能會發(fā)生決堤等情況，此時預(yù)報誤差在趨于穩(wěn)定后會再增大。但這類洪水多缺乏實際觀測資料，因此文中暫不考慮這類情況。

［1］王棟，朱元生.最大熵原理在水文水資源科學(xué)中的應(yīng)用［J］.水科學(xué)進展，2001，12（3）：75-80.

［2］李元章，叢樹錚.熵及其在水文頻率計算中的應(yīng)用［J］.水文，1985，（1）：22-26.

［3］Sonuga JO.Principle ofmaximum entropy in hydrologic frequency analysis［J］.JHydrol，1972，17：177-191.

［4］李繼清，張玉山，王麗萍，紀(jì)昌明.應(yīng)用最大熵原理分析水利工程經(jīng)濟效益的風(fēng)險[J].水科學(xué)進展，2003，14（5）:626-630.