孫萬麟,黃玉劃,山拜·達拉拜

(1.昌吉學(xué)院物理系,新疆昌吉 831100;2.南京航空航天大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇南京210016;3.新疆大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,新疆烏魯木齊 830046)

乘性噪聲作用下線性系統(tǒng)的隨機共振及其抑噪應(yīng)用

孫萬麟1,黃玉劃2,山拜·達拉拜3

(1.昌吉學(xué)院物理系,新疆昌吉 831100;2.南京航空航天大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇南京210016;3.新疆大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,新疆烏魯木齊 830046)

在二階線性系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和固有頻率同時受一類乘性噪聲干擾下,詳細研究利用欠阻尼二階線性系統(tǒng)中的隨機共振消除此類噪聲。研究表明,當(dāng)二階線性系統(tǒng)的固有頻率和被測信號均受乘性高斯白噪聲干擾下,欠阻尼二階線性系統(tǒng)中存在隨機共振現(xiàn)象,該系統(tǒng)的平均輸出幅度增益呈現(xiàn)非單調(diào)變化,不僅在一定條件下大于無噪聲時的增益,而且調(diào)節(jié)適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)和噪聲強度能夠提高幅度增益。因而只要使系統(tǒng)處于共振區(qū)域,就會使夾雜在噪聲中的被測信號突現(xiàn)出來,從而實現(xiàn)信號的檢測。采用可視化仿真軟件SIMUL IN K對此進行了實例模擬。仿真證實了該方法消除乘性噪聲的可行性和有效性。

欠阻尼線性系統(tǒng);隨機共振;乘性噪聲;輸出幅度增益;檢測

廣義的隨機共振(stochastic resonance,SR)是指在有噪聲的系統(tǒng)中,系統(tǒng)輸出信號是噪聲或激勵信號的某個參數(shù)(噪聲強度、激勵信號的幅度或頻率等)的非單調(diào)函數(shù)這樣一種非線性行為[1-2]。隨機共振概念的出現(xiàn),讓人們意識到噪聲的存在不再是一件壞事,有時它還會是某些非線性系統(tǒng)信號提取的有效激勵。若在噪聲強度已知的條件下,通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù),使系統(tǒng)的輸出幅度增益最大;若在系統(tǒng)已知的條件下,通過調(diào)節(jié)噪聲強度,使系統(tǒng)的輸出幅度增益最大,而且使系統(tǒng)處于隨機共振的共振區(qū)域。

隨機共振現(xiàn)象不僅在很多非線性系統(tǒng)中觀察到,而且在乘性噪聲作用的線性系統(tǒng)[1-3]中也發(fā)現(xiàn)了隨機共振現(xiàn)象,主要有2類:一類是仿真研究,如乘性與信號調(diào)制噪聲在線性模型中的隨機共振、具有乘性噪聲的線性振蕩器的隨機共振等方面;另一類是應(yīng)用研究,如隨機共振理論可以用于微弱信號的檢測、在強噪聲下提取信息信號以及對化學(xué)反應(yīng)速度的控制等方面。

單自由度粘滯阻尼過阻尼二階線性系統(tǒng)的隨機共振研究相對較多[4-6],并都假設(shè)在該系統(tǒng)的固有頻率或阻尼系數(shù)和激勵信號二者均受白噪聲或色噪聲干擾下的隨機共振仿真研究[7-12],但對欠阻尼二階線性系統(tǒng)的隨機共振研究非常少,在實際問題中,欠阻尼情況也是普遍存在的。筆者就二階線性系統(tǒng)的固有頻率和被測信號同時受乘性高斯白噪聲干擾下,詳細研究了欠阻尼二階線性系統(tǒng)中的隨機共振及其在信號檢測中的應(yīng)用。

1 線性模型

經(jīng)典力學(xué)模型:質(zhì)量-阻尼-彈簧欠阻尼二階線性系統(tǒng)[1-3]:

2 輸出幅度增益

大量文獻表明,在線性系統(tǒng)中,以系統(tǒng)的輸出幅度增益[4-7]這個特征量來檢驗此系統(tǒng)是否存在隨機共振,定義為輸出幅度與輸入幅度的比值,并取其絕對值。

將式(1)推導(dǎo),可得無噪聲系統(tǒng)的輸出幅度增益表達式為

根據(jù)Shapiro-Loginov公式和相關(guān)刪去法,對于干擾的高斯白噪聲η(t),存在如下關(guān)系式:

利用式(8)對式(7)兩邊取平均,并把式(3)的結(jié)果代入化簡,可得

設(shè)X(s)和F(s)分別表示〈x(t)〉和激勵信號A cos(ωt)的拉普拉斯變換,對式(9)兩邊進行拉普拉斯變換,化簡整理可得如下關(guān)系式:

再對式(10)進行拉普拉斯反變換,可得〈x(t)〉滿足的微分方程為

式(11)微分方程的特征方程為

根據(jù)式(12)解得特征方程的2個根為

筆者研究的是欠阻尼二階線性系統(tǒng),則ξ<ω0,當(dāng)0<ξ<1<ω0和0

把式(13)代入式(11),化簡整理:

可得系統(tǒng)平均輸出幅度增益為

3 討 論

根據(jù)受乘性噪聲干擾下系統(tǒng)的平均輸出幅度增益表達式(式(15))可知,系統(tǒng)的輸出幅度增益是一個關(guān)于阻尼系數(shù)、固有頻率、噪聲強度及激勵信號頻率的非單調(diào)函數(shù)。下面對無噪聲系統(tǒng)的輸出幅度增益式(4)和受乘性噪聲干擾下系統(tǒng)的輸出幅度增益式(15)進行比較,如圖1 -圖5曲線所示。

從圖1-圖5可知,雖然無噪聲系統(tǒng)輸出幅度增益也呈非單調(diào)變化,但噪聲存在時,輸出幅度增益都有可能大于無噪聲時的輸出幅度增益,換句話說,系統(tǒng)中存在噪聲,不但沒有降低系統(tǒng)的輸出幅度增益,反而提高了系統(tǒng)的輸出幅度增益。

圖1 當(dāng)ξ取不同值時,G與ω的關(guān)系Fig.1 Relationship of G andωw henξtakes different values,

隨著系統(tǒng)參數(shù)ξ,ω0的增加,輸出幅度增益G的共振峰向激勵信號頻率ω增大的方向移動,且共振峰越來越小,如圖1、圖2所示。隨著噪聲強度D增大,輸出幅度增益G也逐漸增大,且共振峰向激勵信號頻率ω增加的方向移動,因此,較大的噪聲強度D有利于輸出幅度增益G的提高,如圖3所示。圖4表明,隨著ω0的增加,共振峰向ω增大的方向移動,且輸出幅度增益逐漸變小。圖5表明,輸出幅度增益G隨著ξ的增大而逐漸減小,且共振峰左移,ξ越小,輸出峰值越高,即較小ξ值反而有利于輸出幅度增益的提高。

通過上面比較得出,在系統(tǒng)參數(shù)已知的情況下,調(diào)節(jié)噪聲強度的大小則使輸出幅度增益達到最大值;同樣,在噪聲已知的情況下,調(diào)節(jié)適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)也能使輸出幅度增益達到最大值,從而讓夾雜在噪聲中的被測信號突現(xiàn)出來,實現(xiàn)弱信號的檢測。

4 實例分析

對于受乘性噪聲干擾的欠阻尼二階線性系統(tǒng)的模型(式(2)),采用MA TLAB環(huán)境下的可視化仿真工具SIMUL IN K軟件,對此系統(tǒng)進行了模擬仿真,如圖6所示。

圖6 二階線性模型隨機共振的SIMUL IN K模擬仿真圖Fig.6 Second-o rder linear model of stochastic resonance in SIMUL INK simulation diagram

在實際工程檢測問題中,噪聲的大小是不確定的,根本不可能調(diào)節(jié)噪聲強度來提高輸出幅度增益,只能通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù),使系統(tǒng)、噪聲及信號三者達到最佳匹配,產(chǎn)生隨機共振現(xiàn)象,從而實現(xiàn)弱信號的檢測。筆者以工程中經(jīng)常碰到的正弦信號為激勵信號(也稱被測信號),為了研究方便,噪聲是均值為0、方差為1的高斯白噪聲,系統(tǒng)參數(shù)ξ取一個固定值,僅調(diào)節(jié)固有頻率ω0的大小。圖7-圖10為通過調(diào)節(jié)適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)來實現(xiàn)受乘性噪聲干擾的欠阻尼二階線性系統(tǒng)中弱信號的檢測。

圖8跟圖7、圖9、圖10的系統(tǒng)輸出相比,圖8的系統(tǒng)輸出不僅在波形上有明顯改善,而且信號幅值也比其他3個圖中的大,表明系統(tǒng)把噪聲的部分能量轉(zhuǎn)化為信號能量,提高了信噪比。隨著固有頻率ω0的增大,系統(tǒng)的輸出幅度不僅逐漸減小,而且輸出逐漸失去了與輸入的相關(guān)性,如圖10所示。因此,當(dāng)噪聲和信號已知的情況下,在系統(tǒng)阻尼系數(shù)ξ取一個固定值時,系統(tǒng)的輸出幅度隨著固有頻率ω0的增大而逐漸減小,進一步驗證了前面的結(jié)論,即相對較小的固有頻率有利于輸出幅度增益的提高。

5 結(jié) 語

利用欠阻尼二階線性系統(tǒng)中的隨機共振來消除簡單乘性高斯白噪聲的干擾,通過調(diào)節(jié)適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)或噪聲強度不僅能提高系統(tǒng)輸出幅度增益,而且在某個位置輸出幅度增益會達到最大值,即出現(xiàn)隨機共振現(xiàn)象,這樣會使夾雜在噪聲中的被測信號突現(xiàn)出來,從而實現(xiàn)信號的檢測[10-11]。當(dāng)然,筆者雖然只對簡單乘性高斯白噪聲成功消噪處理,但對于一類乘性噪聲[12],比如常常碰到的乘性色噪聲,所研究方法同樣適用。另外,對于復(fù)雜噪聲背景下的欠阻尼二階線性系統(tǒng)是否也存在參數(shù)調(diào)節(jié)隨機共振現(xiàn)象,是否也能有效消噪,還有待于進一步的研究。

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Stochastic resonance of linear system w ith multip licative noise and its app lication rep ress noise

SUN Wan-lin1,HUANG Yu-hua2,SENBA IDalabaev3
(1.Departmentof Physics,Changji College,Changji Xinjiang 831100,China;2.Schoolof Information Science and Technology, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing Jiangsu 210016,China;3.School of Information Science& Engineering,Xinjiang University,U rumqi Xinjiang 830046,China)

This article studied the use of stochastic resonance of the under-damped second-order linear system to reduce the multiplicative noise.Research show s that w hen intrinsic frequency and input signal of the system are subject to multiplicative Gaussian w hite noise,under-damped second-o rder linear system show s the phenomenon of stochastic resonance.The average output amplitude gain(OAG)is non-linear and under certain conditions the value is greater than that of no noise second-order linear system,and p roper adjustmentof the system parametersand noise intensity can imp rove theoutput amp litude gain.So as long as the system is in the resonance region,weak signal detection of under-damped second-order linear systems can be fulfiled in the noise background.The article used visual simulation software SIMUL INK to simulate some examp les.Simulation confirmed that thismethod resolvedsmultip licative noise feasibly and effectively.

under-damped linear system;stochastic resonance;multiplicative noise;OAG;detection

O211.64

A

1008-1542(2010)06-0517-06

2010-05-17;責(zé)任編輯:陳書欣

國家自然科學(xué)基金資助項目(60062001);昌吉學(xué)院科研基金資助項目(2010YJYB009)

孫萬麟(1982-),女,甘肅白銀人,碩士,主要從事信號、圖像處理及信息技術(shù)方面的研究。