高煥江

(邢臺醫(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)教研室,河北 邢臺 054000)

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像的兩類交點

高煥江

(邢臺醫(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)教研室,河北 邢臺 054000)

用分析方法討論兩個與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有密切聯(lián)系的函數(shù)的性質(zhì),給出了同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像的兩類交點的存在性證明,從一個新的角度揭示指數(shù)曲線與對數(shù)曲線的位置關(guān)系.

指數(shù)函數(shù);對數(shù)函數(shù);導(dǎo)數(shù);斜率;交點

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,指數(shù)曲線y=ax與對數(shù)曲線y=logax(a＞0且a≠1)的交點可以分為兩類:一類在直線y=x上,一類關(guān)于直線y=x對稱.

1 第一類交點

由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,指數(shù)曲線y=ax與對數(shù)曲線y=logax在直線y=x上有無交點取決于方程ax=x(x＞0)有無實數(shù)根,并且有交點時交點的個數(shù)取決于方程ax=x(x＞0)的實數(shù)根個數(shù).為考察方程ax=x有無實數(shù)根以及有實數(shù)根時有幾個實數(shù)根,對方程式ax=x兩邊取對數(shù),得xlna=lnx,即有從而問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)在區(qū)間上的(0,+∞)性態(tài).

當(dāng)0＜x＜e時,f?(x)＞0,曲線f(x)在區(qū)間(0,e)內(nèi)單調(diào)上升;當(dāng)x＞e時,f?(x)＜0,曲線f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)下降;從而f?(x)在x=e處取得極大值f(e)=ee-1(因為x0是f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的唯一駐點,此極小值也是最小值).

由以上討論即知:

(1)當(dāng)a＞ee-1時,直線y=a與曲線無交點,從而方程無實數(shù)解,此時曲線y=ax與y=logax在直線y=x上無交點.

(2)當(dāng)a=ee-1時,直線y=a與曲線有且只有一個交點,從而方程有唯一實數(shù)根,此時曲線y=ax與y=logax在直線y=x上有唯一交點,更進一步還可知y=(ee-1)x與y=elnx的這個唯一交點為(e,e),兩曲線在點(e,e)處的斜率都是1,故a=ee-1時兩曲線相切于直線y=x.

(3)當(dāng)1＜a＜ee-1時,直線y=a與曲線有兩個交點,一個交點在區(qū)間(0,e)內(nèi),另一個在區(qū)間(e,+∞)內(nèi),方程有兩個實數(shù)根,此時曲線y=ax與曲線y=logax在直線y=x上有兩個交點.

2 第二類交點

2.1 引理及其推論

函數(shù)q(x)=xax(lna)2(x＞0)是指數(shù)函數(shù)y=ax的導(dǎo)函數(shù)y′=axlna與對數(shù)y=logax(x＞0)的導(dǎo)函數(shù)y′=的商,通過對這個函數(shù)的研究可以揭示對數(shù)曲線上某一點的斜率與指數(shù)曲線上對應(yīng)點的斜率之間的關(guān)系.

引理若0＜a＜1,則q(x)=xax(lna)2(x＞0)具有如下性質(zhì):在區(qū)間(0,logae-1)內(nèi)單調(diào)增加,在區(qū)間(logae-1,+∞)內(nèi)單調(diào)減小,在x0=logae-1處取得最大值q(x0)=-e-1lna;圖像在區(qū)間(0,logae-2)上是凸的,在區(qū)間(logae-2,+∞)上是凹的,拐點為值域為區(qū)間(0,-e-1lna].

證明q(x)=xax(lna)2(x＞0)的導(dǎo)數(shù)q′(x)=(lna)2(ax+xaxlna)=ax(lna)2(1+xlna)(x＞0).

令q′(x)=0,此方程在0＜a＜1時存在唯一實數(shù)根,解得駐點

q"(x)=ax(lna)3(2+xlna),令q"(x)=0,此方程在0＜a＜1時存在唯一實數(shù)根,解得logae-2.

當(dāng)0＜a＜1時,函數(shù)q(x)=xax(lna)2(x＞0)的示意圖如圖1所示.

推論Ⅰ當(dāng)e-e＜a＜1時,對數(shù)曲線y=logax上任一點的斜率都小于指數(shù)曲線y=ax上對應(yīng)點的斜率.

這是因為,當(dāng)e-e＜a＜1時,-e＜lna＜0,0＜-e-1lna＜1,說明在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)q(x)的最大值是一個小于1的正數(shù),故對任意x＞0都有0＜q(x)＜1,即0＜xax(lna)2,由xlna＜0,得

推論Ⅱ當(dāng)a=e-e時對數(shù)曲線y=logax上除點以外的任一點的斜率都小于指數(shù)曲線y=ax上對應(yīng)點的斜率.

這是因為,當(dāng)a=e-e時,lna=-e,-e-1lna=1,說明在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)q(x)的最大值是1(此時q(x)的最大值在處取得,y=logax在處的函數(shù)值是故對任意x＞0且都有0＜q(x)＜1,即0＜xax(lna)2＜1,由xlna＜0,得

推論Ⅲ當(dāng)0＜a＜e-e時,對數(shù)曲線y=logax與指數(shù)曲線y=ax僅在兩個特定點x1、x2處的斜率相等;曲線y=logax在區(qū)間(0,x1)和(x2,+∞)內(nèi)任一點的斜率都小于曲線y=ax上對應(yīng)點的斜率;曲線y=logax在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)任一點的斜率都大于曲線y=ax上對應(yīng)點的斜率.其中x1、x2是方程xax(lna)2=1的兩個不等實數(shù)根,且

證明當(dāng)0＜a＜e-e時,lna＜-e,-e-1lna＞1,這說明q(x)=Xax(lna)2(x＞0)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的最大值是一個大于1的正數(shù).

令q(x)=1,即xax(lna)2=1,由引理知q(x)在區(qū)間(0,logae-1)內(nèi)單調(diào)增加,函數(shù)值的取值范圍是區(qū)間(0,-e-1lna);q(x)在區(qū)間(logae-1,+∞)內(nèi)單調(diào)減小,函數(shù)值的取值范圍也是區(qū)間(0,-e-1lna);據(jù)此可知方程xax(lna)2=1在區(qū)間(0,logae-1)內(nèi)存在一個實數(shù)根(記為x1);在區(qū)間(logae-1,+∞)內(nèi)存在另一個實根(記為x2).當(dāng)x=x1或x2時當(dāng)x1＜x＜x2時xax(lna)2＞1,由xlna＜0,得當(dāng)0＜x＜x1或x＞x2時0＜xax(lna)2＜1,由xlna＜0,得

2.2 第二類交點的存在性

前已證明,當(dāng)0＜a＜1時曲線y=ax與曲線y=logax在直線y=x上有且只有一個交點(第一類交點).

令axlna=-1,當(dāng)0＜a＜1時此方程存在唯一實數(shù)根x0=loga(logae-1).這說明指數(shù)曲線y=ax在點(loga(logae-1),logae-1)處的斜率為-1.相應(yīng)地,對數(shù)曲線y=logax在點(logae-1,loga(logae-1)處的斜率為-1.

以下證明當(dāng)且僅當(dāng)0＜a＜e-e時指數(shù)曲線y=ax與對數(shù)曲線y=logax存在第二類交點.

(1)當(dāng)a＞1時,曲線y=ax與y=logax不存在第二類交點.

證明若曲線y=ax與y=logax有一交點不在直線y=x上,設(shè)其坐標(biāo)為(u,v),根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì),二者必有另一交點(v,u),從而有au=v,av=u,不妨設(shè)u＞v,由于a＞1,應(yīng)有au＜av,導(dǎo)致v＞u.矛盾.故當(dāng)a＞1時,曲線y=ax與y=logax不存在第二類交點.

(2)當(dāng)e-e＜a＜1時,曲線y=ax與y=logax也不存在第二類交點.

證明當(dāng)e-e＜a＜1時,-e＜lna＜0,從而logae-1-loga(logae-1)=loga(-e-1lna)＞0,說明點(loga(logae-1),logae-1)在曲線y=ax上的位置位于曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的左側(cè),由對稱性知點(logae-1,loga(logae-1)在曲線y=logax上的位置位于曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的右側(cè),不妨設(shè)此時曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的坐標(biāo)為(c,c).由于函數(shù)y=axlna與

(3)當(dāng)a=e-e時,曲線y=ax與y=logax同樣不存在第二類交點.

證明當(dāng)a=e-e時,點既在對數(shù)曲線上又在指數(shù)曲線上,對數(shù)曲線與指數(shù)曲線在點處的斜率都是-1,二者相切于點由推論Ⅱ知:當(dāng)從而曲線y=ax與y=logax在區(qū)間上不會相交,由對稱性知曲線y=ax與y=logax在區(qū)間上也不會有交點,故當(dāng)e-e＜a＜1時曲線y=ax與y=logax不存在第二類交點.

(4)當(dāng)0＜a＜e-e時,指數(shù)曲線y=ax與對數(shù)曲線y=logax存在兩個第二類交點.

證明當(dāng)0＜a＜e-e時,lna＜-e,從而logae-1-loga(logae-1)=loga(-e-1lna)＜0,說明點(loga(logae-1,logae-1)在曲線y=ax上的位置位于曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的右側(cè),由對稱性知點(logae-1,loga(logae-1)在曲線y=logax上的位置位于曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的左側(cè),不妨設(shè)此時曲線y=ax與y=logax的那個第一類交點的坐標(biāo)為(d,d).由函數(shù)y=axlna與時都是增函數(shù),可知在交點(d,d)處,有

令xax(lna)2=1,由推論Ⅲ知此方程存在兩個相異實根x1、x2(0＜x1＜x2),且由于dad(lna)2＞1可知x1＜d＜x2.再根據(jù)推論Ⅲ即得:當(dāng)d＜x＜x2時當(dāng)x=x2時當(dāng)x＞x2時從而知曲線y=ax與y=logax在區(qū)間(d,+∞)上必有且僅有一個交點,由對稱性知在(0,d)內(nèi)還有一個交點,故當(dāng)0＜a＜e-e時曲線y=ax與y=logax有兩個第二類交點.

例如,函數(shù)y=0.02646x與y=log0.02646x二者的圖像有3個交點:一個交點在直線y=x上,用M athem atica計算可知其坐標(biāo)為(0.31663,0.31663)(近似數(shù));另兩個交點一個是(0.04656,0.84442)(近似數(shù)),另一個是(0.84442,0.14656)(近似數(shù)),此兩點關(guān)于直線y=x對稱.

[1]蔡邦成.巧構(gòu)模型妙除頑癥[J].數(shù)學(xué)通報,2006,45(8):41-43.

[2]黃俊明.關(guān)于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題[J].凱里學(xué)院學(xué)報,2007,25(6):7-8

Two Kind Intersection Points of Exponential Function and Logarithm ic Function Graph

GAO Huan-jiang
(Teaching Institute of Mathematics,Xingtai Medical College,Xingtai 054000,China)

This paper provides an existence proof of two kind intersection points for the graph of exponential function and logarithmic function to the same base through discussing two other function’s properties with the ma the matical analysis method;It reveals the positional relation be tween the graph of exponential function and logarithmic function from a new angle.

exponential function;logarithmic function;derivative;slope;intersection point

O172.1

A

1008-9128(2010)02-0036-03

2010-01-11

高煥江(1963-),男,副教授.研究方向:數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.

[責(zé)任編輯 宋煥斌]