王喜林,劉麗紅,王 波

(吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,吉林長春 130118)

p-半線性映射的性質(zhì)

王喜林,劉麗紅,王 波

(吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,吉林長春 130118)

首次把p半線性映射引入到線性空間,并深入研究特征p域上的線性空間p半線性映射.給出了p半線性映射的一些基本性質(zhì),包含類似線性映射的一些性質(zhì)和不同于線性映射的性質(zhì).

線性空間;p-半線性映射;完備域

現(xiàn)在對于特征零域上的線性空間和線性映射的研究非常成熟,應(yīng)用也非常廣泛,已經(jīng)取得了相當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)果[1],于是我們開始考慮特征p域上的線性空間和p-半線性映射的情況.目前p-半線性映射在特征p域上的線性空間的應(yīng)用,還處在前期的發(fā)展階段,但是它在模李代數(shù)(即特征p域上的李代數(shù))的分類起到非常重要的作用[2].本文把特征零域上的線性空間的線性映射的一些重要性質(zhì)推廣到特征p域上的線性空間,得到了p-半線性映射的一些重要性質(zhì).在此,如無另外說明,K均表示特征為p的域;V,W為K上的有限維線性空間.

定義1設(shè)K是任意一個給定的域,特征為p,其中p是一個素數(shù).V,W是K上的線性空間.若有V到W的映射f滿足

則稱f是V到W的一個p-半線性映射.即f(β)可由f(α1),…,f(αn)線性表出.

推論1設(shè)f是V到W的p-半線性映射,則f把V中等價的向量組變成W中等價的向量組.

證明設(shè){α1,…,αs}與{β1,…,βt}是V中等價的向量組,則αi可由{β1,…,βt}線性表出,βj也可由{α1,…,αs}線性表出,i=1,…,s;j=1,…,t.由命題1知f(αi)可由f(β1),…,f(βt)線性表出,f(βj)也可由f(α1),…,f(αs)線性表出,i=1,…,s;j=1,…,t.

故{f(α1),…,f(αs)}與{f(β1),…,f(βt)}等價,即f把V中等價的向量組變成W中等價的向量組.

命題2設(shè)K是特征為p的完備域,f是V到W的p-半線性映射,則以下結(jié)論等價:

(1)f把V中的某組線性無關(guān)向量變成W中的一組線性相關(guān)向量;

(2)f把V中某非零向量變成零向量.

證明(1)?(2).設(shè){α1,…,αs}是V中的一組線性無關(guān)的向量且滿足{f(α1),…,f(αs)}是W中的一組線性相關(guān)的向量,則存在不全為0的k1,…,ks∈K使

又K是特征為p的完備域,即K=Kp,故存在li∈K,i=1,…,s使得ki=lpi,i=1,…,s.則k1f(α1)+…+ks f(αs)=0,即lp1f(α1)+…+lps f(αs)=0,所以f(l1α1+…+lsαs)=0.又ki不全為0,故li不全為0.又α1,…,αs線性無關(guān),故l1α1+…+lsαs≠0.則f把V中的非零向量l1α1+…+lsαs變成0.

(2)?(1).若有α∈V使f(α)=0,則f把V中的線性無關(guān)向量組{α}變?yōu)閃中的線性相關(guān)向量組{0}.

定理1設(shè)U是V的子空間,f是U到W的p-半線性映射,則必存在V到W的p-半線性映射ɡ滿足ɡ|U=f,稱此ɡ為f的擴張.

證明設(shè)U′是U在V中的補子空間:

由分解唯一性知映射定義合理.則?x=x1+x2,y=y1+y2∈V,k∈K.其中:x1,y1∈U;x2,y2∈U′.有

故ɡ是V到W的p-半線性映射,顯然ɡ|U=f.

命題3設(shè)f1,…,fn是V到W的互不相同的p-半線性映射,則必存在α∈V,使f1(α),…,fn(α)兩兩不相同.

因fi(0)=fj(0)=0,故0∈V ij,又對每兩個fi,fj,存在β,使fi(β)≠fj(β),故V ij是V的真子集.

kα∈V ij,則V ij是V的真子空間.

(ⅰ)若V ij都是V的非平凡子空間,則V中至少有一個向量不屬于所有的V ij,設(shè)這個向量為α,則f1(α),…,fn(α)兩兩不同.

(ⅱ)若V ij中有V的平凡子空間V i0j0,則必有V i0j0=0,則?α≠0有fi0(α)≠fj0(α),故可不考慮這樣的V i0j0,其余的V ij便可歸結(jié)為(ⅰ)的情形.

定義2設(shè)f是V到W的p-半線性映射,f的核定義為

命題4設(shè)f是V到W的p-半線性映射,則以下結(jié)論成立:

(1)f是單射?Kerf={0};

(2)f是滿射?Cokerf={0}.

證明

(1)若f是單射,則只存在一個α∈V,使f(α)=0.但f(0)=0,故α=0,則Kerf={0}.

反之,設(shè)Kerf={0}.若有α,β∈V,使f(α)=f(β),則f(α-β)=f(α)-f(β)=0,故α-β∈Kerf={0},則α=β,f是單射.

(2)f是滿射?Imf=W?W/Imf={0}?Cokerf={0}.

定理2設(shè)f是V到V的p-半線性映射,K是完備域(即K=Kp),則有

則f(es+1),…,f(en)是Imf的生成元,下面證明它們線性無關(guān).

否則,若它們線性相關(guān),則存在不全為0的ls+1,…,ln∈K滿足

因K=Kp,故存在hs+1,…,hn∈K,滿足hpi=li,i=s+1,…,n,則有f(hs+1es+1+…+hn en)=0,故

產(chǎn)生矛盾.故f(es+1),…,f(en)線性無關(guān),并且是Imf的基,dim Imf=n-s=dimV-dim Kerf.

定理3設(shè)f是V到V的p-半線性映射,K是完備域(即K=Kp),則f是單射?f是滿射.

由命題4和定理2知,f是單射?Kerf=0?dim Imf=dimV?Imf=V?f是滿射.

定理4設(shè)f是V到V的p-半線性映射,K是完備域(即K=Kp),且dim Imf=r.則存在V到V的p-半線性映射f1,…,fr滿足條件dim Imfi=1,i=1,…,r,且使得

證明不妨設(shè)dimV=n.因dim Imf=r,故dim Kerf=n-r.在Kerf中取基α1,…,αn-r,擴充為V的基α1,…,αn-r,β1,…,βr.由定理2的證明過程知f(β1),…,f(βr)是Imf的基.?j∈{1,…,r}構(gòu)造fj: V→V為

定義3設(shè)f是V到V的p-半線性映射,U是V的子空間.若對于任意的向量α∈U,都有f(α)∈U,就稱U是p-半線性映射f的不變子空間,簡稱f-子空間.

例3f-子空間的和與交仍是f-子空間.

證明設(shè)V1,V2是V的f-子空間,下面證明V1+V2,V1∩V2是f-子空間.

易知V1+V2,V1∩V2是V的子空間.

故V1+V2是f-子空間.

?v∈V1∩V2,則v∈V i,i=1,2.故f(v)∈V i,i=1,2,則f(v)∈V1∩V2,且V1∩V2是f-子空間.

命題5設(shè)f是V到V的p-半線性映射,U是V的子空間,e1,…,es是U的一組基,則

證明充分條件顯然.下證必要條件.

[1] WERNER GREUB.Linear algebra[M].New York:Sp ringer,2009:1-185.

[2] STRADE H,FARNSTEINER R.Modular Lie algebras and their rep resentations[M].New Yo rk:Marcel Dekker Inc, 1988:300.

On the properties of p-sem ilinear mapping

WANG Xi-lin,L IU Li-hong,WANGBo

(College of Information and Technology,Jilin Agricultural University,Changchun 130118,China)

In this paper,the definition onp-semilinearmappings for linear spaces is first introduced and ap-semilinear mapping is investigated.Some elementary p ropertiesofp-semilinearmapings are given, w hich contain the same p roperties to linear mappings and the different p roperties from linear mappings.

linear spaces;p-semilinear mappings;perfect field

O 152.5

110·2125

A

1000-1832(2010)04-0021-05

2010-08-10

國家自然科學(xué)基金資助項目(10871057).

王喜林(1973—),男,碩士,講師,主要從事代數(shù)研究;通訊作者:劉麗紅(1975—),女,碩士,講師,主要從事代數(shù)研究;王波(1973—),女,博士,副教授,主要從事線性代數(shù)和數(shù)量經(jīng)濟研究.

(責(zé)任編輯:陶 理)