張建華

(菏澤學(xué)院物理系,山東菏澤 274015）

一般穩(wěn)態(tài)空時(shí)中的拉普拉斯算子＊

張建華

(菏澤學(xué)院物理系,山東菏澤 274015）

從歐氏空間梯度與散度的基本概念出發(fā),導(dǎo)出四維彎曲空時(shí)中的梯度與散度,得到一般穩(wěn)態(tài)空時(shí)中的標(biāo)量、逆變矢量與協(xié)變矢量的Laplace算子.

梯度;散度;Laplace算子;四維彎曲空時(shí);穩(wěn)態(tài)空時(shí)

引言

眾所周知,在歐氏空間三維直角坐標(biāo)系中的梯度算子為

拉普拉斯算子定義為梯度的散度

歐氏空間任意正交曲線坐標(biāo)系中的Laplace算子為[1]

三維歐氏空間和四維閔可夫空時(shí)都是平直空時(shí),空時(shí)曲率為零;彎曲空時(shí)有兩種:黎曼空時(shí)——正曲率空時(shí),和羅氏空時(shí)——負(fù)曲率空時(shí).根據(jù)廣義相對(duì)論,大質(zhì)量天體使它周圍的空時(shí)彎曲.在彎曲空時(shí)中,質(zhì)點(diǎn)沿短程線運(yùn)動(dòng),物質(zhì)的能量——?jiǎng)恿繌埩颗c空時(shí)曲率、空時(shí)度規(guī)滿足下述 Einstein場方程[2]:

與在平直空時(shí)中不同,在彎曲空時(shí)中描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程不僅與質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力有關(guān),而且要受到空時(shí)度規(guī)的影響;與動(dòng)力學(xué)方程密切相關(guān)的Laplace算子當(dāng)然也受空時(shí)度規(guī)的制約.

在彎曲空時(shí)中,如何推導(dǎo)出 Laplace算子的具體形式呢?Vaidya-Bonner空時(shí)中的 Laplace算子[3]和一般球?qū)ΨQ動(dòng)態(tài)空時(shí)中的Laplace算子[4]已經(jīng)給出.本文將推導(dǎo)出一般穩(wěn)態(tài)空時(shí)中的拉普拉斯算子.

1 四維彎曲空時(shí)中的梯度與散度

1.1 矢量的梯度與散度

與歐氏空時(shí)中梯度算子的表達(dá)式 (1)不同,在四維彎曲空時(shí)中必須引入空時(shí)聯(lián)絡(luò)Γρμν,它是由于彎曲空時(shí)中相鄰兩點(diǎn)時(shí)空性質(zhì)的差異而引入的一個(gè)系數(shù).粒子物理學(xué)中,微觀粒子可分為費(fèi)米粒子和玻色粒子;前者是自旋為半整數(shù)的粒子,后者是自旋為整數(shù)的粒子.其中自旋為零的粒子叫做標(biāo)量粒子,例如π介子、η介子、κ介子等,相應(yīng)的量子化場叫做標(biāo)量場;而自旋為 1、質(zhì)量為零的粒子叫做矢量粒子,例如光子,相應(yīng)的量子化場叫做矢量場.還有旋量場,它表示自旋為的粒子.對(duì)于矢量,必須區(qū)分逆變矢量和協(xié)變矢量.

逆變矢量的協(xié)變微分定義為逆變矢量的梯度[5],即

協(xié)變矢量的梯度定義為它的協(xié)變微分,即

逆變矢量的梯度的縮并定義為逆變矢量的散度,即

求協(xié)變矢量的散度,首先通過度規(guī)升降指標(biāo),將協(xié)變矢量變?yōu)槟孀兪噶?然后縮并,即

式 (7)和式 (8)可以分別變成

以及

式 (9)、式 (10)分別是逆變矢量和協(xié)變矢量的散度的度規(guī)表達(dá)式,也叫做逆變矢量和協(xié)變矢量的 Laplace算子表達(dá)式.

1.2 標(biāo)量的梯度與散度

在四維彎曲空時(shí)中,設(shè)有標(biāo)量場Φ,它的梯度為

這是一個(gè)協(xié)變矢量.按照式 (10),它的散度為

式 (12)就是標(biāo)量的散度表達(dá)式,又叫做標(biāo)量的 Laplace算子.

2 一般穩(wěn)態(tài)空時(shí)中的 Laplace算子

2.1 一般穩(wěn)態(tài)空時(shí)線元

靜態(tài)空時(shí)通常指施瓦?？諘r(shí)和 Reissner-Nordstr?m空時(shí),它們的空時(shí)線元分別是[6]

上兩式中的 r、m、Q分別表示天體的球半徑、質(zhì)量和電荷,它們均不隨時(shí)間變化.

穩(wěn)態(tài)空時(shí)是黎曼空時(shí)的一種,一般包括 Kerr空時(shí)和 Kerr-Newman空時(shí),是非球?qū)ΨQ的軸對(duì)稱空時(shí).Kerr空時(shí)度規(guī)是[7]

Kerr-Newman空時(shí)度規(guī)是

式 (15)和 (17)中的 r、m、a分別表示天體半徑、質(zhì)量和單位質(zhì)量的角動(dòng)量;而 Q表示 Kerr—Newman黑洞所帶電荷.

將ωB=2m ar以及 B代入式 (15),進(jìn)行恒等變形,則式 (15)可以變?yōu)?/p>

比較式 (17)和 (19),發(fā)現(xiàn)式 (17)表示一個(gè)帶電轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞的外部空時(shí),而式 (19)則表示不帶電的轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞的外部空時(shí),它們都是穩(wěn)態(tài)空時(shí).

2.2 一般穩(wěn)態(tài)空時(shí)中的Laplace算子

為使研究的問題具有一般性,可設(shè)式 (17)作為一般穩(wěn)態(tài)空時(shí)的空時(shí)線元.由式(17),可以得到度規(guī)行列式之值為

度規(guī)的逆變形式為

將式 (20)、(21)代入式 (10),可得一般穩(wěn)態(tài)空時(shí)中標(biāo)量場的拉普拉斯算子為

將式 (20)、(21)代入式 (9),得一般穩(wěn)態(tài)空時(shí)中逆變矢量場的 Laplace算子為

注意,該式中 (a0,a1,a2,a3)=aμ,是逆變矢量的四個(gè)分量.

將式 (20)、(21)代入式 (10),得一般穩(wěn)態(tài)空時(shí)中協(xié)變矢量場的 Laplace算子為

3 結(jié)論與展望

我們已經(jīng)從歐氏空間梯度與散度的概念出發(fā),推導(dǎo)出四維彎曲空時(shí)中矢量及標(biāo)量的梯度以及 Laplace算子的一般表達(dá)式;在此基礎(chǔ)上得到了一般穩(wěn)態(tài)空時(shí)中的標(biāo)量及矢量的 Laplace算子,它們分別由式 (22)、(23)、(24)所表示.

1)由式 (22),令 Q=0,可得 Kerr黑洞周圍空時(shí)中標(biāo)量場的 Laplace算子:

式中:Δ=r2+a2-2m r.

2)在式 (25)中,令 a=0,Q≠0,則得 Reissner-Nordstr?m空時(shí)中標(biāo)量場的 Laplace算子:

3)若令 a=0,Q=0,則得 Schwarschild空時(shí)中標(biāo)量場的 Laplace算子:

4)由式 (26)、(27),不難導(dǎo)出矢量場在 Kerr黑洞周圍空時(shí)中、Reissner-Nordstr?m空時(shí)中、Schwarzschild空時(shí)中的 Laplace算子.

[1]謝樹藝.矢量分析與場論[M].北京:人民教育出版社,1978:70.

[2]王永久,唐智明.引力理論與引力效應(yīng)[M].長沙:湖南科技出版社,1990:92.

[3]張建華.Vaidya-Bonner空時(shí)中的 Laplace算符[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,30(3):57-60.

[4]張建華.一般球?qū)ΨQ引力場中的拉普拉斯算子[J].菏澤學(xué)院學(xué)報(bào),2008,30(2):56-60.

[5]劉遼,趙崢.廣義相對(duì)論[M].第 2版.北京:高等教育出版社,2004:52.

[6]趙崢.黑洞的熱性質(zhì)與時(shí)空奇異性[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1999:47-54.

[7]Kerr R P.Gravitational Field of a SpinningMass as an Example of Algebraically SpecialMetrics[J].Phys Rev Lett,1963,11:237.

Laplace Operator in Generally Steady State Space-T ime

ZHANG Jian-hua
(Department of Physics,Heze University,Heze Shandong 274015,China)

Starting from the basic conceptions of gradient and divergence in Euclidean space,we drive out the gradient and divergence in 4-D curve space-time,and the Laplace operator of a scalar,or converter and covariant vector in generally steady state space-time are obtained.

gradient,divergence,Laplace Operator,4-D curve space-time,steady state space-t ime.

O 175.3

A

1673-2103(2010)05-0055-04

2010-03-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (1077302)

張建華 (1946-),男,山東單縣人,教授,研究方向:黑洞物理和宇宙學(xué).