劉建敬,張 合,程 翔

(南京理工大學(xué)智能彈藥技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京 210094)

0 引言

地球磁場是天然存在的基本矢量場,連續(xù)分布,而且緩慢變化,為航空、航天和航海提供很好的參考基準(zhǔn),可應(yīng)用于導(dǎo)航定位和姿態(tài)控制[1-2]?；诘厍虼艌龅膹楏w姿態(tài)角檢測技術(shù)具有可靠性高、抗高過載和沖擊、易于小型化和無源自主等特點(diǎn),對常規(guī)彈藥簡易制導(dǎo)技術(shù)的發(fā)展具有重要意義,日益引起國內(nèi)外的關(guān)注和研究,比如美國阿連特技術(shù)系統(tǒng)公司設(shè)計(jì)的姿態(tài)測量系統(tǒng),就是利用地球磁場測量彈體滾轉(zhuǎn)角[3-4]。

彈體滾轉(zhuǎn)角檢測系統(tǒng)在計(jì)算角度之前,需要由雷達(dá)或者GPS給出彈丸的實(shí)時(shí)位置信息,通過預(yù)先裝入地球磁場模型或者地磁圖來實(shí)時(shí)獲取地球磁場信息[5]。由于地球磁場模型過于復(fù)雜,計(jì)算量太大,所以建立地磁圖更合適。但是彈藥發(fā)射地點(diǎn)不確定,并且常規(guī)彈藥空間有限,姿態(tài)角檢測系統(tǒng)無法存儲大量的地磁圖信息,只能根據(jù)發(fā)射點(diǎn)位置和彈藥射程所在區(qū)域,在發(fā)射前將裝入該區(qū)域的地球磁場參數(shù),然后結(jié)合彈丸的位置,通過插值方法實(shí)時(shí)計(jì)算地球磁場矢量。相對于常規(guī)彈藥高轉(zhuǎn)速對姿態(tài)角檢測的實(shí)時(shí)性要求,常用的地磁圖插值方法(比如克里金插值法、徑向基函數(shù)法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、曲面插值法和支持向量機(jī)等[6-10])雖然精度高,但是算法仍較復(fù)雜,實(shí)時(shí)性差。雙線性插值方法[11],雖然能夠滿足實(shí)時(shí)性的要求,但是插值精度較低。

針對雙線性插值地磁圖精度低的問題,提出了地磁圖的線性樣條組合插值算法,并通過仿真和誤差分析進(jìn)行驗(yàn)證。

1 地磁圖插值方法比較

雙線性插值是線性插值在兩維空間的擴(kuò)展,即在兩個(gè)方向上分別進(jìn)行線性插值,其函數(shù)形式為[11]:

由式(1)看到,雙線性插值方法簡單,只有4個(gè)系數(shù),整個(gè)運(yùn)算僅需要進(jìn)行3次加法和3次乘法,計(jì)算速度快。

線性樣條組合插值是對雙線性插值的改進(jìn),在一個(gè)方向上進(jìn)行線性插值,在另一個(gè)方向上進(jìn)行三次樣條插值,其函數(shù)形式為:

由式(2)看到,線性樣條組合插值有8個(gè)系數(shù),整個(gè)運(yùn)算需要進(jìn)行7次加法和7次乘法,精度高。

與雙線性插值相比,地磁圖的線性樣條組合插值方法雖然運(yùn)算速度稍微降低,但是插值精度高,相鄰插值區(qū)域之間連續(xù)性好。

2 地磁圖的線性樣條組合插值

2.1 地磁圖線性樣條組合插值的原理與特點(diǎn)

根據(jù)地球磁場總強(qiáng)度的等值線圖[12-13]看到,地球磁場具有沿經(jīng)線方向變化快,沿緯線方向變化慢的特點(diǎn)。結(jié)合地球磁場變化的特點(diǎn),地磁圖的線性樣條組合插值,在經(jīng)線方向上采用精度較高的三次周期樣條插值,在緯線方向上采用線性插值。

在繞地球一周的經(jīng)線圈上,地球磁場的變化具有周期性和連續(xù)性的特點(diǎn),這個(gè)特點(diǎn)符合三次樣條插值的周期邊界條件。在經(jīng)線方向上,采用三次周期樣條插值,不僅能夠準(zhǔn)確描繪地球磁場的變化趨勢,而且能夠保持地球磁場連續(xù)性的特點(diǎn)。在沿緯線方向上,采用線性插值可以提高計(jì)算速度,并且保持較高的插值精度。

地磁圖的線性樣條組合插值算法與地球磁場的變化特點(diǎn)相結(jié)合,具有插值精度高和計(jì)算速度快的特點(diǎn),并且能夠保持地球磁場變化的連續(xù)性。

2.2 組合插值系數(shù)計(jì)算公式

根據(jù)線性樣條組合插值形式可知,計(jì)算某區(qū)域地球磁場,必須首先得到該區(qū)域組合插值的8個(gè)系數(shù),下面對插值系數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)。

假設(shè)將繞地球一圈的經(jīng)線分成n段,繞地球半圈的緯線分成m段,這樣地球就分成m×n個(gè)區(qū)域。假設(shè)其中某個(gè)區(qū)域四個(gè)頂點(diǎn)的分別為()、和θj+1),其中 i=0,1,…,m;j=0,1,…,n;λ和θ分別代表經(jīng)度和緯度,每個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的地球磁場強(qiáng)度依次為和如圖 1 所示 。那么,該區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)R的組合插值函數(shù)如式(3)所示。

圖1 插值區(qū)域示意圖Fig.1 Schematic of interpolation area

式中,S(λ,θ)為線性樣條組合插值函數(shù),M(λ,θ)為插值函數(shù)對 θ的二階偏 導(dǎo)數(shù),aij、bij、cij、dij、、和為待定系數(shù) 。

式中,hj=θj+1-θj,j=1,2,…,n-1。

同理,根據(jù)經(jīng)線λi一周上各節(jié)點(diǎn)處的地球磁場強(qiáng)度Fij(j=0,1,…,n)和周期邊界條件,可以得到和。

由此得到該區(qū)域的線性樣條組合插值函數(shù)S(λ,θ),其矩陣形式如下如式(2)所示。式(2)中的8個(gè)系數(shù)通過展開式(3),并根據(jù)待定系數(shù)法由 aij、bij、cij、dij、a和計(jì)算得到,如式(6)所示,式中=-。

3 組合插值仿真

地球磁場有3個(gè)正交分量:北向分量X、東向分量Y和豎直分量Z,并且地球磁場的總磁場強(qiáng)度F、水平分量H,磁偏角D和磁傾角I都可以由這三個(gè)正交分量計(jì)算得到[13]。本文以IGRF模型為參考依據(jù),對南京所在區(qū)域(N30°～ N35°,E115°～ E120°)的地球磁場X、Y和Z分量進(jìn)行線性樣條組合插值仿真計(jì)算。

首先 ,通過 IGRF 模型 ,計(jì) 算 E115°和 E120°圓周上各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的X、Y和Z分量,并計(jì)算該區(qū)域每個(gè)分量對應(yīng)的8個(gè)線性樣條組合插值系數(shù),如表1所示。

然后,以0.1°為步長,分別沿經(jīng)線和緯線方向,將該區(qū)域分成50×50個(gè)網(wǎng)格,根據(jù)已知的X、Y和Z分量線性樣條組合插值函數(shù),計(jì)算各個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的對應(yīng)的地球磁場分量。圖2所示為通過線性樣條組合插值計(jì)算得到的地球磁場X、Y和Z分量等值線圖。

表1 線性樣條組合插值系數(shù)Tab.1 Coefficients of linear spline combination interpolation

由此可知,僅需要將每個(gè)區(qū)域地球磁場分量的8個(gè)插值系數(shù)預(yù)先存儲起來,根據(jù)彈體的經(jīng)緯度信息, 便可以迅速計(jì)算得到該位置的地球磁場信息。

圖2 X、Y和Z分量等值線圖Fig.2 Isoline maps of components of X,Y and Z

4 組合插值誤差分析

以赤道與E0°～E180°線的交點(diǎn)為起點(diǎn),沿經(jīng)線方向順時(shí)針繞地球一周為正方向,緯度的變化范圍為 0°～360°,分別沿經(jīng)線和緯線方向 ,以 5°為步長,將地球劃總共劃分成72×36個(gè)區(qū)域。以中國在內(nèi)的(N0°～ N60°,E60°～ E140°)區(qū)域?yàn)檠芯繉ο?,該區(qū)域可劃分為12×16個(gè)小區(qū)域。通過IGRF模型計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的總磁場強(qiáng)度,如圖3所示。根據(jù)總磁場強(qiáng)度的變化發(fā)現(xiàn),地球磁場變化最強(qiáng)烈的小區(qū)域?yàn)?N35°～ N40°,E135°～ E140°)。所以,根據(jù)該區(qū)域的地球磁場強(qiáng)度進(jìn)行線性樣條組合插值的誤差分析。

圖3 總磁場強(qiáng)度 F等值線圖Fig.3 Isoline map of total intensity F

首先,以0.1°為步長,分別沿經(jīng)線和緯線方向,將該區(qū)域分成50×50個(gè)網(wǎng)格,分別通過線性樣條組合插值和IGRF模型計(jì)算各個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上地球磁場的 X、Y和Z分量。

其次,以IGRF模型計(jì)算的地球磁場分量為該區(qū)域的理論值,計(jì)算各個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上地球磁場X、Y和Z分量線性樣條組合插值數(shù)據(jù)的相對誤差,如圖4所示。地球磁場分量的相對誤差在經(jīng)度方向基本呈對稱分布,X、Y和Z相對誤差分別在0.030%、0.765%和0.032%以內(nèi)。然后,根據(jù)已知 X、Y和Z分量,計(jì)算地球磁場的另外4個(gè)特征分量,分析線性樣條組合插值的精度,并與雙線性插值結(jié)果進(jìn)行比較,如表2所示。與雙線性插值相比,組合插值的精度基本提高了一倍以上,其中F和H分量的相對誤差分別小于0.003%和0.044%、D和I分量的角度誤差分別小于 0.057°和 0.02°。

圖4 X分量的相對誤差Fig.4 Relative error of component

表2 地球磁場插值誤差Tab.2 Interpolation errors and calculation speed of geomagnetic field

由此可知,與雙線性插值相比,地球磁場的線性樣條組合插值方法的精度得到大幅提高,能夠更好地滿足獲取地球磁場信息的實(shí)時(shí)性和精確性要求。

5 結(jié)論

本文通過對雙線性插值和線性樣條組合插值的比較和分析,結(jié)合地球磁場變化的特點(diǎn),提出了彈丸滾轉(zhuǎn)角檢測的地磁圖線性樣條組合插值方法。該方法在經(jīng)線方向上采用三次周期樣條插值,在緯線方向采用線性插值的組合插值算法,并推導(dǎo)了組合插值系數(shù)的計(jì)算公式。仿真和誤差分析表明:預(yù)先裝入8個(gè)插值系數(shù),線性樣條組合插值僅需要7次加法運(yùn)算和7次乘法運(yùn)算便可以計(jì)算出地球磁場的一個(gè)分量,并且精度比雙線性插值提高了近一倍以上。由此表明,線性樣條組合插值計(jì)算速度快,精度較高,能夠保證彈體滾轉(zhuǎn)角檢測系統(tǒng)實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地獲取地球磁場信息。

[1]Goldenberg F.Geomagnetic navigation beyond the magnetic compass[C]//Position Location and Navigation Symposium.Washington:IEEE,2006:684-694.

[2]郭才發(fā),胡正東,張士峰,等.地磁導(dǎo)航綜述[J].宇航學(xué)報(bào),2009,(4):1 314-1 319.GUO Caifa,HU Zhengdong,ZHANG Shifeng,et al.A Survey of geomagnetic navigation[J].Journal of Astronautics,2009,(4):1 314-1 319.

[3]高峰,張合,程翔,等.彈道修正引信中的地磁信號及其抗干擾研究[J].彈道學(xué)報(bào),2008(4):45-48.GAO Feng,ZHANG He,CHENG Xiang,et al.Research on geomagnetic signal and its anti-interference for fuze of trajectory correction projectile[J].Journal of Ballistics,2008(4):45-48.

[4]Johnson,Lyle H Kurschner,Dennis L.Roll orientation using turns-counting fuze:EP,1813905[P].2007-08-01.

[5]史連艷,楊樹興,張夏慶.M R/GPS制導(dǎo)在旋轉(zhuǎn)火箭彈中的應(yīng)用分析[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào),2006(2):1 145-1 147.SHI Lianyan,YANG Shuxing,ZHANG Xiaqing.Analyzing of MR/GPS guiding applied in rotating rocketpowered missile[J].Danjian Yu Zhi Dao Xuebao,2006(2):1 145-1 147.

[6]楊功流,張桂敏,李士心.泛克里金插值法在地磁圖中的應(yīng)用[J].中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào),2008(2):162-166.YAGN Gongliu,ZHANG Guimin,LI Shixin.Application of universal Kriging interpolation in geomagnetic map[J].Journal of Chinese Inertial Technology,2008(2):162-166.

[7]黃學(xué)功,房建成,劉剛,等.地磁圖制備方法及其有效性評估[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2009(7):891-894.HUANG Xuegong,FANG Jiancheng,LIU Gang,et al.Geomagnetic mapping and validity estimation[J].Journal of Beijing Uneversity of Aeronautics and Astronautics,2009(7):891-894.

[8]喬玉坤,王仕成,張金生,等.基于 BP網(wǎng)絡(luò)的地磁基準(zhǔn)圖制備及其精度評價(jià)[J].中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào),2009(1):53-58.QIAO Yukun,WANG Shicheng,ZHANG Jinsheng,et al.BP neural network based preparation method of geomagnetic reference map and its accuracy evaluation[J].Journal of Chinese Inertial Technology,2009(1):53-58.

[9]Qiao Yukun,Wang Shicheng,Zhang Jinsheng,et al.Surface spline based constructing method for geomagnetic reference map[C]//International Conference on Information and Automation.US:IEEE,2009:708-711.

[10]Wang Shicheng,Qiao Yukun Zhang Jinsheng,et al.SVM based construting method for geomagnetic reference map[C]//Pacific-Asia Conference on Circuit,Communications and System.US:IEEE,22009:579-581.

[11]陳麗.基于三維磁探測的彈丸姿態(tài)角檢測技術(shù)研究[D].南京:南京理工大學(xué),2009.

[12]Regan Robert D.An overview of geomagnetic field models,ADA102946[R].US:Phoenix Corp Falls Church VA,1980.

[13]Susan Macmillan.Earth's magnetic field[M/OL].Oxford,UK:Eolss Publishers,2004[2010-6-11].http://www.eolss.net/ebooks/Sample%20Chapters/C01/E6-16-04-01.pdf.

[14]文世鵬,張明.應(yīng)用數(shù)值分析[M].第三版.北京:石油工業(yè)出版社,2005.