劉付軍，盧 靜

(1.河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191；2.河南工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程系，河南 鄭州 451191)

1 問題的提出

考慮下面的二階橢圓方程，求u滿足:

(1.1)

其中, Ω?R2是有界凸區(qū)域，f∈L2(Ω)是已知函數(shù).令ψ=u，則問題(1.1)的混合變分形式為：求(ψ,u)∈H×M滿足:

(1.2)

其中,H={φ∈L2(Ω)×L2(Ω),divφ∈L2(Ω)},m=L2(Ω);

如果Hh?H和Mh?M是混合有限元空間，則(1.2)的混合有限元解為：

求(ψh,uh)∈Hh×Mh滿足:

(1.3)

這里先給定幾個(gè)假設(shè)[1]，本文正是基于它們得到了一些結(jié)論：

(H1)D?H′×M′使得問題(1.2)存在唯一的解(ψ,u)∈H×M

(H2)存在Hilbert空間V使得M→V(連續(xù)嵌入)，并且使得對(duì)于?d∈V′存在(λd,yd)∈H×M,滿足:

(1.4)

Zh={φh∈Hh；b(φh，vh)=0， ?vh∈Mh}.

(H4)存在s(h)>0使得‖vh‖H≤s(h)‖vh‖w, ?vh∈Mh.

(H5)存在算子rh∶Y→Hh使得對(duì)于任意的φ∈Y有b(φ-rhφ,vh)=0,?vh∈Mh,其中Y={ψ,λd;d∈V′},ψ是問題(1.2)的解(ψ,u)中的ψ,λd是(1.4)中的解(λd,yd)中的λd.

利用混合有限元解Poisson方程最早是由Raviart-Thomas于1977年提出的[2-3].二十多年來，基本上都是使用這種格式，后續(xù)的一些工作都是在利用Raviart-Thomas格式去討論稍微復(fù)雜的二階橢圓方程,給出各種模的誤差估計(jì)[4-7].但是,Raviart-Thomas所用的自由度太多而且論證過程也很復(fù)雜.此后，羅振東又采用一種自由度較少、論證過程也較簡(jiǎn)單的混合有限元格式[8-9],但是其研究的都是三角形單元.本文將利用由[10]改造得到的非常規(guī)Hermite型矩形元來研究二階橢圓問題，并得到了其收斂性結(jié)果.

2 單元構(gòu)造

為簡(jiǎn)單起見，設(shè)Ω是R2中的一個(gè)有界凸多邊形區(qū)域，其邊界?Ω平行于x軸或y軸，h是Ω的一個(gè)矩形剖分族，即?e∈h設(shè)其中心點(diǎn)為(xe,ye),兩邊分別平行于x軸和y軸,兩邊長(zhǎng)分別為2hx和2hy.設(shè)ê=[-1，1]×[-1，1]是ξ-η平面上的參考單元，其四個(gè)頂點(diǎn)分別為和四條邊為和則存在可逆放射變換

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

3 收斂性分析

取上面假設(shè)中的V=L2(Ω),W=L2(Ω)×L2(Ω),D=0×L2(Ω)?H′×M′,則(H1)-(H3)都成立；若h為Ω?R2的擬一致矩形剖分，he為單元e的直徑，h=max{he;e∈h},則(H4)也成立，這時(shí)s(h)=ch-1, 即:

‖φh‖1≤ch-1‖φh‖0, ?φh∈Hh∩(H1(Ω))2.

要討論(H5)成立，為此我們引入下面的引理.

(divφ,v)=-(φ,v)

(3.1)

定理1 如果存在算子rh∶H→Hh使得對(duì)于φ∈H都有:

b(φ-rhφ,vh)=0, ?vh∈Mh

(3.2)

則問題(1.3)存在唯一的解(ψh,uh)∈Hh×Mh并有下列誤差估計(jì):

‖ψ-ψh‖0≤‖ψ-rhψ‖0+|u-uh|1,

(3.3)

?vh,wh∈Hh

(3.4)

(3.5)

并且有先驗(yàn)估計(jì):

‖λd‖1+‖yd‖2≤D‖d‖0

(3.6)

下面來構(gòu)造有限元空間Hh和Mh以及算子rh滿足定理1的條件.

(3.7)

同時(shí)定義泡函數(shù)be(x,y)為:

(3.8)

B=(span{be;e∈h})2

(3.9)

(3.10)

(3.11)

在這里我們需要定義v的插值函數(shù)Iv∈Mh,

(3.12)

(3.13)

定義rh∶H→Hh使得, ?φ∈H,

(3.14)

b(φ-rhφ,vh)=(div(φ-rhφ),vh)=-(φ-rhφ,vhdxdy.

由Mh的定義知，vh|e是常向量，所以定理1的(3.2)式成立，只需:

(3.15)

由rh的定義得:

(3.16)

這樣當(dāng)αe滿足(3.15)時(shí)，rh滿足(3.2)式.由前面的單元構(gòu)造知道|e|=4hxhy又經(jīng)過計(jì)算得到:

(3.17)

(3.18)

故由(3.16)和H?lder不等式得:

|αe|=

(3.19)

由rh的定義及(3.17)，(3.18)得到:

‖φ-rhφ‖0,e=

(3.20)

因此,Hh,Mh和rh滿足定理1，于是得到下面的結(jié)論.

h‖ψ-ψh‖0+‖u-uh‖0≤Ch2‖f‖0

(3.21)

證明設(shè)ρh∶H2(Ω)→Mh為L(zhǎng)2投影算子, 則:

|u-ρhu|1≤Ch|u|2, ?u∈H2(Ω)

(3.22)

由(3.3)、(3.18)、(3.20)得到：

‖ψ-ψh‖0≤C(‖ψ-rhψ‖0+|u-ρhu|1)≤Ch‖f‖0

(3.23)

下面我們來估計(jì)‖u-uh‖0，由引理1，H?lder不等式及(3.6)、(3.18)、(3.22)得到:

b(λd-rhλd,u-ρhu)=(div(λd-rhλd),u-ρhu)=-(λd-rhλd,(u-ρhu))≤

C‖λd-rhλd‖0|u-ρhu|1≤Ch2‖u‖2‖λd‖1≤Ch2‖u‖2‖d‖0

(3.24)

α(ψ-ψh,λd-rhλd)≤C‖ψ-ψh‖0‖λd-rhλd‖0≤Ch‖ψ‖1h‖λd‖1≤Ch2‖u‖2‖d‖0

(3.25)

b(ψ-ψh,yd-ρhyd)=(div(ψ-ψh),yd-ρhyd)=-(ψ-ψh,(yd-ρhyd))≤

C‖ψ-ψh‖0‖yd-ρhyd‖1≤Ch‖ψ‖1h‖yd‖2≤Ch2‖u‖2‖d‖0

(3.26)

將(3.24)、(3.25)、(3.26)代入(3.4)得到:

‖u-uh‖0≤Ch2‖u‖2≤Ch2‖f‖0

(3.27)

由(3.23)、(3.27)即可證明本定理.

參考文獻(xiàn):

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[3] RAVIART PA,THOMAS P A. A mixed finite element method for 2nd order elliptic problems[J]. Lecture notes in math:springer-verlag,1977(68):292-315.

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[9] 林群,嚴(yán)寧寧.高效有限元構(gòu)造與分析[M].石家莊:河北大學(xué)出版社,1996.

[10]王烈衡,許學(xué)軍.有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,2004.