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(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

數(shù)學(xué)問題變式教學(xué)的案例探索

●虞金龍

(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，運(yùn)用不同的知識與方法變換問題的形式，從一題多解、一題多變、多題一解、一題多圖、多圖一解……幫助學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題，讓學(xué)生在解題過程中發(fā)展智力，提高解題能力.這樣做既可以使學(xué)生學(xué)得生動活潑，又可以減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，這也正是素質(zhì)教育所要求的.變式的實質(zhì)是根據(jù)學(xué)生的心理特點在設(shè)計問題的過程中，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知和技能的最近發(fā)展區(qū)，誘發(fā)學(xué)生通過探索、求異的思維活動發(fā)展能力.筆者以向量的高三復(fù)習(xí)實踐為例談對問題變式的思考，旨在拋磚引玉.

1 寓趣于教,構(gòu)造數(shù)字趣題

興趣是帶有情感色彩的認(rèn)識傾向，它總是和成功的喜悅緊密相連的.構(gòu)造一些具有啟發(fā)性的數(shù)字趣題，對培養(yǎng)學(xué)生興趣，開拓解題思路具有不可低估的作用.

有些問題是一般結(jié)論，乍看較難證明、但只要掌握題目結(jié)構(gòu)，在教學(xué)時有意識地構(gòu)造數(shù)字趣題，不僅會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還會達(dá)到事半功倍的效果.例如在復(fù)習(xí)向量綜合應(yīng)用問題時，筆者編了以下題目.

分析依題意知{an}成等差數(shù)列，且d=3.{bn}成等比數(shù)列，得

…

因為

an+1-an=d=3，

所以

于是

( )

A．2 010B．2 011C．2 012D．2 013

分析由條件可得

a1 008+a1 004=2，

即

a1+a2 011=2，

從而S2 011=2 011.故選B.

為鞏固定理,又進(jìn)行了以下變式：

(x,y)=(2α-β,α+4β),

即

解得

x+y-3=0,

即所求的軌跡方程為直線x+y-3=0.

分析2由條件可知點A，B，C共線，即點C的軌跡為直線AB，易求AB的方程為x+y-3=0.

( )

A．點M在線段AB上

B．點B在線段AM上

C．點A在線段BM上

D．點O,A,M,B共線

由λ∈(0,1)，得點M在線段AB上.故選A.

若將例4中的條件λ∈(0,1)改為λ∈(1,2),則答案為B.

2 一題多變,提高解題能力

數(shù)學(xué)問題的一題多變能提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)求知欲.下面是筆者在復(fù)習(xí)向量時設(shè)計的一個例題，通過啟發(fā)和指導(dǎo)，學(xué)生積極參與、共同討論，融向量的知識于一題多變之中，取得了較好的復(fù)習(xí)效果.

( )

在△ABC中，易知AC=1，∠B=30°，得

2t2-3t+1≥0，

解得

故選B.

此題體現(xiàn)了向量的模常通過平方的方法解決.為了鞏固這個知識點，筆者又將題變化如下：

( )

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

分析原不等式2邊平方后可化為

由k∈R得

得

從而AC為高，即∠C=90°.故選B.

3 巧編題組,培養(yǎng)發(fā)散思維

筆者在高三教學(xué)過程中，特別重視把有密切聯(lián)系的問題編排成題組加以訓(xùn)練.學(xué)生在練習(xí)過程中學(xué)會了比較的方法，提高了分析、解決問題的能力.譬如在學(xué)習(xí)向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則時，編了如下問題：

( )

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等邊三角形

分析因為

所以

由向量加減法的平行四邊形法則及菱形的幾何性質(zhì),知AB,AC為菱形的2條鄰邊,因而△ABC為等腰三角形.

為了鞏固這個知識點，又編了如下題目：

分析過點P作PD⊥AC于點D，PE⊥AB于點E,則

以上2道題目還體現(xiàn)了向量的模與平方的關(guān)系，也是解決這類問題的一個小竅門.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有時可通過構(gòu)造變式借題、變題,使學(xué)生耳目一新.譬如為了提高學(xué)生的編題能力，又編了以下題目：

( ).

A．40 B．200 C．10 D．0

分析由題意得

此題的解法明顯體現(xiàn)了與前一題的一個重要共性，教師在教學(xué)時可趁熱打鐵.

此題解法同例9完全一致，體現(xiàn)了編題組的優(yōu)勢.

同一個問題，從不同角度,用不同的知識，展示不同的“變式”.根據(jù)解題思路編排“題組”進(jìn)行比較，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.這樣學(xué)生就把知識聯(lián)系起來，形成整體性的認(rèn)識和提高，從而達(dá)到了舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果.同時,提高了學(xué)生思維的綜合能力和創(chuàng)造能力.但是學(xué)生在做題時，往往不重視題目中關(guān)鍵性的字、詞、句、單位及題目后面的要求而做錯了.為此，筆者還經(jīng)常有意地出一些“貌似實異”的題組培養(yǎng)學(xué)生的審題習(xí)慣，從而提高學(xué)生思維的準(zhǔn)確性.