洪 敏， 傅秀蓮

(1.揭陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣東揭陽(yáng) 522000；2.廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 廣東廣州 510510)

正系數(shù)解析函數(shù)的一類新子族

洪 敏1， 傅秀蓮2

(1.揭陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣東揭陽(yáng) 522000；2.廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 廣東廣州 510510)

引入了一類具有正系數(shù)的解析函數(shù)類Mn(α)，利用復(fù)分析中的一些方法，討論了這類函數(shù)的系數(shù)不等式、偏差定理、凸的線性關(guān)系等，得到了準(zhǔn)確的結(jié)果．

解析函數(shù)； 正系數(shù)； 系數(shù)不等式

用A來(lái)表示在單位圓U={z:|z|<1}內(nèi)解析,且具有如下形式的泰勒展開式：

(1)

的全體解析函數(shù)所形成的集合．

對(duì)于A內(nèi)的函數(shù)f(z)，我們定義：

的全體函數(shù)所成的函數(shù)類．

(2)

顯然M0(α)?M(α)，M1(α)?N(α)．M(α)、N(α)見(jiàn)文獻(xiàn)[1]．

對(duì)于單位圓U={z:|z|<1}內(nèi)的解析函數(shù)類的性質(zhì),國(guó)內(nèi)外的許多作者進(jìn)行了研究.特別對(duì)于其中函數(shù)的泰勒展開式的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí),有許多這方面的工作(如文獻(xiàn)[1]-[3]). 但是對(duì)于函數(shù)的泰勒展開式的系數(shù)是正數(shù)的解析函數(shù)類, 研究得比較少.本文引入了一類具有正系數(shù)的解析函數(shù)類Mn(α),研究它的系數(shù)不等式、偏差定理、凸的線性關(guān)系等問(wèn)題,得到了一些準(zhǔn)確的結(jié)果.

為了定理的證明，這里先介紹一個(gè)相關(guān)的引理．

1 系數(shù)不等式、增長(zhǎng)定理和偏差定理

(3)

使得

其中，φ(0)=0，且由式(3)可得

即

從而有

則

所以

令m≥2，則

α-1 (0

最后，不難看出不等式(3)對(duì)于函數(shù)

(4)

取等號(hào)．□

(5)

且不等式(5)中的等號(hào)對(duì)式(4)所定義的函數(shù)取到．

(6)

(7)

且不等式(6)與不等式(7)中的等號(hào)對(duì)式(4)所定義的函數(shù)f2(z)取到．

證明根據(jù)定義有：對(duì)0≤i≤n,

(8)

根據(jù)定理1，有

又因?yàn)?/p>

所以

即

(9)

于是由式(8)、(9)得：

及

在定理2中令i=0可得如下推論：

且這2個(gè)不等式是精確的.

在定理2中令i=1可得如下推論:

且這2個(gè)不等式是精確的.

在定理2證明過(guò)程中的式(9)中令i=n可得如下推論:

2 凸的線性關(guān)系

設(shè)

(10)

(11)

證明由式(11)，有

(12)

對(duì)于所有的i=1,2,…,v，由式(12)，有

□

在定理3中令v=2可得如下推論：

推論5 函數(shù)類Mn(α)是一個(gè)凸集．

(13)

(14)

證明若存在k≥0(k≥1)且k=1，使得kfk(z)，則

因此有

[1] OWA S,NISHIWAKI J. Coefficient estimates for certain classes of analtic functions[J]. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2002,3(5): Article 72.

[2] EKREM K. On subclass of univalent unctions with negative coefficients[J]. Applied Mathematics and Computation,2003,146：351-358.

[3] LIU Mingsheng, ZHU Yucan, SRIVASTAVA H M. Properties and characteristics of certain subclasses of starlike functions of orderβ[J]．Math Computer Modelling, 2008(48): 402-419.

[4] GRAHAM I,KOHR G.Geometric function theory in one and higher dimensions[M]．New York:Marcel Dekker Inc,2003.

Keywords： analytic function; positive coefficient; coefficient estimate

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

ACLASSOFANALYTICFUNCTIONSWITHPOSITIVECOEFFICIENTS

HONG Min1, FU Xiulian2

(1.Jieyang Vocational and Technical College, Jieyang, Guangdong 522000, China; 2.Guangdong College of Industry and Commerce, Guangzhou 510510, China)

A new class of analytic functions with positive coefficients is introduced. The coefficient estimates, distortion theorems, convex linear relations for the class are investigated, and sharp results are obtained.

2009-03-03

洪敏(1979—),女，廣東揭陽(yáng)人,揭陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師,主要研究方向：復(fù)分析，Email:hongmin@jyc.edu.cn.

1000-5463(2010)02-0014-04

O174.51

A