胡世麗,李貴榮

(江西理工大學(xué), 江西贛州市 341000)

振動(dòng)力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)的討論

胡世麗,李貴榮

(江西理工大學(xué), 江西贛州市 341000)

振動(dòng)力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)是動(dòng)力學(xué)的兩個(gè)分支,作為動(dòng)力學(xué)的兩種研究方法,既有密切的聯(lián)系,也有明顯的區(qū)別,振動(dòng)力學(xué)反映的是結(jié)構(gòu)體的整體振動(dòng),體現(xiàn)了能量在結(jié)構(gòu)體內(nèi)部的轉(zhuǎn)換,波動(dòng)力學(xué)反映的是能量的傳播。從概念、建立方程、求解方程和適用范圍多個(gè)方面闡述了兩者的區(qū)別和聯(lián)系。

振動(dòng)力學(xué);波動(dòng)力學(xué);地震波;適用范圍

振動(dòng)力學(xué)研究結(jié)構(gòu)的振動(dòng);波動(dòng)力學(xué)研究波的傳播,可以用位移、應(yīng)力或應(yīng)變等物理量來描述。這里有一個(gè)重要的問題,就是質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng),質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)是振動(dòng)力學(xué)研究問題的起點(diǎn),波動(dòng)力學(xué)建立波動(dòng)方程時(shí),是從介質(zhì)內(nèi)取出一個(gè)單元,這單元也經(jīng)常被看成質(zhì)點(diǎn),因此也可以是波動(dòng)力學(xué)研究問題的起點(diǎn),思考復(fù)雜問題時(shí)的一個(gè)簡單模型,所以質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)是一個(gè)特殊的振動(dòng)力學(xué)問題。

1 沖擊載荷在結(jié)構(gòu)體中的傳播過程

在結(jié)構(gòu)體未受到擾動(dòng)之前,質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力處于平衡狀態(tài),一個(gè)沖擊載荷作用于一個(gè)結(jié)構(gòu)內(nèi)的某一局部或某一質(zhì)點(diǎn)時(shí),受到?jīng)_擊載荷作用的質(zhì)點(diǎn)就要偏離原來的平衡位置而進(jìn)入運(yùn)動(dòng)狀態(tài),這個(gè)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生振動(dòng),但沖擊載荷并不能立即引起結(jié)構(gòu)體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng),而是振動(dòng)按照介質(zhì)的波速在介質(zhì)內(nèi)傳播,振動(dòng)在介質(zhì)內(nèi)傳播一段時(shí)間后,就會(huì)引起很多質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng),直至所有質(zhì)點(diǎn)都振動(dòng)起來。很多質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)就形成了一個(gè)振動(dòng)場,稱之為波場,質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)可以用位移、速度、應(yīng)力、應(yīng)變等物理量來描述,就形成了相應(yīng)的波場,如位移波、速度波等。以位移波為例,位移波在結(jié)構(gòu)體內(nèi)傳播過程中,遇到結(jié)構(gòu)體的邊界時(shí)會(huì)發(fā)生反射和透射,位移波在結(jié)構(gòu)體內(nèi)多次透射和反射就會(huì)形成一些特征頻率,特征頻率的形成主要受結(jié)構(gòu)體的材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)和邊界條件的影響。

一般來說,結(jié)構(gòu)體內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都有很多個(gè)特征頻率,各質(zhì)點(diǎn)的特征頻率并不完全相同,如果各質(zhì)點(diǎn)有共同的特征頻率,結(jié)構(gòu)體就能形成穩(wěn)定的振型(也稱為模態(tài))。

2 數(shù)學(xué)方法

結(jié)構(gòu)振動(dòng)力學(xué)方程和波動(dòng)方程,從根本上說兩個(gè)方程是一致的,都是慣性力等于不平衡彈性力,但是兩者方程的推導(dǎo)過程和求解過程存在區(qū)別。

2.1 推導(dǎo)方程的過程

結(jié)構(gòu)振動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)過程是,寫出結(jié)構(gòu)體的總動(dòng)能和總勢能,把總動(dòng)能和總勢能代入拉格朗日方程就求出了振動(dòng)方程[1]:

式中,M為質(zhì)量矩陣;q為廣義坐標(biāo)列陣;K為剛度矩陣;Q為非保守力列陣。

從方程的推導(dǎo)過程可以看出,振動(dòng)力學(xué)把結(jié)構(gòu)體看成是一個(gè)整體,因此結(jié)構(gòu)體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力就屬于內(nèi)力,振動(dòng)方程反映系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)能和勢能的相互轉(zhuǎn)換。

波動(dòng)方程的推導(dǎo)過程是,在介質(zhì)內(nèi)部取出一個(gè)單元體,在波的傳播過程中,分別寫出單元體受到的不平衡彈性力和慣性力,代入牛頓第二定律方程,再代入幾何方程和本構(gòu)方程,就可得到波動(dòng)方程,一維縱波方程推導(dǎo)的結(jié)果為:

式中,u、t、E和ρ分別為位移、時(shí)間、介質(zhì)的彈性模量和密度;x表示波的傳播方向。

單元體受到的不平衡彈性力是周圍單元體和該單元體的相互作用力,周圍單元對該單元的力屬于該單元的外力,因此波動(dòng)方程反映的是單元體間的相互關(guān)系,能夠體現(xiàn)傳播特性,實(shí)際上應(yīng)力波在彈性體中傳播時(shí),不是一個(gè)動(dòng)能和勢能相互轉(zhuǎn)換的過程,是一個(gè)能量傳播的過程。

2.2 求解過程

在對方程求解時(shí)數(shù)學(xué)處理也有所不同,以一維問題為例。振動(dòng)力學(xué)考慮問題時(shí)主要是從振型(或模態(tài))入手,所以振動(dòng)力學(xué)解的基本形式是:

式中,u為x處的位移;ω為角頻率;φ為初相位。u(x)是振型,從解的基本形式u(x)q(ωt+φ)可以認(rèn)為是振型的振動(dòng),即結(jié)構(gòu)的整體振動(dòng),反映了振動(dòng)力學(xué)關(guān)心的是整體。如果考慮多級(jí)振型,就采用累加的方法來處理,即:

對于一個(gè)確定的x,問題就轉(zhuǎn)化為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)問題,如果是考慮多級(jí)振型,就變成一個(gè)多頻率的復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)問題。振動(dòng)力學(xué)不太考慮復(fù)雜結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)振動(dòng),只考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng),因?yàn)樗矐B(tài)振動(dòng)沒有穩(wěn)定的振型,這是振動(dòng)力學(xué)本身的缺陷,如果要考慮高級(jí)振型,振動(dòng)力學(xué)的解法非常困難,但實(shí)際上很多工程問題不需要考慮高級(jí)振型,低級(jí)振型的振幅大,所占能量比重大,是結(jié)構(gòu)整體破壞的根本原因,因此工程問題只考慮幾個(gè)低級(jí)振型。瞬態(tài)振動(dòng)是一個(gè)應(yīng)力波在結(jié)構(gòu)中傳播的過程,還會(huì)形成穩(wěn)定的振型,如果外載荷恒定,應(yīng)力波在邊界多次反射后,結(jié)構(gòu)中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)就會(huì)形成一些共同具有的特征頻率,這就形成了振型。

波動(dòng)力學(xué)考慮波的傳播過程,能把波傳播過程帶來的各種現(xiàn)象展現(xiàn)出來,所以數(shù)學(xué)處理時(shí)就要體現(xiàn)傳播過程,因此方程的解寫成:

式中,A0為振幅;k為波數(shù)。式(5)是波向x的正方向傳播的基本解,從解的基本形式可以看出,(kxωt)是波的相位,體現(xiàn)波的傳播彈性,即時(shí)間和空間距離的關(guān)系。

波動(dòng)方程建立后,由邊界條件和初始條件確定傳播特性,邊界條件是波動(dòng)力學(xué)問題中非常重要的。對于一個(gè)確定的x,問題也轉(zhuǎn)化為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)問題,因此質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)是聯(lián)系結(jié)構(gòu)振動(dòng)和波動(dòng)的橋梁,是一個(gè)特殊的振動(dòng)力學(xué)問題。

其實(shí)兩種數(shù)學(xué)處理過程也有一定的聯(lián)系,前者采用變量分離的形式,后者非分離變量形式。

3 適用范圍

前面的分析表明:振動(dòng)力學(xué)反映的是結(jié)構(gòu)體的整體振動(dòng),體現(xiàn)了能量在結(jié)構(gòu)體內(nèi)部的轉(zhuǎn)換,波動(dòng)力學(xué)反映的是能量的傳播,在實(shí)際應(yīng)用過程中,主要根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)來選擇理論。對某個(gè)特定的動(dòng)力響應(yīng)過程,解的形式的選擇,要視實(shí)際問題的需要來確定。這既取決于擾動(dòng)源的性質(zhì),又取決于所考慮物體的相對尺寸,同時(shí)還與研究者所關(guān)心的問題等諸因素有關(guān)[2,3]。實(shí)際應(yīng)用過程中可以從以下幾個(gè)方面來考慮。

3.1 整體破壞與局部破壞

地震載荷作用下形成的地震波在山體內(nèi)傳播,一般來說,地震波不會(huì)造成整個(gè)山體破壞,山體破壞就屬于局部破壞,應(yīng)該選擇波動(dòng)力學(xué)的方法來處理問題。地震載荷作用下,房屋的振動(dòng)最主要的特點(diǎn)是整體運(yùn)動(dòng),經(jīng)常造成房屋結(jié)構(gòu)的整體破壞,因此就應(yīng)該選擇用振動(dòng)力學(xué)的方法來解決問題。

3.2 有效振型

如果不能寫出有效振型,那就只能是波動(dòng)力學(xué)問題。對于半無限體,厚大尺寸的結(jié)構(gòu)體來說,由于尺寸很大,波從加載處傳播至結(jié)構(gòu)體最遠(yuǎn)邊界需要較長的時(shí)間,這就導(dǎo)致加載處的質(zhì)點(diǎn)已經(jīng)振動(dòng)了很多個(gè)周期后才能傳播至最遠(yuǎn)邊界,使結(jié)構(gòu)體很難形成穩(wěn)定的振型,要使山體形成穩(wěn)定的振型需要很長的時(shí)間,地震荷載作用時(shí)間不可能達(dá)到這么長;另一方面很難形成非常突出的整體運(yùn)動(dòng),整體運(yùn)動(dòng)相對局部運(yùn)動(dòng)來說,是可以忽略的,因此就很難寫出有效的振型。

3.3 受力形式

如果結(jié)構(gòu)體是整體受力或結(jié)構(gòu)體大部分面積受力,就應(yīng)該是一個(gè)振動(dòng)力學(xué)問題;如果局部受力,且能夠?qū)懗鲇行У恼裥?也可以考慮為振動(dòng)力學(xué)問題,也可以考慮為波動(dòng)力學(xué)問題。比如,高層建筑物在風(fēng)載荷作用的動(dòng)力現(xiàn)象和破壞問題,這是一個(gè)結(jié)構(gòu)振動(dòng)力學(xué)問題,其原因是建筑物的受力面積大,建筑物的整體振動(dòng)是動(dòng)力現(xiàn)象的主要問題,風(fēng)載荷引起的波動(dòng)現(xiàn)象很微弱。

[1]劉延柱.振動(dòng)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1998.

[2]楊桂通.彈性動(dòng)力學(xué)[M].北京:中國鐵道出版社,1988.

[3]郭學(xué)彬,肖正學(xué),張志呈,等.層狀巖體爆破地震效應(yīng)的測試[J].礦業(yè)研究與開發(fā),2005,25(4):65-67.

2009-12-28)

胡世麗(1976-),女,講師,主要從事巖土體力學(xué)方面的教學(xué)和研究工作,Email:wgsky010@126.com。