張花花

（蘭州交通大學 電子與信息工程學院 蘭州 730070）

0 引言

小波包基的選擇對于信號的小波包變換相當重要,它決定著小波包分解的效果。由于小波包基種類繁多,其特性各不相同,對于同一個信號,選擇不同的小波包基進行分解,其結(jié)果會有所不同。如何選擇小波包基對信號進行分解才能得到最佳的分解效果是在小波包分解時首先會遇到的問題，所以我們希望根據(jù)不同分析信號的特征來選擇一個最好的小波包基，用來表達信號的特點。于是，本文選擇目前比較常用的香農(nóng)熵來作為尋找最優(yōu)小波包基的代價函數(shù)，根據(jù)Shannon熵準則的最優(yōu)小波包基信號去噪算法，并將其應用于帶噪語音信號的消噪。該算法在最優(yōu)小波包基的基礎(chǔ)上，對進行小波包分解后的小波包系數(shù)進行閾值處理，用量化后的系數(shù)重構(gòu)得到去噪后的信號。通過仿真，我們可以驗證該方法具有良好的去噪性能，能夠識別信號所包含的頻率成分，很好地保留有用信號，從而達到濾波去噪的目的。而且比較仿真結(jié)果可見，該方法消噪效果明顯優(yōu)于基于小波變換的去噪算法，具有廣泛的應用前景。

1 最優(yōu)小波包基的選取

1.1 小波變換與小波包變換基本理論

1.1.1 小波函數(shù)和小波包函數(shù)的定義

為尺度因子，b為平移因子。

1.1.2 小波包的正交性質(zhì)

正交性質(zhì)是小波包基最主要的性質(zhì)，本文中主要從平移正交性質(zhì)和的正交關(guān)系兩方面來解釋小波包基的正交性質(zhì)。

1.1.3 小波包的分解與重構(gòu)

我們知道信號 ()ft的正交小波分解的公式為：

從式（14）和式（15）中可以看出，用Mallat算法完全可以操作小波包分解。對于每一層的小波包分解實際上是把所有上一層的子帶都進行了劃分，而小波分解只是把低頻子帶進行了劃分。

1.2 最優(yōu)小波包基的選擇

小波庫中有很多小波包基，而不同的小波包基一般具有不同的時頻局部化能力，反映不同信號的特性，因此，我們希望根據(jù)不同分析信號的特征來選擇一個最優(yōu)的小波包基，用來表達信號的特征。

最佳小波包的選擇取決于信號本身的性質(zhì)，信號分解的目的和最佳原則的選擇這幾個方面。而要刻畫系數(shù)的性質(zhì)，首先要定義一個序列的代價函數(shù)，然后在小波庫的所有小波包基中尋找使代價函數(shù)最小的基。代價函數(shù)可以定義為任何關(guān)于序列的實函數(shù)W，但使用最多的是能測得集中度的可加性代價函數(shù)W。其中，集中度是指當系數(shù)差不多大時W應大，而當系數(shù)差別很大時W應??；可加性指如果滿足，則稱W為一可加性的信息代價函數(shù)。

根據(jù)上述定義可以定義很多代價函數(shù)，目前比較常用的是shannon熵，即定義序列的熵為：

上面我們對最優(yōu)基做了解釋，下面來討論一下如何選擇最優(yōu)基的方法。

如圖1所示，上方的空間為母空間，下方的空間為子空間。在每一個空間都標上了由式（16）求出的代價函數(shù)。圖中，陰影部分為最后所選擇的小波包。如果子空間的代價總和大于母空間的代價，這說明這一分解是值得的，因此，該子空間應予以保留。反之，若子空間的代價總和大于母空間的代價，則這一分解是不合適的，應放棄，即保留母空間。

圖 1 最優(yōu)小波包選擇

2 基于最優(yōu)小波包的信號閾值去噪算法

2.1 選擇合適的閾值

要達到好的降噪效果，除了選擇最優(yōu)的小波包基函數(shù)以外，選擇一個合適的閾值也是很關(guān)鍵的，若閾值太小，就無法將噪聲完全剔除；相反地，若閾值太大，有用信號將被濾掉，引起偏差。由于小波包分解系數(shù)在不同頻帶反映信號的不同特征，很難找到一個特別有效的統(tǒng)一的閾值算法對各個頻帶進行處理，因此本文對于小波包分解在不同頻帶上的系數(shù)采用不同的閾值選擇算法。

而對于信號突變的部位就采用rigrsure閾值: 該閾值即是利用Stein 的無偏估計求出的SURE閾值，其具體算法如下：

式中，sort是MATLAB中的排序命令。

(2)若取域值為 )(2ksx的第k個元素的平方根，即：

(3)根據(jù)所得到的風險曲線 )(kRisk，記其最小風險點所對應的值為mink，那么rigrsure閾值定義為 ：

2.2 基于最優(yōu)小波包的信號去噪算法具體步驟

（1）根據(jù)給定的Shannon熵標準和選擇方法，選擇適合帶降噪信號的最優(yōu)小波包基；

（2）對信號進行小波包分解時，先確定所需分解的層次N，然后對含噪信號進行N層小波包分解；

（3）對分解后的各個頻段根據(jù)不同的閾值選擇方法選擇閾值，對最優(yōu)小波包基每個節(jié)點上的分解系數(shù)進行閾值量化，閾值量化采用軟閾值方法；

（4）利用經(jīng)過閾值量化后的小波包基系數(shù)進行信號的重構(gòu)，所得到的信號就是經(jīng)過最優(yōu)小波包基去噪后的信號。

3 實驗結(jié)果分析

以leleccum信號為例，首先根據(jù)小波包分解重構(gòu)原理，通過實例來演示一下利用MATLAB來對小波包進行重構(gòu)，程序運行仿真圖如2所示。

圖2 小波包分解重構(gòu)

采用基于最優(yōu)小波包基的閾值降噪算法對加了隨機噪聲的leleccum信號進行降噪處理，同時為了對比小波包降噪與小波降噪，對含隨機噪聲的leleccum信號也進行了小波降噪，其仿真圖如3所示。

圖3 小波包降噪與小波降噪仿真圖

仔細觀察上圖可以看出，對比c仿真圖和d仿真圖，在0到500區(qū)間段與2500到3000區(qū)間段內(nèi)，在采用相同的小波母函數(shù)、分解層數(shù)和閾值選取方法的情況下有明顯的差異，基于最優(yōu)小波包基信號去噪算法效果明顯優(yōu)于基于小波變換的去噪算法，具有更精細的信噪分離能力。

4 結(jié)論

本文深入研究了基于最優(yōu)小波包基的信號降噪噪算法，通過利用MATLAB仿真來驗證對加噪的leleccum信號進行基于最優(yōu)小波包和小波的信號消噪。該算法在最優(yōu)小波包基的基礎(chǔ)上，利用sym6對含噪信號進行了5層分解后再對其進行閾值量化，用量化后的系數(shù)重構(gòu)得到去噪后的信號。仿真結(jié)果表明，該方法具有良好的去噪性能，能夠識別和確定信號所包含的頻率成分，根據(jù)Shannon熵準則選擇一個最優(yōu)的小波包基來濾除信號的周期分量和噪聲，保留了所需的信號，達到了濾波去噪的目的。并且由仿真結(jié)果比較可見，該方法消噪效果明顯優(yōu)于基于小波變換的去噪算法，將具有更為廣泛的應用前景。

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