呂 波

(1.東華理工大學(xué)核資源與環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江西南昌 330013;2.東華理工大學(xué)核工程技術(shù)學(xué)院,江西撫州 344000)

基于Matlab的光學(xué)衍射仿真

呂 波1,2

(1.東華理工大學(xué)核資源與環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江西南昌 330013;2.東華理工大學(xué)核工程技術(shù)學(xué)院,江西撫州 344000)

光學(xué)衍射是光學(xué)的重要內(nèi)容,對(duì)光學(xué)衍射的研究,做傳統(tǒng)的光學(xué)衍射實(shí)驗(yàn),對(duì)實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)場(chǎng)所要求苛刻,但是實(shí)驗(yàn)效果卻并不一定理想。計(jì)算機(jī)技術(shù)的引入為光學(xué)衍射研究提供了嶄新的思路。就光學(xué)中的單縫衍射和光柵衍射建立了數(shù)學(xué)模型,利用強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和圖像處理功能軟件Matlab,編制了Matlab仿真程序,輸出了仿真圖樣。仿真結(jié)果表明,仿真圖樣清晰逼真,仿真結(jié)論和理論是吻合的。研究表明,借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行光學(xué)實(shí)驗(yàn)仿真,可以不受實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)場(chǎng)所的限制,可以極大地促進(jìn)光學(xué)的研究。

Matlab;光學(xué);衍射;仿真

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,數(shù)值計(jì)算和模擬技術(shù)已日益廣泛地應(yīng)用于科學(xué)研究領(lǐng)域。借助于計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和模擬,對(duì)于物理學(xué)研究來(lái)說(shuō)有兩方面的意義,一方面對(duì)沒(méi)有解析解的物理方程可以用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)數(shù)值解;另一方面實(shí)際上不能實(shí)現(xiàn)的某些設(shè)想實(shí)驗(yàn)可以由計(jì)算機(jī)來(lái)模擬。在原有的實(shí)驗(yàn)和理論方法之外,物理學(xué)又獲得了一種新方法——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種介于經(jīng)典演繹法和經(jīng)典實(shí)驗(yàn)方法之間的新的科學(xué)認(rèn)識(shí)方法,其實(shí)質(zhì)在于它不是對(duì)客觀現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn),而是對(duì)它們的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)包括四個(gè)基本方面:建立對(duì)象的數(shù)學(xué)模型、擬訂分析模型的數(shù)值方法,編制實(shí)現(xiàn)分析方法的程序,在計(jì)算機(jī)上執(zhí)行程序。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使物理學(xué)形成實(shí)驗(yàn)物理、理論物理和計(jì)算物理三足鼎立的新格局。這種模擬的目的在于獲得某些新發(fā)現(xiàn),并通過(guò)理論物理方法的論證和實(shí)驗(yàn)物理法檢驗(yàn)進(jìn)一步確證 (路甬祥,2005)。

光學(xué)衍射是光學(xué)的重要內(nèi)容,生活中要觀察到光的衍射并不容易,所以人們更多的是通過(guò)光學(xué)衍射實(shí)驗(yàn)來(lái)觀察,然而光學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)儀器的穩(wěn)定性要求很高,實(shí)驗(yàn)平臺(tái)要求防震,對(duì)于復(fù)雜光路的搭建和實(shí)驗(yàn)儀器的調(diào)試非常耗費(fèi)時(shí)間,實(shí)驗(yàn)環(huán)境的亮度、溫度、濕度都對(duì)實(shí)驗(yàn)效果有影響 (崔祥霞等,2009),而且光學(xué)實(shí)驗(yàn)的器材往往比較貴重,一旦損壞損失較大,所以做成一個(gè)光學(xué)實(shí)驗(yàn)不容易。即使有些光學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)茏?但是清晰度不夠,現(xiàn)象也不明顯。由美國(guó) Mathworks公司推出的 Matlab是一款優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算和模擬軟件 (陳懷深,2007)。對(duì)光學(xué)衍射中的單縫衍射和光柵衍射進(jìn)行理論建模,然后利用Matlab強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和圖像處理功能對(duì)這兩種衍射進(jìn)行仿真模擬,輸出仿真圖樣,分析仿真結(jié)果,為光學(xué)研究提供科學(xué)參考。

1 光學(xué)衍射的理論基礎(chǔ)

根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理 (姚啟鈞,2008)的次波假設(shè)和次波相干疊加原理,當(dāng)次級(jí)波源處于同一波陣面時(shí),由它們發(fā)出的子波必然是彼此相干的,在波傳播的后面空間中任何一點(diǎn)處的光振動(dòng)則是這些次級(jí)波源產(chǎn)生的子波疊加結(jié)果?；莞?菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

在光學(xué)衍射中,有一類特殊的衍射,就是障礙物到光源和考察點(diǎn)的距離為無(wú)限遠(yuǎn),這種衍射稱之為夫瑯和費(fèi)衍射,以下討論的就是夫瑯和費(fèi)單縫衍射和夫瑯和費(fèi)光柵衍射的計(jì)算機(jī)仿真。

2 單縫衍射的仿真

2.1 單縫衍射的建模

單縫衍射的實(shí)驗(yàn)原理如圖 1所示,一束平行光照射到很窄的單縫上,穿過(guò)單縫后經(jīng)過(guò)透鏡在接收屏上形成衍射條紋。

圖 1 單縫衍射實(shí)驗(yàn)裝置模型Fig.1 The expe r im enta lmode lof single-slit diffraction

由圖 1可知,當(dāng)衍射角為θ的衍射光經(jīng)透鏡匯聚于屏上 P點(diǎn)時(shí),由常規(guī)積分法 (姚啟鈞,2008)可求得 P點(diǎn)的光強(qiáng)為

2.2 單縫衍射的Matlab編程

運(yùn)用 Matlab編制單縫衍射程序 (張智星,2002),程序運(yùn)行后在坐標(biāo)區(qū)可以生成單縫夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。

為了滿足程序的普遍性和通用性,主程序中共設(shè)置 4個(gè)輸入?yún)?shù),分別為光波波長(zhǎng)λ、透鏡焦距 f、單縫寬度α、最大坐標(biāo)范圍 xmax,長(zhǎng)度以 mm為單位。為便于書(shū)寫(xiě)程序,在程序中輸入λ=600 nm,f=80 mm,α=0.1 mm,xmax=2 mm,在接收屏上選1 001個(gè)點(diǎn)。主程序如下:

2.2 單縫衍射的仿真結(jié)果及分析

仿真結(jié)果請(qǐng)看圖 2,由圖 2可以看出:

(1)干涉條紋是一系列明暗相間的直條紋,中央明紋兩側(cè)對(duì)稱分布著其它明紋,其它明紋寬度相等,中央明紋寬度是其它明紋寬度的兩倍。

(2)各級(jí)干涉明紋中心的強(qiáng)度不同,與級(jí)數(shù)有關(guān)。中央明紋中心強(qiáng)度最大,其它明紋中心強(qiáng)度都比中央明紋中心強(qiáng)度小很多,且隨著級(jí)數(shù)的增大迅速減小。

圖 2 單縫衍射仿真圖樣Fig.2 The s im ulation pattern of single-slit diffraction

事實(shí)上,在主程序中可以保持α和 f一定,改變?chǔ)?由輸出的仿真圖樣將可以看到干涉條紋的間距大小與λ成正比;保持λ和λ一定,改變?chǔ)?由輸出的仿真圖樣將可以看到干涉條紋的間距大小與α成反比;保持λ和α一定,改變 f,由輸出的仿真圖樣將可以看到干涉條紋的間距大小與 f成反比 (圖 3-圖 5)。

此外,當(dāng)單縫的寬度α增大時(shí),條紋變得越來(lái)越狹窄而密集。如果縫寬α很大,那么各級(jí)明紋都密集于中央明紋附近而分辨不清,只能觀察到一條亮線了,呈現(xiàn)出光沿直線傳播,衍射效應(yīng)幾乎可以忽略。如在主程序中輸入較大的單縫寬度值,則輸出圖 6所示仿真結(jié)果。

圖 6 縫寬較大條件下衍射效應(yīng)可忽略Fig.6 D iffraction effects can be neglected based on greater slitw idth

3 光柵衍射的仿真

3.1 光柵衍射的建模

光柵衍射的實(shí)驗(yàn)原理如圖 7所示,一束平行光照射到很窄的光柵片上,穿過(guò)光柵片后經(jīng)過(guò)透鏡在接收屏上形成光柵衍射條紋。

由圖 7可知,當(dāng)衍射角為θ的衍射光經(jīng)透鏡匯聚于屏上 P點(diǎn)時(shí),由常規(guī)積分法 (姚啟鈞,2008)可求得 P點(diǎn)的光強(qiáng)為

3.2 光柵衍射的Matlab編程

運(yùn)用 Matlab編制光柵衍射程序 (陳垚光等,2002),程序運(yùn)行后,在坐標(biāo)區(qū)可以生成光柵夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。為了滿足程序的普遍性和通用性,主程序中共設(shè)置 6個(gè)輸入?yún)?shù),分別為光波波長(zhǎng)λ、透鏡焦距 f、透光縫寬 a、光柵常量 d、最大坐標(biāo)范圍xmax(這 5個(gè)量均以 mm為單位)以及光柵縫數(shù) N。為便于書(shū)寫(xiě)程序,在程序中輸入λ=600 nm,f=100 mm,a=0.006 mm,d=0.02 mm,N=8,xmax=12 mm,在接收屏上選 1 001個(gè)點(diǎn)。主程序如下:

圖 7 光柵衍射實(shí)驗(yàn)裝置模型Fig.7 The exper im entalmodelof grating diffract ion

3.3 光柵衍射的仿真結(jié)果及分析

仿真結(jié)果請(qǐng)看圖 8,由圖 8可以看出:

圖 8 光柵衍射仿真圖樣Fig.8 The s im ulation pattern of grating diffraction

(1)與單縫衍射圖樣相比,光柵衍射的圖樣中出現(xiàn)了一系列新的最大值和最小值,其中那些較強(qiáng)的亮線叫做主極大明紋,較弱的亮線叫做次極大明紋。

(2)在相鄰主極大明紋之間有一個(gè)較寬的、由N-1條暗紋和 N-2條次極大明紋組成的均勻背景。當(dāng)N不是太大時(shí),可以清楚地?cái)?shù)出 N-2條次極大明紋和N-1條暗紋來(lái)。由圖 8可知,N=8,在仿真圖像中數(shù)出在相鄰主極大明紋之間有 7條次極大明紋和 6條暗紋。

此外,可以參照本文前面單縫衍射仿真的做法,在主程序中可以保持λ,a,f,d,N中的某四個(gè)不變,改變另外一個(gè),由輸出的仿真結(jié)果將可以看到這個(gè)量對(duì)光柵衍射圖樣的影響。

由袁長(zhǎng)迎等 (2000)可知,光柵衍射圖樣的光強(qiáng)分布受單縫衍射的調(diào)制,各主極大明紋的光強(qiáng)是不同的。對(duì)某些衍射角,即使?jié)M足光柵方程,但如果同時(shí)也滿足單縫衍射強(qiáng)度為零的條件,則主極大條紋不能出現(xiàn),造成缺級(jí),也就是當(dāng)光柵常數(shù)與透光縫寬之比 d/a為某整數(shù)時(shí),該整數(shù)級(jí)次及其倍數(shù)級(jí)次的主極大明紋不會(huì)出現(xiàn)。如在主程序中輸入λ=600 nm,f=100 mm,a=0.1 mm,d=0.3 mm,N=8,則輸出圖 9所示仿真結(jié)果。

圖 9 光柵衍射明紋的缺級(jí)Fig.9 The m issing of light streaks on grating diffraction

由圖 9可以看出,光柵常量與透光縫寬之比d/a=3,第 3,6,9等級(jí)次的主極大明紋消失。這表明,仿真的結(jié)果與理論的預(yù)期是一致的。

4 結(jié)束語(yǔ)

實(shí)際光學(xué)實(shí)驗(yàn)常常受到實(shí)驗(yàn)器材和實(shí)驗(yàn)環(huán)境的影響,因而光學(xué)實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展往往不容易,但是利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行光學(xué)實(shí)驗(yàn)仿真,無(wú)需復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)儀器和苛刻的實(shí)驗(yàn)環(huán)境,可在短時(shí)間內(nèi)完成多種實(shí)驗(yàn)條件下光學(xué)實(shí)驗(yàn)圖樣的演示。因此用計(jì)算機(jī)仿真光學(xué)實(shí)驗(yàn),可以彌補(bǔ)實(shí)際光學(xué)實(shí)驗(yàn)的不足,極大地促進(jìn)了對(duì)光學(xué)的研究。

陳懷深.2007.Matlab及其在理工課程中的應(yīng)用指南(第四版)[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社.

陳垚光,毛濤濤.2002.精通Matlab GUI設(shè)計(jì)[M].北京:電子工業(yè)出版社.

崔祥霞,楊兆華,陳君.2009.基于MATLAB的光學(xué)衍射與干涉實(shí)驗(yàn)仿真[J],泰山學(xué)院學(xué)報(bào),31(3):109-113.

路甬祥.2005.百年物理學(xué)的啟示[J].物理,(7):467-472.

姚啟鈞.2008.光學(xué)教程第 4版[M].北京:高等教育出版社.

袁長(zhǎng)迎,陳昭棟.2000.光柵衍射的計(jì)算機(jī)模擬[J].西南工學(xué)院學(xué)報(bào),15(2):56-60.

張智星.2002.Matlab程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社.

The S imulation of OpticsD iffraction on Matlab

LüBo1,2
(1.KeyLaboratory of Nuclear Resources and Environment,East China Institute of Technology,Nanchang,JX 330013,China;2.School ofNuclear Engineering Technology,East China Institute of Technology,Fuzhou,JX 344000,China)

Optical diffraction is an important part of optics,If people do the traditional optical diffraction experiment to research optical diffraction,They will find that doing the traditional optical diffraction experiment need harsh experimental equipments and experimental enviroment,but the exper imental results are not necessarily ideal.The introduction of computer technology provides a new method to research optical diffraction.This paper establishsmathematical models about single-slit diffraction and grating diffraction,compiles simulation programs with the powerful numerical computing and image processing softwareMatlab,exports the simulation pattern.The simulation result shows that simulation pattern is clear and lifelike and simulation conclusions are consistent with theory.This paper shows that by means of computer to simulate optical experiments is not restricted with experimental equipment and experimental environment and can greatly promote the research of optical.

Matlab;optics;diffraction;simulation

O436.1

:A

:1674-3504(2010)04-363-06

10.3969/j.issn.1674-3504.2010.04.010

2010-07-02

江西省教育廳研究項(xiàng)目 (JXJG-08-8-27)。

呂 波 (1973—),男,講師,碩士,主要從事數(shù)字化物理方面的研究。