陸毅

（江蘇省連云港市東?？h房山高級(jí)中學(xué)，江蘇東海222341）

一個(gè)偶數(shù)表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的證明

陸毅

（江蘇省連云港市東?？h房山高級(jí)中學(xué)，江蘇東海222341）

一個(gè)偶數(shù)表示為兩個(gè)奇數(shù)之和有6種表達(dá)式，并且這6種表達(dá)式之間有一定的內(nèi)在聯(lián)系；用數(shù)學(xué)歸納法證明了這些表達(dá)式之間的聯(lián)系.

奇數(shù)表達(dá)式；素?cái)?shù)表達(dá)式；合數(shù)表達(dá)式；表達(dá)式的個(gè)數(shù)

0 引言

數(shù)論是許多學(xué)者研究的領(lǐng)域[1-4].我于2007年8月在美國(guó)《自然科學(xué)研究》上發(fā)表了題為《在偶數(shù)性質(zhì)中發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的問(wèn)題》[5]的論文，東北師范大學(xué)的盛中平老師、蘇州大學(xué)的張星晨、朱東亞老師、華東師范大學(xué)的許廣龍博士、俄亥俄州大學(xué)數(shù)論博士陸三等老師都給予了高度評(píng)價(jià)，同時(shí)他們建議我有必要對(duì)該論文推導(dǎo)出的公式p=m+L或p=m+L+1及n=L+2m+t+2給予進(jìn)一步證明［其中，p表示當(dāng)偶數(shù)2n表為素?cái)?shù)+素?cái)?shù)與素?cái)?shù)+合數(shù)或素?cái)?shù)+1時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，L表示當(dāng)偶數(shù)2n表為兩個(gè)素?cái)?shù)之和時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，n表示當(dāng)偶數(shù)2n表為兩個(gè)奇數(shù)之和時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，2m表示當(dāng)偶數(shù)2n表為素?cái)?shù)+合數(shù)與合數(shù)+素?cái)?shù)時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，t表示當(dāng)偶數(shù)2n表為兩個(gè)合數(shù)之和時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，2表示兩個(gè)表達(dá)式：一個(gè)表達(dá)式是偶數(shù)2n表示為1與（2n-1）之和，另一個(gè)表達(dá)式是偶數(shù)2n表示為（2n-1）與1之和］.假如能夠證出公式L＞0（即L=n-2m-t-2＞0），其意義更大.但我一直認(rèn)為此公式已經(jīng)推導(dǎo)出來(lái)了，沒(méi)有必要去證明L＞0，因?yàn)樽C明L＞0是一件很容易的事情，只要精通數(shù)學(xué)的人都能證明.但他們一致認(rèn)為，證明L＞0不是一件很容易的事情，并且建議我最好能給出證明.

經(jīng)過(guò)5個(gè)月的思考，我終于找到證明L＞0的方法，并于2008年12月發(fā)表了題為《對(duì)“任何一個(gè)大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)奇數(shù)之和”的思考》[6]的論文.發(fā)表不久，南京師范大學(xué)數(shù)論專家陳永高老師、上海華東師范大學(xué)數(shù)論專家韓士安老師、首都師范大學(xué)數(shù)論專家王永輝老師均提出：證明L＞0的方法是對(duì)的，但證明過(guò)程還是存在問(wèn)題，必須重新修改，否則不能說(shuō)明證明L＞0是一件很容易的事情.

在眾位數(shù)論專家的建議下，我經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的思考，終于找到一種證明L＞0完整、簡(jiǎn)單而又詳細(xì)的證明過(guò)程，但這個(gè)證明過(guò)程只是我個(gè)人認(rèn)為是簡(jiǎn)單的，也許其他人還有更簡(jiǎn)單的方法.

1 說(shuō)明

在推導(dǎo)公式之前首先補(bǔ)充說(shuō)明一下，在文獻(xiàn)［5-6］中提到的公式：p=m+L或p=m+L+1及n=L+2m+t+2，它們之間只是為了研究方便而進(jìn)行的恒等變換.

在證明L＞0之前再簡(jiǎn)單敘述一下公式p=m+L或p=m+L+1及L=n-2m-t-2的推導(dǎo)過(guò)程[6].設(shè)任何一個(gè)大于4的偶數(shù)為2n（n＞2，n∈N，以下相同不再重述），顯然，在偶數(shù)2n前面有n個(gè)是奇數(shù)，在這些奇數(shù)中假設(shè)有p個(gè)是素?cái)?shù)（顯然，p中不包括素?cái)?shù)2，因?yàn)?是偶數(shù)而不是奇數(shù)），有q個(gè)是合數(shù)（顯然，因?yàn)榕紨?shù)8的前面沒(méi)有合數(shù)，所以q可以等于0），因?yàn)?既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)，于是n=p+q+1.因?yàn)槿魏我粋€(gè)大于4的偶數(shù)2n都可以用它前面的每一個(gè)奇數(shù)與它前面的一個(gè)特定的奇數(shù)之和來(lái)表示，其表達(dá)式的個(gè)數(shù)是n，即偶數(shù)2n=奇數(shù)+奇數(shù)；又因?yàn)槠鏀?shù)還可以分為素?cái)?shù)、合數(shù)、1，所以按照這樣的排列，偶數(shù)2n=奇數(shù)+奇數(shù)也只能有6種表達(dá)形式；當(dāng)2n為小偶數(shù)時(shí)，2n表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)形式可能是6種表達(dá)形式中的某幾種表達(dá)形式；當(dāng)2n為充分大的偶數(shù)時(shí)，2n表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)形式中一定都含有6種表達(dá)形式.這6種表達(dá)形式為：①偶數(shù)2n可能表示為1與素?cái)?shù)之和，即偶數(shù)2n=1+素?cái)?shù)（或偶數(shù)2n也可能表示為1與合數(shù)之和，即偶數(shù)2n=1+合數(shù)）；②偶數(shù)2n還可能表示為素?cái)?shù)與合數(shù)之和，即偶數(shù)2n=素?cái)?shù)+合數(shù)；③偶數(shù)2n還可能表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和，即偶數(shù)2n=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)；④偶數(shù)2n還可能表示為兩個(gè)合數(shù)之和，即偶數(shù)2n=合數(shù)+合數(shù)；⑤偶數(shù)2n還可能表示為合數(shù)與素?cái)?shù)之和，即偶數(shù)2n=合數(shù)+素?cái)?shù)；⑥偶數(shù)2n還可能表示為素?cái)?shù)與1之和，即偶數(shù)2n=素?cái)?shù)+1（或偶數(shù)2n也可能表示為合數(shù)與1之和，即偶數(shù)2n=合數(shù)+1）.

因?yàn)榕紨?shù)2n可以用它前面的每一個(gè)奇數(shù)與它前面的一個(gè)特定的奇數(shù)之和來(lái)表示，其表達(dá)式個(gè)數(shù)為n；又因?yàn)樵谂紨?shù)2n前面有n個(gè)是奇數(shù)，在n個(gè)奇數(shù)中含有p個(gè)是素?cái)?shù)，所以在n個(gè)奇數(shù)表達(dá)式（偶數(shù)2n表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)形式稱為奇數(shù)表達(dá)式）中含有p個(gè)是素?cái)?shù)表達(dá)式（偶數(shù)2n表示為一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)特定奇數(shù)之和的表達(dá)形式稱素?cái)?shù)表達(dá)式）；在p個(gè)素?cái)?shù)表達(dá)式中，每一個(gè)素?cái)?shù)表達(dá)式必定有一個(gè)素?cái)?shù)跟一個(gè)特定奇數(shù)之和，其形式也一定是下列3種表達(dá)形式中的一種：①偶數(shù)2n可能表示為素?cái)?shù)與合數(shù)之和，即偶數(shù)2n=素?cái)?shù)+合數(shù)；②偶數(shù)2n還可能表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和，即偶數(shù)2n=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)；③偶數(shù)2n還可能表示為素?cái)?shù)與1之和，即偶數(shù)2n=素?cái)?shù)+1.現(xiàn)在假設(shè)在p個(gè)素?cái)?shù)表達(dá)式中含有L個(gè)素?cái)?shù)表達(dá)式是兩個(gè)素?cái)?shù)之和的表達(dá)形式，同時(shí)還假設(shè)在p個(gè)素?cái)?shù)表達(dá)式中含有m個(gè)素?cái)?shù)表達(dá)式是素?cái)?shù)與合數(shù)之和的表達(dá)形式，如果2n-1是素?cái)?shù)，那么在p個(gè)素?cái)?shù)表達(dá)式中一定含有“偶數(shù)2n表示為素?cái)?shù)與1之和”這個(gè)表達(dá)式，即2n=（2n-1）+1，因此，p=m+L+1；如果2n-1不是素?cái)?shù)，那么在p個(gè)素?cái)?shù)表達(dá)式中一定沒(méi)有“偶數(shù)2n表示為素?cái)?shù)與1之和”這個(gè)表達(dá)式，因此，p=m+L.

同樣可以得到，在n個(gè)奇數(shù)表達(dá)式中含有q個(gè)是合數(shù)表達(dá)式（偶數(shù)2n表示為一個(gè)合數(shù)與一個(gè)特定奇數(shù)之和的表達(dá)形式稱為合數(shù)表達(dá)式）.顯然，n=p+q+1，在這里n表示當(dāng)偶數(shù)2n表為奇數(shù)表達(dá)式時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，p表示當(dāng)偶數(shù)2n表為素?cái)?shù)表達(dá)式時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，q表示當(dāng)偶數(shù)2n表為合數(shù)表達(dá)式時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，1表示當(dāng)偶數(shù)2n表示為1與（2n-1）之和時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù).例如，當(dāng)偶數(shù)2n=24時(shí)，偶數(shù)24表示為奇數(shù)表達(dá)式時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)是12，即n=12，具體如下：24=1+23=3+21=5+19=7+17=9+15=11+13=13+11=15+9=17+7=19+5=21+3=23+1.偶數(shù)24表示為素?cái)?shù)表達(dá)式時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)是8，即p=8，具體如下：24=3+21=5+19=7+17=11+13=13+11=17+7=19+5=23+1.偶數(shù)24表示為合數(shù)表達(dá)式時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)是3，即q=3，具體如下：24=9+15=15+9=21+3.偶數(shù)24表示為1+23時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)是1.在q個(gè)合數(shù)表達(dá)式中，每一個(gè)合數(shù)表達(dá)式必定含有一個(gè)合數(shù)與一個(gè)特定奇數(shù)之和，其表達(dá)式的形式也一定是下列3種表達(dá)式中的一種：①偶數(shù)2n可能表示為兩個(gè)合數(shù)之和，即偶數(shù)2n=合數(shù)+合數(shù)；②偶數(shù)2n還可能表示為合數(shù)與素?cái)?shù)之和，即偶數(shù)2n=合數(shù)+素?cái)?shù)；③偶數(shù)2n還可能表示為合數(shù)與1之和，即偶數(shù)2n=合數(shù)+1.同樣可以假設(shè)在q個(gè)合數(shù)表達(dá)式中含有t個(gè)合數(shù)表達(dá)式是兩個(gè)合數(shù)之和的表達(dá)形式.顯然，在q個(gè)合數(shù)表達(dá)式中也含有m個(gè)合數(shù)表達(dá)式是合數(shù)與素?cái)?shù)之和的表達(dá)形式（因?yàn)樗財(cái)?shù)+合數(shù)表示素?cái)?shù)表達(dá)式與合數(shù)+素?cái)?shù)表示合數(shù)表達(dá)式，只是順序和名稱不一樣，其實(shí)質(zhì)是一樣的，因此有m個(gè)是素?cái)?shù)+合數(shù)的素?cái)?shù)表達(dá)式，同樣也就有m個(gè)是合數(shù)+素?cái)?shù)的合數(shù)表達(dá)式.例如，12=3+9=9+3，其中3+9是表示一個(gè)素?cái)?shù)表達(dá)式，是素?cái)?shù)與合數(shù)之和的表達(dá)形式；9+3是表示一個(gè)合數(shù)表達(dá)式，是合數(shù)與素?cái)?shù)之和的表達(dá)形式）.如果2n-1是合數(shù)，那么在q個(gè)合數(shù)表達(dá)式中一定含有“偶數(shù)2n表示為合數(shù)與1之和”這個(gè)表達(dá)式，即2n=（2n-1）+1，因此，q=m+t+1；如果2n-1不是合數(shù)，當(dāng)然在q個(gè)合數(shù)表達(dá)式中一定沒(méi)有“偶數(shù)2n表示為合數(shù)與1之和”這個(gè)表達(dá)式，因此，q=m+t.

因?yàn)閜=m+L或p=m+L+1，q=m+t或q=m+t+1，又因?yàn)?n-1要么是一個(gè)素?cái)?shù)，要么是一個(gè)合數(shù)，只能是其中的一種（注意，2n-1＞1），所以，n=p+q+1=m+t+m+L+2，即n=L+2m+t+2，它又可以變形為L(zhǎng)=n-2m-t-2，其中，n表示當(dāng)偶數(shù)2n表為兩個(gè)奇數(shù)之和時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，L表示當(dāng)偶數(shù)2n表為兩個(gè)素?cái)?shù)之和時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，2m表示當(dāng)偶數(shù)2n表為素?cái)?shù)+合數(shù)與合數(shù)+素?cái)?shù)時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，t表示當(dāng)偶數(shù)2n表為兩個(gè)合數(shù)之和時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，2表示兩個(gè)表達(dá)式，一個(gè)表達(dá)式是偶數(shù)2n表示為1與（2n-1）之和，另一個(gè)表達(dá)式是偶數(shù)2n表示為（2n-1）與1之和.

我們?cè)俸?jiǎn)單說(shuō)一下證明L＞0的原因，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中經(jīng)常碰到很多個(gè)偶數(shù)不僅可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和，而且它們表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和的表達(dá)式個(gè)數(shù)并不唯一.例如，10=3+7=5+5，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，18=5+13=7+11，20=3+17=7+13，22=3+19=5+17=11+11，24=5+19=7+17=11+13，26=3+23=7+19=13+13，28=5+23=11+17，30=7+23=11+19=13+17，32=3+29=13+19，34=3+31=5+29=11+23=17+17，36=5+31=7+29=13+23=17+19，38=7+31=19+19，40=3+37=11+29=17+23，…….這些例子在數(shù)學(xué)中是比較簡(jiǎn)單、常見(jiàn)的，卻一直沒(méi)有引起人們的關(guān)注和思考.往往簡(jiǎn)單的問(wèn)題都隱藏著絕妙的玄機(jī).上面的那些例子暗示我們?nèi)ニ伎迹阂粋€(gè)大于4的偶數(shù)2n表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和的表達(dá)式個(gè)數(shù)到底有多少，跟什么有關(guān)？像這樣的偶數(shù)有多少，又有什么規(guī)律？如何去尋找？是不是每一個(gè)大于4的偶數(shù)2n都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和呢？我按照這個(gè)思路，先從偶數(shù)6開(kāi)始尋找，一直到偶數(shù)6 002，書(shū)寫(xiě)了幾百萬(wàn)個(gè)數(shù)學(xué)式子，終于發(fā)現(xiàn)：偶數(shù)2n表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和的表達(dá)式個(gè)數(shù)，隨著該偶數(shù)2n的增大而成波動(dòng)性增加，即L值在增加過(guò)程中有少數(shù)是相對(duì)降低的，但總的趨勢(shì)是增加的.這個(gè)結(jié)論只是從一部分事例中獲得，而哥德巴赫猜想只是它（L=n-2m-t-2）的一部分，想利用這個(gè)結(jié)論為哥德巴赫猜想的研究開(kāi)辟新的途徑，就必須從理論上證明L＞0.我們現(xiàn)在根據(jù)公式L=p-m或L=p-m-1（即L=n-2m-t-2），再?gòu)睦碚撋蟻?lái)研究：在n個(gè)奇數(shù)表達(dá)式中含有兩個(gè)素?cái)?shù)之和的表達(dá)式個(gè)數(shù)L.

2 證明過(guò)程

根據(jù)題意，L只能是非負(fù)整數(shù)，只要證明L＞0，就可以充分說(shuō)明：每一個(gè)大于4的偶數(shù)2n都可以表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，而證明公式L=p-m或L=p-m-1，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證出，具體證明過(guò)程如下.

當(dāng)m=0時(shí)：

當(dāng)偶數(shù)2n=4時(shí)，4表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)式有2個(gè)，即4=1+3=3+1，4不能表示為素?cái)?shù)+合數(shù)的表達(dá)形式，則p=m+L+1（p=1，即4=3+1）、m=0，L=pm-1=1-0-1=0，L=0說(shuō)明當(dāng)p=1時(shí)，偶數(shù)4不能表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，顯然這個(gè)結(jié)論也符合實(shí)際；

當(dāng)偶數(shù)2n=6時(shí)，6表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)式有3個(gè)，即6=1+5=3+3=5+1，6不能表示為素?cái)?shù)+合數(shù)的表達(dá)形式，則p=m+L+1（p=2，即6=3+3=5+1）、m=0，L=p-m-1=2-0-1=1＞0；

當(dāng)偶數(shù)2n=8時(shí)，8表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)式有4個(gè)，即8=1+7=3+5=5+3=7+1，8不能表示為素?cái)?shù)+合數(shù)的表達(dá)形式，則p=m+L+1（p=3，即8=3+5=5+3=7+1）、m=0，L=p-m-1=3-0-1=2＞0；

當(dāng)偶數(shù)2n=10時(shí)，10表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)式有5個(gè)，即10=1+9=3+7=5+5=7+3=9+1，10不能表示為素?cái)?shù)+合數(shù)的表達(dá)形式，則p=m+L（p=3，即10=3+7=5+5=7+3）、m=0，L=p-m=3-0=3＞0.

討論到這里有的朋友可能會(huì)問(wèn)：m=0除了偶數(shù)4、6、8、10以外，是否存在更多的偶數(shù)呢？這個(gè)很可能有，但是我們不需要找出所有的偶數(shù)，并且尋找也很困難，因?yàn)殡S著偶數(shù)的增大，該偶數(shù)表示為素?cái)?shù)表達(dá)式p也在增大，而m不變還等于零，所以L顯然大于零.顯然下文m=1也是這樣.

當(dāng)m=1時(shí)：

當(dāng)偶數(shù)2n=12時(shí)，12表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)式有6個(gè)，即12=1+11=3+9=5+7=7+5=9+3=11+1，12表示為素?cái)?shù)+合數(shù)的表達(dá)式有1個(gè)，即12=3+9，則p=m+L+1（p=4，即12=3+9=5+7=7+5=11+1）、m=1，L=p-m-1=4-1-1=2＞0；

當(dāng)偶數(shù)2n=14時(shí)，14表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)式有7個(gè)，即14=1+13=3+11=5+9=7+7=9+5=11+3=13+1，14表示為素?cái)?shù)+合數(shù)的表達(dá)式有1個(gè)，即14=5+9，則p=m+L+1（p=5，即1 4=3+1 1=5+9=7+7=1 1+3=1 3+1）、m=1，L=pm-1=5-1-1=3＞0；

當(dāng)偶數(shù)2 n=1 6時(shí)，1 6表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)式有8個(gè)，即1 6=1+1 5=3+1 3=5+1 1=7+9=9+7=1 1+5=1 3+3=1 5+1，1 6表示為素?cái)?shù)+合數(shù)的表達(dá)式有1個(gè)，即1 6=7+9，則p=m+L（p=5，即1 6=3+1 3=5+1 1=7+9=1 1+5=1 3+3）、m=1，L=p-m=5-1=4＞0；

當(dāng)偶數(shù)2 n=1 8時(shí)，1 8表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)式有9個(gè)，即1 8=1+1 7=3+1 5=5+1 3=7+1 1=9+9=1 1+7=1 3+5=1 5+3=1 7+1，1 8表示為素?cái)?shù)+合數(shù)的表達(dá)式有1個(gè)，即1 8=3+1 5，則p=m+L+1（p=6，即1 8=3+1 5=5+1 3=7+1 1=1 1+7=1 3+5=1 7+1）、m=1，L=p-m-1=6-1-1=4＞0；

當(dāng)偶數(shù)2 n=2 4時(shí)，2 4表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)式有1 2個(gè)，即2 4=1+2 3=3+2 1=5+1 9=7+1 7=9+1 5=1 1+1 3=1 3+1 1=1 5+9=1 7+7=1 9+5=2 1+3=2 3+1，2 4表示為素?cái)?shù)+合數(shù)的表達(dá)式有1個(gè)，即2 4=3+2 1，則p=m+L+1（p=8，即2 4=3+2 1=5+1 9=7+1 7=1 1+1 3=1 3+1 1=1 7+7=1 9+5=2 3+1）、m=1，L=p-m-1=8-1-1=6＞0.

在這里我們?yōu)槭裁床挥懻撆紨?shù)2 n=2 0、2 2，而直接討論偶數(shù)2 n=2 4？因?yàn)? 0表示為兩個(gè)奇數(shù)之和的表達(dá)式有1 0個(gè)，即2 0=3+1 7=5+1 5=7+1 3=1 1+9=1 3+7=1 7+3=1 9+1，2 0表示為素?cái)?shù)+合數(shù)的表達(dá)式有2個(gè)，即2 0=5+1 5=9+1 1，所以m=2；同樣可以得到，在偶數(shù)2 n=2 2中m=2，而這里專門(mén)討論m=1，因此我們不討論偶數(shù)2 n=2 0、2 2.

假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，L1=p1-k＞0或L1=p1-k-1＞0（注意，通過(guò)上面討論我們還可以發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)m值可以對(duì)應(yīng)多個(gè)L、p值，事實(shí)上也是這樣，所以，當(dāng)m=k時(shí)，L1、p1也不是對(duì)應(yīng)一個(gè)L、p值，而是代表在m=k時(shí)所有L、p值.下文中L2、p2的意思也是如此）.則當(dāng)m=k+1時(shí)，可設(shè)L2=p2-（k+1）或L2=p2-（k+1）-1.因?yàn)閜=m+L或p=m+L+1，所以當(dāng)m由k變?yōu)閗+1時(shí)，p值存在3種變化情況.

1）p值增加.顯然L2=p2-（k+1）＞0或L2=p2-（k+1）-1＞0.

2）p值減少.因?yàn)閜=m+L或p=m+L+1，所以p值減少，L就減少，因?yàn)閜1=k+L1或p1=k+L1+1，p2=k+1+L2或p2=k+1+L2+1，所以p1-p2=L1-L2，或p1-p2=L1-L2-1，或p1-p2=L1-L2-2；又因?yàn)閜1=k+L1或p1=k+L1+1，p2=k+1+L2或p2=k+1+L2+1，所以p1-L1=p2-L2，或p1-L1=p2-L2-1，或p1-L1=p2-L2-2；再將式p1-p2=L1-L2、p1-p2=L1-L2-1、p1-p2=L1-L2-2的兩邊分別同時(shí)乘以等式p1-L1=p2-L2、p1-L1=p2-L2-1、p1-L1=p2-L2-2的兩邊，得到等式：①（p1-p2）（p1-L1）=（L1-L2）（p2-L2），或②（p1-p2）（p1-L1）=（L1-L2）（p2-L2-1），或③（p1-p2）（p1-L1）=（L1-L2）（p2-L2-2），或④（p1-p2）（p1-L1）=（L1-L2-1）（p2-L2），或⑤（p1-p2）（p1-L1）=（L1-L2-1）（p2-L2-1），或⑥（p1-p2）（p1-L1）=（L1-L2-1）（p2-L2-2），或⑦（p1-p2）（p1-L1）=（L1-L2-2）（p2-L2），或⑧（p1-p2）（p1-L1）=（L1-L2-2）（p2-L2-1），或⑨（p1-p2）（p1-L1）=（L1-L2-2）（p2-L2-2）.為了研究方便，將①化簡(jiǎn)整理得到：-L2（p2+L1）--p1p2-p1L1）=0，解之得：顯然，L2＞0.同理可證，其它等式中的L2＞0.所以當(dāng)m由k變?yōu)閗+1、p值減少時(shí)，L2=p2-（k+1）＞0或L2=p2-（k+1）-1＞0.

3）p值不變.因?yàn)閜值不變，所以p1=k+L1或p1=k+L1+1，p2=k+1+L2或p2=k+1+L2+1，所以，①p-L1=p-L2，或②p-L1=p-L2-1，或③p-L1=p-L2-2.再將①、②、③等式兩邊平方得到：④（p-L1）2=（p-L2）2，或⑤（p-L1）2=（p-L2-1）2，或⑥（p-L1）2=（p-L2-2）2.為了研究方便，將④化簡(jiǎn)整理得到：L22-2pL2+2pL1-L12=0，解之得：顯然，L2＞0.同理可證，其它等式中的L2＞0.因?yàn)棰?、②、③等式兩邊均是非?fù)數(shù)，所以通過(guò)平方后得到的④、⑤、⑥式子中L2的范圍沒(méi)有變化，所以當(dāng)m由k變?yōu)閗+1、p值不變時(shí)，L2=p2-（k+1）＞0或L2=p2-（k+1）-1＞0.所以當(dāng)m=k+1時(shí)，L2=p2-（k+1）＞0或L2=p2-（k+1）-1＞0.

所以當(dāng)m≥0，m∈N時(shí)，公式L=p-m＞0或L=p-m-1＞0.由于L=n-2mt-2是由L=p-m或L=p-m-1推導(dǎo)而來(lái)，所以當(dāng)n＞2，n∈N時(shí)，公式L=n-2m-t-2＞0，其中，p表示當(dāng)偶數(shù)2n表為素?cái)?shù)+素?cái)?shù)與素?cái)?shù)+合數(shù)或素?cái)?shù)+1時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)（注意，在公式L=p-m中，p不包括表達(dá)式：素?cái)?shù)+1），L表示當(dāng)偶數(shù)2n表為兩個(gè)素?cái)?shù)之和時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，n表示當(dāng)偶數(shù)2n表為兩個(gè)奇數(shù)之和時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，t表示當(dāng)偶數(shù)2n表為兩個(gè)合數(shù)之和時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，m表示當(dāng)偶數(shù)2n表為素?cái)?shù)+合數(shù)時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，2m表示當(dāng)偶數(shù)2n表為素?cái)?shù)+合數(shù)及合數(shù)+素?cái)?shù)時(shí)的表達(dá)式個(gè)數(shù)，那么公式p-m-1中最后一項(xiàng)1就是表示當(dāng)（2n-1）是素?cái)?shù)時(shí)，偶數(shù)2n表示為（2n-1）+1，公式L=n-2m-t-2中最后一項(xiàng)2就表示偶數(shù)2n表示為（2n-1）+1與1+（2n-1）.

[3] 陳景潤(rùn).陳氏定理（1+2）的證明[C].北京：清華大學(xué)出版社，1973.

[5] Lu Yi.An interesting problem discovered in the properties of even numbers[J].Natural Science Research，2007，12（4）：93-95.

[6] 陸毅.對(duì)“任何一個(gè)大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)奇數(shù)之和”的思考[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）研究生?？?008（22）：3-6.

A Proof of Representing of an Even Number as Summation of Two Odd Numbers

LU Yi

(Fangshan High school，Tonghai，Lianyungang 222341，Jiangsu，China)

An even number is represented as a summation of two odd numbers in 6 expressions.The relationship among the expressions are demonstrated and proved with mathematical induction.

odd number expression；prime number expression；summation；number of expressions

O 156.4

A

1001-4217（2010）01-0001-07

2009-10-09

陸毅（1967-），男，江蘇連云港人，本科.研究方向：解析數(shù)論-哥德巴赫猜想.E-mail：luyi1967314@163.com