陳 曉，張連增

(南開大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院風(fēng)險(xiǎn)管理與保險(xiǎn)學(xué)系，天津 300071)

0 引言

未決賠款準(zhǔn)備金是非壽險(xiǎn)公司財(cái)務(wù)報(bào)表上的一項(xiàng)最為重要的負(fù)債項(xiàng)目。提高未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估的準(zhǔn)確性，對(duì)于分析、評(píng)估和防范非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn),保證公司的償付能力,以及保護(hù)被保險(xiǎn)人的利益而言都具有重要的意義。在非壽險(xiǎn)領(lǐng)域準(zhǔn)備金評(píng)估的過程中，鏈梯法 （chain-ladder method）由于其簡(jiǎn)易性和幾乎不需要任何假設(shè)的特點(diǎn)，成為基于流量三角形對(duì)未決賠款準(zhǔn)備金進(jìn)行預(yù)測(cè)的常用方法。通常，鏈梯法可分別應(yīng)用于已決賠款（paid-loss）和已發(fā)生賠款（incurred-loss）數(shù)據(jù)。由于這兩種方法都用于預(yù)測(cè)最終賠款額，我們自然期望通過這兩種方法能夠得到相近的預(yù)測(cè)結(jié)果。但是在實(shí)際問題中結(jié)論并非如此，依據(jù)這兩類數(shù)據(jù)得到的最終賠款額有較大差異。Halliwell[1]首次從隨機(jī)過程的角度研究了這個(gè)問題。之后，Quarg和Mack[2]引入Munich chainladder(MCL)模型，該模型降低了鏈梯法基于已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)最終賠款額之間的差異，從而更加準(zhǔn)確地估計(jì)未決賠款準(zhǔn)備金。

本文擬運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的穩(wěn)健回歸 （Huber M估計(jì)法和Bisquare M估計(jì)法）和耐抗回歸（LTS估計(jì)法）方法優(yōu)化Munich鏈梯法，通過降低離群點(diǎn)對(duì)參數(shù)估計(jì)的干擾，進(jìn)一步降低基于已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的最終賠款額之間的差異，從而更準(zhǔn)確提取未決賠款準(zhǔn)備金。應(yīng)用軟件 R-2.8.1編寫程序?qū)崿F(xiàn)鏈梯法、Munich鏈梯法和優(yōu)化的Munich鏈梯法，并以Quarg和Mack（2004）中的數(shù)據(jù)為例，比較上述方法在未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估方面的優(yōu)劣。

在本文中，以 Pi,t,Ii,t(i,t=1,2,…，n)分別表示在事故年 i、發(fā)展年t年末的累計(jì)已決賠款和累計(jì)已發(fā)生賠款。以表示事故年在準(zhǔn)備金評(píng)估日（假設(shè)為年末）的當(dāng)前發(fā)展年，那么Pi,t,Ii,t(1≤t≤ci)為已知數(shù)據(jù)，Pi,t,Ii,t(ci＜t≤n)為預(yù)測(cè)值。

1 鏈梯法及其缺陷

鏈梯法假設(shè)如果沒有外來因素（如通貨膨脹等）的影響，那么各事故年的賠案在未來各發(fā)展年的賠款進(jìn)展是平穩(wěn)的。這個(gè)假設(shè)表現(xiàn)在流量三角形中就是：平均而言各列的數(shù)據(jù)成比例。

由鏈梯法定義，對(duì)于s≥ci，預(yù)測(cè)值Pi,s+1和Ii,s+1分別為：

由鏈梯法，依據(jù)已決賠款和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)計(jì)算的最終賠款額Pi,n和Ii,n分別為：

事故年i在發(fā)展年t的已決賠款額與已發(fā)生賠款額的比率定義為

所有的事故年在發(fā)展年的平均比率定義為

其中對(duì)于 ci＜t≤n，Pi,t和 Ii,t為由式（2）得到的預(yù)測(cè)值。 那么對(duì)于 t≥ci，下式成立：

式（4）的詳細(xì)推導(dǎo)見 Quarg和 Mack （2004）。 式（4）表明在各個(gè)發(fā)展年度，每一事故年P(guān)/I的預(yù)測(cè)值與所有事故年的P/I的平均值之比是常數(shù)，它為在當(dāng)前發(fā)展年的對(duì)應(yīng)的比值。也就是說，對(duì)于任一事故年i，如果在準(zhǔn)備金評(píng)估日（即發(fā)展年ci年末），該比值大于1，那么在發(fā)展年n年末時(shí)，該比值也大于1；反之亦然。在遞推過程中對(duì)于t≥ci，由式（4）可得：

考慮到實(shí)際意義，可以預(yù)期隨著發(fā)展年t的增大，(P/I)t以遞增的方式趨近于1。在準(zhǔn)備金評(píng)估日，如果事故年i的（4）式比值大于 1，那么（5）式左邊(P/I)i,t-(P/I)t為關(guān)于 t的增函數(shù)。也就是說，鏈梯法會(huì)把這種趨勢(shì)在每一步遞推中逐步擴(kuò)大。具體地說，以Quarg和Mack（2004）中的已決賠款流量三角形和已發(fā)生賠款流量三角形數(shù)據(jù)（事故年為7年，發(fā)展年為7年）為例，應(yīng)用鏈梯法計(jì)算得到各事故年在每一發(fā)展年的（P/I）比率。以發(fā)展年作為橫坐標(biāo)，以各發(fā)展年對(duì)應(yīng)的所有事故年的（P/I）比率作為縱坐標(biāo)，可以直觀地發(fā)現(xiàn)各事故年的（P/I）比率隨著發(fā)展年的增加呈現(xiàn)發(fā)散趨勢(shì)，而非集中于平均（P/I）比率。為了直觀表現(xiàn)這一趨勢(shì)，在圖1中以平滑直線連接7個(gè)發(fā)展年的平均（P/I）比率。這樣導(dǎo)致的問題就是：對(duì)于較近的事故年，由于需要遞推計(jì)算的次數(shù)較多，在最終發(fā)展年（P/I）比率距1有較大差異。由于鏈梯法預(yù)測(cè)最終賠款額存在上述缺陷，為此引入Munich鏈梯法。

2 Munich chain-ladder模型

Quarg和Mack(2004)提出Munich鏈梯法，成功地降低了鏈梯法基于已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)得到的最終賠款額之間的差異。Munich鏈梯法通過P/I比率（累計(jì)已決賠款/累計(jì)已發(fā)生賠款）反映已決賠款數(shù)據(jù)P和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)I的相關(guān)性。

記事故年i、發(fā)展年j年末的P/I比率為(i,j=1,2,…,n)：

記發(fā)展年j的平均P/I比率為：

其中 Pi,t,Ii,t(ci＜t≤n)為根據(jù)式（2）得到的預(yù)測(cè)值。

Munich鏈梯法（簡(jiǎn)稱MCL方法）通過調(diào)整發(fā)展因子來減小依據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款分別得到的最終賠款額之間的差異，其基本思想是：對(duì)于某一事故年，如果在準(zhǔn)備金當(dāng)前評(píng)估日P/I比率比較低 （低于在準(zhǔn)備金評(píng)估日的平均P/I比率），那就意味著與其它事故年相比，該事故年截至準(zhǔn)備金評(píng)估日已決賠款偏少或已發(fā)生未決賠款準(zhǔn)備金偏多，因此在未來階段賠款額會(huì)增加，從而應(yīng)該增加與當(dāng)前評(píng)估日相對(duì)應(yīng)的發(fā)展年的已決賠款的發(fā)展因子，而減小已發(fā)生賠款的發(fā)展因子。反之，如果在準(zhǔn)備金評(píng)估日P/I比率比較高（高于在準(zhǔn)備金評(píng)估日的平均P/I比率），那么該事故年的已決賠款的預(yù)測(cè)值應(yīng)降低，已發(fā)生賠款的預(yù)測(cè)值應(yīng)升高。

記Pi(s)={Pi,1,…,Pi,s}和Ii(s)={Ii,1,…,Ii,s}分別表示事故年的已決賠款額和已發(fā)生賠款額在發(fā)展年s之前的數(shù)據(jù)。首先將所有發(fā)展年的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，得到殘差值，期望為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。殘差通過條件期望定義如下：

其中X為隨機(jī)變量，而C表示某條件。

依據(jù)MCL方法的基本思想，根據(jù)以下回歸模型調(diào)整發(fā)展因子。

針對(duì)已決賠款數(shù)據(jù)：

針對(duì)已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)：

其中 λp和 λI均為常數(shù)（有關(guān)計(jì)算見下文），而且 λp，λI≥0，它們表示在殘差圖中的回歸線斜率。Bi(s)表示二維過程(Pi(s),Ii(s))。 Q 由（6）式定義。

由殘差定義，式（8）和（9）分別等價(jià)于式（10）和（11）：

3 Munich chain-ladder模型的參數(shù)優(yōu)化

Quarg和 Mack（2004）首次提出MCL方法時(shí)，應(yīng)用最小二乘法（OLS）分別估計(jì)式(8)和式(9)中回歸系數(shù) λP和 λI，即

但是在殘差圖中通常會(huì)出現(xiàn)離群點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)用最小二乘法估計(jì)回歸線的斜率（見式（8）和式（9））會(huì)產(chǎn)生較大誤差，從而導(dǎo)致回歸模型（見式（10）和式（11））不穩(wěn)定。 Verdier和Klinger(2005)指出式（8）和式（9）中斜率應(yīng)根據(jù)不同的發(fā)展階段而進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整。

以下應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中穩(wěn)健估計(jì)模型，很好地解決了應(yīng)用最小二乘法求回歸直線時(shí)，可能存在的某些離群點(diǎn)對(duì)回歸的顯著性(擬合度)的影響。我們將通過穩(wěn)健回歸（Robust regres?sion）和耐抗回歸（Resistant regression）計(jì)算出回歸線斜率，其中穩(wěn)健回歸方法通過降低離群點(diǎn)的權(quán)重增強(qiáng)回歸的穩(wěn)健性，而耐抗回歸方法通過建立約束模型在回歸過程中直接除去離群點(diǎn)。對(duì)于穩(wěn)健回歸方法，我們分別采用Huber M估計(jì)法（Huber’s M estimator）和 Bisquare M 估計(jì)法（Bisquare’s M estimator）設(shè)置離群點(diǎn)的權(quán)重[4]。

Huber M估計(jì)法：設(shè)定轉(zhuǎn)折參數(shù)，權(quán)重給出如下

Bisquare M估計(jì)法 設(shè)定轉(zhuǎn)折參數(shù)c=4.685，權(quán)重w給出如下：

其中在式（13）和（14）中u表示采用絕對(duì)離差的中位數(shù)（Median Absolute Deviation）估計(jì)方法規(guī)范化后的殘差，即

在耐抗回歸方法中，我們采用LTS（Least trimmed squares）估計(jì)法除去離群點(diǎn)。定義

下面以Quarg和Mack（2004）中的累計(jì)已決賠款流量三角形（表1）和累計(jì)已發(fā)生賠款流量三角形（表2）數(shù)據(jù)為例，應(yīng)用軟件 R-2.8.1分別計(jì)算穩(wěn)健回歸和耐抗回歸模型中的參數(shù)估計(jì)值和最終P/I（已決賠款額/已發(fā)生賠款額）比率，并將計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)CL方法和MCL方法進(jìn)行比較(程序略)。

表3給出根據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)分別用傳統(tǒng)鏈梯法（CL）、Munich鏈梯法（MCL）和優(yōu)化的Munich鏈梯法（MCL-Robust&Resistant Regression）預(yù)測(cè)的最終賠款額，表4給出根據(jù)已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)用上述方法預(yù)測(cè)的最終賠款額Ii,n。由MCL方法預(yù)測(cè)得到的累計(jì)已決賠款和累計(jì)已發(fā)生賠款的數(shù)據(jù)略。

表1 累計(jì)已決賠款流量三角形Pi,j

表2 累計(jì)已發(fā)生賠款流量三角形Ii,j

表3 根據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的最終賠款額Pi,n

表4 根據(jù)已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的最終賠款額Ii,n

表5 已決賠款和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的最終賠款額的比率Pi,n/Ii,n

表6 CL、傳統(tǒng)MCL和優(yōu)化MCL方法的參數(shù)估計(jì)值

表5和表6表明，與傳統(tǒng)鏈梯法相比，由Munich鏈梯法得到的每一事故年的最終賠款額P/I的比率和所有事故年平均最終賠款額的P/I比率均更接近于1，因此Munich鏈梯法能夠很好地解決傳統(tǒng)鏈梯法中分別依據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的最終賠款額相差較大的問題。同時(shí)，通過穩(wěn)健回歸（Huber M估計(jì)法和Bisquare M估計(jì)法）改進(jìn)的Munich鏈梯法能夠在一定程度上優(yōu)化Munich鏈梯法，即通過降低離群點(diǎn)對(duì)參數(shù)估計(jì)的干擾增強(qiáng)最終賠款額預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，從而進(jìn)一步提高最終賠款額的比率P/I。通過耐抗回歸（LTS估計(jì)法）改進(jìn)的Munich鏈梯法對(duì)此例的計(jì)算結(jié)果并不理想，但對(duì)存在顯著離群點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)回歸估計(jì)時(shí)，采用該方法將得到理想的優(yōu)化效果。

4 結(jié)論

本文采用Munich鏈梯法及其優(yōu)化方法分別依據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)最終的賠款額，進(jìn)而得到未決賠款準(zhǔn)備金的估計(jì)值。較傳統(tǒng)鏈梯法，Munich鏈梯法及其優(yōu)化方法具有以下特點(diǎn)：

（1）Munich鏈梯法依據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)的相關(guān)性來調(diào)整發(fā)展因子，從而成功地降低了鏈梯法基于已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)得到的最終賠款額之間的差異。

（2）本文通過統(tǒng)計(jì)學(xué)中的穩(wěn)健回歸（Huber M估計(jì)法和Bisquare M估計(jì)法）和耐抗回歸（LTS估計(jì)法）方法優(yōu)化了Munich鏈梯法，即通過降低殘差圖中離群點(diǎn)對(duì)回歸參數(shù)估計(jì)的干擾，增強(qiáng)回歸模型的穩(wěn)定性，從而減小最終賠款額的預(yù)測(cè)誤差。

（3）Munich鏈梯法及其優(yōu)化方法簡(jiǎn)單有效，可操作性強(qiáng)。由于本文應(yīng)用R軟件編譯實(shí)現(xiàn)Munich鏈梯法及其優(yōu)化方法，解決了矩陣處理和回歸參數(shù)估計(jì)等問題，使得該方法具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)操作性。

[1]Halliwell,L.J.Conjoint Prediction of Paid and Incurred Losses[C].CAS Forum,1997.

[2]Quarg,G.,Mack,T.Munich Chain Ladder[J].Blatter der DGVFM,Band XXVI，2004，597～630.

[3]Verdier,B.,Klinger,A.JAB Chain:A Model Based Calculation of Paid and Incurred Developments Factors[C].36thASTIN Colloquium,2005.

[4]Rousseeuw,P.J.,Leroy,A.M.Robust Regression and Outlier Detection[M].New York:Wiley,1987.

[5]Markus Gesmann.Mack,Bootstrap and Munich-chain-ladder Methods for Insurance Claims Reserving[EB/OL].http://www.freestatistics.org/cran,2008.