霍麗娜

（榆林學院 數(shù)學系，陜西 榆林 719000）

倉庫容量有限允許缺貨條件下的隨機存儲模型

霍麗娜

（榆林學院 數(shù)學系，陜西 榆林 719000）

對允許缺貨的隨機存儲問題，建立了倉庫容量有限并可以租賃倉庫的存儲模型，給出了模型的一般算法，較好地解決了多種商品在允許缺貨條件下的最佳訂貨點的確定問題.

隨機存貯；存儲銷售周期；懲罰函數(shù)法

1 問題的提出

企業(yè)生產(chǎn)需定期購進各種原料，商家銷售要成批地購進各種商品.無論是原料或商品，都存在如何存貯的問題.庫存冗余則存貯費用較高，庫存短缺則無法滿足需求，影響利潤，所以許多商家為了滿足市場的隨機大量需求，采用租借別人倉庫的方法，但是一般租借別人倉庫都比使用自己倉庫的費用高.因此，在這種情況下的實際的生產(chǎn)過程中，采用有效的庫存管理方法將起到調(diào)節(jié)供需余缺、保證生產(chǎn)正常進行的作用，從而有力的降低不利損耗，提高企業(yè)效益.顯然，在市場經(jīng)濟蓬勃發(fā)展的今天，研究這樣一個可以服務廣大工商界的問題的重要性不容忽視.

2 符號說明

T 商品存貯銷售周期

ki第i種商品的庫存下降速率（銷售速率）

E(X)供貨時間的數(shù)學期望

s某種商品在一個周期T中的總損失費用

S m種商品在一個周期內(nèi)的總損失費用

Z 商品在一段時期內(nèi)的總損失費用

t0某一周期T的開始時刻

t1庫存商品量L售完時刻

t2所訂商品到位時刻

t3租借倉庫中商品售完時刻

t4自己倉庫中商品庫存量降至L的時刻

Q0i第i種商品在自己倉庫中的庫存體積容量

Qi第i種商品被補充到的固定體積容量

3 模型基本假設

（1）存貯時先將商品存入自己的倉庫，剩余的存入租借的倉庫.

（2）出售時先出售租借倉庫中的商品，待其被銷售完，再銷售存在自己倉庫中的商品.（3）假設倉庫開始庫存第i種商品數(shù)量為Li.（4）當商品庫存下降速率一定時，任一階段中商品的庫存量可取其中間值.

（5）商品供貨時間X雖然是隨機的，但因其上下波動不大，故可采用其數(shù)學期望E(X)作為供貨時間進行分析.

4 模型建立與求解

圖1

商家存貯銷售的商品為m種，就某種商品i而言，其循環(huán)過程中的損失費用分析如下：商品的存貯與銷售是一個周期的循環(huán)過程，故可以就其中一個周期進行分析，商家商品的庫存量變化情況如圖（1）所示.現(xiàn)將商品的周轉(zhuǎn)周期T分為幾個不同的階段，因各階段庫存商品數(shù)量的變化規(guī)律不同而導致?lián)p失費用變化規(guī)律不同，故首先對每個階段進行分析，分別得出損失費用隨商品數(shù)量變化的規(guī)律，以期通過各階段損失費用的累加獲得整個商品周轉(zhuǎn)周期內(nèi)損失費用相對商品數(shù)量變化的函數(shù).將m種商品中每一種商品采取同樣方法進行分析，然后把所有商品的損失費累加即可求得m種商品在一個存儲周期存貯銷售過程中總的損失費用[1,2,3].

4.1.1 由于商品的銷售以體積(rivi)的方式減少，為了方便表述，在此依據(jù)上面的思路，定義第 種商品的庫存減少速率（銷售）為ki，

4.1.3 待貨階段：此階段商家?guī)齑娴趇種商品數(shù)量為Li,為保證正常銷售，商家開始訂貨，但所訂貨物不能立即到貨，故此階段中，商家賣出自己庫存商品，其間損失為商品在自己倉庫中的存貯費用：

4.1.4 缺貨階段：此階段中商家?guī)齑嫔唐芬咽弁?，預定商品尚未到貨，因此，商家此時的損失費用為缺貨損失費：

4.1.5 貨物庫存充盈階段：在此階段，商家預訂商品已經(jīng)到貨，分別存入自己的倉庫和租借的倉庫，銷售開始正常進行，因要節(jié)省費用，故租借倉庫中的商品優(yōu)先出售，至租借倉庫中商品售完.此時，商家的損失費用為商品在倉庫中的存貯費用.

賣租借倉庫中商品時自己倉庫的存貯費用：

4.1.6 準備訂貨階段：在此階段，租借倉庫中的商品已出售完畢，開始出售自己倉庫中所存商品，并在庫存降至L i時開始訂貨，而后進入待貨階段，開始新的循環(huán)周期.此階段中，商家的損失費用為商品在自己倉庫中存貯的費用為：

4.1.7 在一個周期中的損失費用為各階段損失費用的累加.一個周期內(nèi)的總損失費用：

4.1.8 因商家現(xiàn)有m種商品，所以在周期T內(nèi)總的損失費用為：

4.1.9 現(xiàn)同樣以一段時期內(nèi)商家總損失費用作為最終研究對象，設這一時期為整體1，則總體損失費用為：

4.2 模型的建立

在此將m種商品在一段時間內(nèi)的總體損失費用最小作為追求的目標，建立模型.

目標函數(shù)：min Z

4.3 模型求解

此模型為有等式約束的極值問題，根據(jù)優(yōu)化理論[4]，現(xiàn)采用兩種方法對模型進行求解，以保證求解正確性.

4.3.1 拉格朗日乘數(shù)法求解

引入拉格朗日函數(shù)

對Qi,Q0i,Li(i=1,2,3…m)，λj(j=1,2)分別求導，并令其等于0可得方程組如下：

解以上方程組即可求得模型的最優(yōu)解.

4.3.2 懲罰函數(shù)法求解

4.3.2.1 懲罰函數(shù)的引入

引入C o u r a n t罰函數(shù)如下：

這就將原模型轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題：min p(x)

4.3.2.2 算法步驟說明

步驟一：選定初始點為x0；選取初始懲罰因子δ1>0（可取δ1=1），懲罰因子的放大系數(shù)c>1（可取c=10）；置k=1.

步驟四：置xk+1=c δk;k=k+1，轉(zhuǎn)步驟二.

5 仿真計算

假設有三種商品同時訂貨，其中v1=0.05立方米，v2=0.04立方米，v3=0.10立方米，自己的倉庫用于存貯這3種商品的總體積容量Q0=6立方米，每次到貨后這3種商品的存貯量總體積補充到固定體積容量Q=10立方米為止，且該供應站從接到訂貨通知到貨物送達商場的天數(shù)X服從在1天到3天之間的均勻分布.其余數(shù)據(jù)同問題2中相應的商品中所列出的數(shù)據(jù).按本文給出的模型求出這3種商品的最優(yōu)訂貨點L*和自己的倉庫用于存貯這3種商品的各自體積容量Q0i(i=1,2,3)以及在訂貨到達時使這3種商品各自存貯量補充到的固定體積Qi(i=1,2,3).(注：問題2參見2005年全國部分高校研究生數(shù)學建模競賽B題中的問題2)

采用懲罰函數(shù)法來求解，依據(jù)上述算法，編程計算，迭代結(jié)果收斂于下表所示的數(shù)據(jù)：

Q1 5.29506Q01 4.203582L*1 0.610622Q2 1.76502Q02 0.673542L*2 0.826727Q3 2.94170Q03 1.12257L*3 2.50691

目前，許多商家為了滿足市場的隨機大量需求，采用租賃別人容量有限的倉庫的方法.為降低不利損耗提高企業(yè)效益，必須采用有效的庫存管理方法.仿真數(shù)據(jù)表明：通過求解本文建立的模型，可以較好地解決多種商品在允許缺貨條件下的最佳訂貨點確定的問題.

〔1〕李溫紅.倉庫容量有限條件下的不允許缺貨存儲模型[J].系統(tǒng)工程理論方法與應用，1997，6(3)：68-71.

〔2〕楊益民.倉庫容量有限條件下的生產(chǎn)銷售存儲模型[J].系統(tǒng)工程，2001，19(1)：18-23.

〔3〕錢頌迪.運籌學[M].清華大學出版社，1990.369-385.

〔4〕袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法[M].科學出版社，1997.

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1673-260X（2010）03-0008-03