桑 龍1,2,陳 靜

(1.西北工業(yè)大學(xué),西安 710072；2.海軍裝備部，西安 710054；3.西安科技大學(xué)，西安 710054)

1 引 言

模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器(ADC)是測(cè)控領(lǐng)域經(jīng)常使用的器件，只有當(dāng)設(shè)計(jì)者對(duì)ADC器件的設(shè)計(jì)技巧及其工作特性十分清楚時(shí)才可以盡可能地捕捉模擬輸入信號(hào)中的有用信息，提高檢測(cè)、監(jiān)測(cè)的精度和速度。傳統(tǒng)ADC測(cè)試過(guò)程往往以直流信號(hào)作為檢測(cè)信號(hào)，通過(guò)全幅值范圍內(nèi)的測(cè)量來(lái)獲得ADC的特性指標(biāo)。然而，隨著應(yīng)用領(lǐng)域測(cè)量信號(hào)速度的不斷提高，以往以靜態(tài)測(cè)量為主的測(cè)試辦法已經(jīng)不適宜現(xiàn)在的測(cè)量過(guò)程[1-3]。

正弦曲線(xiàn)擬合方法常用于數(shù)據(jù)識(shí)別過(guò)程，其基本思想在于識(shí)別信號(hào)中存在的諧波分量。在IEEE 1241-2000中，正弦曲線(xiàn)擬合的ADC測(cè)試方法已被列為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試方法。如果正弦曲線(xiàn)的頻率未知，可以采用四參數(shù)法進(jìn)行擬合，如果通過(guò)測(cè)量或者頻率發(fā)生器已知正弦頻率，則可以通過(guò)三參數(shù)法進(jìn)行擬合。然而，在實(shí)際的測(cè)試過(guò)程中由于ADC自身的量化誤差干擾、采樣值之間不獨(dú)立等因素，使得正常的正弦曲線(xiàn)擬合方法不能夠滿(mǎn)足現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用。

2 ADC動(dòng)態(tài)參數(shù)

在數(shù)字通信、超聲成像等領(lǐng)域，高速ADC的動(dòng)態(tài)參數(shù)決定整個(gè)系統(tǒng)的可用度。SINAD、SNR、THD、ENOB等在很多情況下成為科研工作人員所關(guān)注的焦點(diǎn)。信噪失真比(Signal-to-noise and Distortion Ratio,SINAD)被定義為測(cè)試信號(hào)有效值與噪聲、諧波有效值之比：

(1)

(2)

有效位(Effect Number of Bits,ENOB)的定義式為

(3)

從以上表達(dá)式可以看出，對(duì)ADC動(dòng)態(tài)參數(shù)的測(cè)定過(guò)程實(shí)際上可以表示為對(duì)測(cè)試正弦激勵(lì)信號(hào)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的過(guò)程。

3 標(biāo)準(zhǔn)正弦曲線(xiàn)擬合方法

正弦曲線(xiàn)擬合的方法給出全局行為描述。正弦波曲線(xiàn)可以由幅度、頻率、相位、偏置電壓4個(gè)獨(dú)立參數(shù)共同去描述。ADC的正弦曲線(xiàn)擬合方法采用標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)

x(t)=Acos (2πfit+φ)+C

待估的參數(shù)為

P=[Acos (φ),Bsin (φ),C,ω]

(4)

其中:

(5)

式中，ω為待估信號(hào)角頻率，A、B為待估幅度值，C為待估偏置。在擬合過(guò)程中常采用三參數(shù)法或四參數(shù)法進(jìn)行估計(jì)。如果信號(hào)由高精度頻率發(fā)生器產(chǎn)生或者通過(guò)示波器等已知待估信號(hào)的頻率則采用三參數(shù)法，否則利用四參數(shù)法進(jìn)行估計(jì)。三參數(shù)算法具有閉合、非迭代、運(yùn)算量少等特性，在工程上經(jīng)常采用。假設(shè)：

ym[A,B,C,ω]=Alcosωltn+Blsinωltn+C

(6)

則其代價(jià)函數(shù)為

(7)

因?yàn)棣分械牧惺蔷€(xiàn)性無(wú)關(guān)的，因此它是滿(mǎn)秩矩陣?？梢缘玫剑?/p>

(8)

通過(guò)式(8)，就可以推知待測(cè)ADC的信噪比、有效位等動(dòng)態(tài)參數(shù)。

4 基于Cramer-Rao下界的正弦信號(hào)估計(jì)

利用最小二乘法進(jìn)行的估計(jì)實(shí)際上是在殘差的方差最小的情況下取得的，而方差是一個(gè)隨機(jī)變量，η落在它的均值Eη的鄰域內(nèi)的集中或分散程度一個(gè)度量，所以一個(gè)好的估計(jì)量η應(yīng)該有盡可能小的方差。Cramer-Rao方法可以用于求這個(gè)下界。

對(duì)于

x(n)=Acos (2πfin+φ)+w[n]

n=0,1,…,N-1；w[n]～N(0,σ2)；θ=[A,fi,φ]T，其Fish信息可以表達(dá)為

(9)

對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，對(duì)于i=0,1,2，有:

(10)

通過(guò)計(jì)算有:

(11)

通過(guò)對(duì)式(10)進(jìn)行逆運(yùn)算，可以得到：

(12)

通過(guò)式(12)可以看出，對(duì)于正弦信號(hào)的估計(jì)依賴(lài)于采樣值的大小，當(dāng)采樣次數(shù)或者采樣頻率較大時(shí)估計(jì)值下限較小。

5 改進(jìn)型正弦擬合算法

5.1 量化噪聲分析

在Widow的量化理論中，量化噪聲被設(shè)為隨機(jī)、均勻分布介于±Δ/2間的白噪聲，如果該假設(shè)成立，則當(dāng)采樣次數(shù)足夠多時(shí)，前述標(biāo)準(zhǔn)正弦曲線(xiàn)擬合方法無(wú)疑可以獲得較高的測(cè)量精度。這就意味著只有當(dāng)量化區(qū)間Δ必須充分小時(shí)才可以使得估計(jì)成為無(wú)偏估計(jì)[4]。然而在實(shí)際的測(cè)試過(guò)程中，ADC的量化區(qū)間是一定的。圖1和圖2為理想的3位ADC進(jìn)行正弦信號(hào)測(cè)試的結(jié)果，可以看出量化誤差與輸入信號(hào)相關(guān)，其分布可以被視作由鋸齒波信號(hào)與正弦的峰值信號(hào)共同組成。而正弦的峰值部分恰好反映了待測(cè)信號(hào)的幅值和直流偏壓信號(hào)的特性。因此，標(biāo)準(zhǔn)的正弦曲線(xiàn)擬合方法會(huì)由于量化誤差的引入而造成估計(jì)值遠(yuǎn)大于Cramer-Rao界，擬合出來(lái)的曲線(xiàn)幅值會(huì)低于原始信號(hào)(如圖3所示)。

圖1 原始正弦信號(hào)與量化曲線(xiàn)圖Fig.1 The initial sine wave and quantization process

圖2 量化誤差圖Fig.2 Quantization error

5.2 改進(jìn)算法

正弦曲線(xiàn)的概率密度函數(shù)(PDF)為

(13)

可以看出，信號(hào)在峰值時(shí)誤差概率較大。標(biāo)準(zhǔn)正弦曲線(xiàn)擬合算法采用一般意義的最小二乘法進(jìn)行估計(jì)時(shí)，忽略了量化誤差的非線(xiàn)性成分，將所有的采樣數(shù)據(jù)都視為有效數(shù)據(jù)。而在正弦的峰值時(shí)，量化誤差的分布是不均勻的，因此最小二乘法在這里實(shí)際上是不適用的。加權(quán)最小二乘法從誤差分布的角度出發(fā)，為每個(gè)采樣值分配不同的權(quán)值，從而可以降低量化誤差非線(xiàn)性對(duì)估計(jì)值的影響。

從式(12)中可以看出，在采樣次數(shù)一定，誤差方差σ2較小時(shí)估計(jì)的Cramer-Rao界較小，得到的估計(jì)值較好。計(jì)算估計(jì)值的相關(guān)函數(shù)

同樣證明了這個(gè)問(wèn)題。從

可以看出，降低在峰值采樣值的權(quán)值可以降低估計(jì)誤差。在這里將量化后采樣值進(jìn)行直方圖分析，為每個(gè)采樣值乘以直方圖系數(shù)的倒數(shù)，得到加權(quán)最小二乘法系數(shù)。

5.3 仿真結(jié)果分析

圖3和圖4是利用Matlab軟件對(duì)理想3位ADC進(jìn)行曲線(xiàn)擬合測(cè)試的結(jié)果，其中原始測(cè)試信號(hào)頻率為1 MHz，采樣頻率為5 MHz?？梢钥闯?改進(jìn)方法的擬合精度遠(yuǎn)大于標(biāo)準(zhǔn)方法。

從圖4可以看出，當(dāng)測(cè)試信號(hào)同時(shí)施加了加性白噪聲時(shí)，改進(jìn)的曲線(xiàn)擬合方法依舊可以給出很好的曲線(xiàn)擬合效果。因此，改進(jìn)的曲線(xiàn)擬合方法根據(jù)式(1)和式(3)，能更好地代表ADC嵌入式系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)測(cè)量效果。

圖3 正弦信號(hào)以及擬合曲線(xiàn)仿真結(jié)果Fig.3 Sine input and the fitting result

圖4 施加了噪聲后的信號(hào)以及擬合曲線(xiàn)Fig.4 Noise added input and the fitting result

6 結(jié) 論

本文討論了ADC中的動(dòng)態(tài)參數(shù)測(cè)試正弦曲線(xiàn)擬合方法，并給出了Camera-Rao的正弦曲線(xiàn)估計(jì)下界，通過(guò)分析找出了引起誤差的因素，并利用最小二乘法改進(jìn)了標(biāo)準(zhǔn)正弦曲線(xiàn)擬合方法。仿真結(jié)果表明，該方法可以很好地改進(jìn)擬合精度，從而提高ADC動(dòng)態(tài)測(cè)量參數(shù)的精度。

參考文獻(xiàn)：

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