付何偉， 金明錄， 崔承毅

（大連理工大學 電信學院，遼寧 大連 116024）

0 引言

早在20世紀50年代Hammersley等人就提出序貫重要性采樣（SIS）的方法，但其容易導致粒子退化現(xiàn)象，影響了它在實際中的應用。直到1993年，Gordon等人提出了采樣重要性重采樣算法 SIR[1]這一概念，解決了粒子濾波算法粒子退化的問題，粒子濾波才又被廣泛關注，并在各個領域得到了應用。

由于粒子濾波在處理非線性非高斯問題上的優(yōu)越性，一些學者對粒子濾波的盲均衡算法進行了研究，表明在信噪比較低的情況下，仍具有較好的均衡效果。近年來，各種情況下的粒子濾波盲均衡算法被廣泛研究，如文獻[2-3]的時不變信道，文獻[4-5]的時變信道，文獻[6]的加性高斯和非高斯信道等。

1 粒子濾波理論

粒子濾波算法是一種應用粒子集表示概率的蒙特卡羅方法，它的主要思想是用一個隨機采樣獲得具有權重的樣本集合表示并估計后驗概率密度。基本算法包括兩個部分：①SIS；②SIR。接下來，分別介紹這兩部分。

1.1 SIS

SIS的核心思想是利用一系列隨機樣本的加權和表示所需的后驗概率密度，從而得到狀態(tài)的估計值。

假定狀態(tài)方程和觀測方程可表示為：

其中kx為狀態(tài)矢量，ku為狀態(tài)噪聲，ky為觀測值，kv為獨立于系統(tǒng)噪聲的觀測噪聲。

選擇一個重要性函數(shù) ()qs，假設 ()qs可以分解為：

根據(jù)重要概率密度 q (xk|x0:k-1, y0:k)中抽取粒子，則每個粒子的權重可表示為：

此后，對權值進行歸一化，得：

1.2 SIR

SIS算法容易出現(xiàn)粒子退化現(xiàn)象，為此引入了重采樣的概念。重采樣可以消除低重要性權值的樣本，同時增加高重要性權值的樣本。

1.2.1 多項式重采樣

1993年由Gordon等人提出的多項式重采樣[1]是各種重采樣的基礎，基本解決了粒子濾波的退化問題。若粒子數(shù)為n,算法步驟如下：①對于粒子1in≤≤，在（0,1]區(qū)間按均勻分布采樣得到 n個采樣值iu；②產(chǎn)生粒子權重累積函數(shù)sumweight,滿足 sumweight(i)=；③當sumweight(k)＜u(i)時，將第k個粒子經(jīng)重采樣后被復制在第i個位置上；④每個粒子的權重設為1/n。

1.2.2 分層重采樣

1999年由Carpenter等人提出的分層重采樣，對多項式算法進行改進，將無序的隨機數(shù)變?yōu)橛行颉?0,1]分成n個連續(xù)互不重合的空間，即：(0,1]= (0,1/ n]U…U((n -1)/ n,1]。再對每個子空間獨立同分布采樣得到iu，即：iu=U((i-1)/n, i / n)其中U（a,b）表示區(qū)間[a,b]上的均勻分布。

1.2.3 系統(tǒng)重采樣

系統(tǒng)重采樣與分層重采樣類似，但每個iu的產(chǎn)生方式不同，若1u～U（0，1/n），則：

1.2.4 降序二分重采樣

多項式重采樣算法采用的隨機數(shù)集合是均勻分布的，呈現(xiàn)一種無規(guī)律性，當這個集合中的隨機數(shù)有序排列時，多數(shù)情況下得到的濾波結果都優(yōu)于無序時。而分層重采樣算法將隨機數(shù)區(qū)間分成n個連續(xù)但不重合的區(qū)間，對每個區(qū)間采樣一個隨機數(shù)，這樣得到的分布集合自動變?yōu)橛行?，因此?yōu)于傳統(tǒng)的多項式重采樣算法。但是，從濾波結果來看，有時分層重采樣算法反而不及多項式重采樣算法。鑒于這種情況，現(xiàn)提出一種改進算法—降序二分重采樣算法，它的主要思想是在分層重采樣算法的基礎上，尋找權重最大點的過程用折半二分法。仿真結果表明，這種算法的平均性能要優(yōu)于多項式重采樣算法和分層重采樣算法。

算法步驟如下：①同分層重采樣的第一步；②對每個子空間獨立同分布采樣得到iu，即：iu=U(1- i / n,1-(i-1)/n)；③同多項式重采樣的第二步；④粒子更新過程如下偽代碼所示；⑤最后，每個粒子的權重設為1/n。

for i=1: N

lower=1; upper=N;

while((upper-lower≠1))&(sumweight(k) ≠ u(i))

mean=( upper+lower)/2; redistr=

if(sumweight(redistr)≥u(i))

upper=redistr;

else

lower=redistr;

end

end

redistr=upper;

ind(i) = redistr; (表示第 redistr個粒子經(jīng)重采樣后被復制在第i個位置)

end

2 基于粒子濾波的盲均衡

2.1 系統(tǒng)模型

假設通信系統(tǒng)傳輸 ut∈ {± 1 }，t=0,1,2,…的二進制符號，通過頻率選擇性衰落信道。當相干時間大于幀長度時，可以在一個幀長度內把信道沖擊響應看成是不變的。通信系統(tǒng)中的信號模型可采用：

由于粒子濾波的方法需要采用狀態(tài)空間模型，因此將上述模型改寫如下：

2.2 粒子濾波盲均衡

利用粒子濾波器進行盲均衡的目的是用具有權重的隨機采樣點表示所需要的后驗概率密度,并根據(jù)這些采樣點和權重對信道和發(fā)送的符號進行估值,從而完成對信道的辨識和均衡[7]。采用粒子濾波進行盲均衡的流程圖如圖1。

圖1 粒子濾波盲均衡流程

2.2.1 信道的更新

盲均衡是在輸入和信道都未知的情況下，因此假設輸入ut∈{±1 }為獨立均勻分布的隨機變量，信道先驗分布服從均值為h-1，方差為 C-1的高斯分布。

經(jīng)過推導可以證明信道的后驗分布的均值和方差有如下表達形式[8]：

由式(10)和式(11)可以更新信道的均值和方差。由于信道的后驗分布是服從高斯分布的，均值是其最優(yōu)貝葉斯估計，所以可以用均值作為信道真實值的近似，即ht= ht，這樣在對信道進行辨識過程中就無需對信道的后驗分布進行采樣，可以降低算法的計算量。

2.2.2 權值的更新

如果從重要性函數(shù) q (x0:t|h,y0:t)中采樣得到粒子（m=1,2,…,M,M 是每一時刻的粒子個數(shù)），若選用的重要性函數(shù)可以分解為如下形式：

此時可得如下結論[8]：

在選擇重要性函數(shù)時，應使其盡可能接近似然函數(shù)，但由于這樣選擇的重要性函數(shù)采樣比較困難，因此采用先驗概率密度作為重要性函數(shù)，即用 p (xt+1|xt)代替重要性函數(shù)，這樣由式（13）可得權重的更新方程為：

3 仿真結果與分析

仿真實驗中，信源采用BPSK調制，采用階數(shù)L=3的時不變信道h=[0.407,0.815,0.407]。

圖2為各種重采樣算法下信道估計的比較，橫坐標為符號個數(shù)，縱坐標為信道的平均誤差。仿真條件：信噪比為20 dB，發(fā)送的比特數(shù)為1 000，估計的粒子數(shù)為100，結果為仿真100次的平均值。四條曲線分別是降序二分法、多項式重采樣、分層重采樣和系統(tǒng)重采樣算法。仿真結果表明，降序二分法能更快地收斂，用更少的符號個數(shù)就可以實現(xiàn)信道的估計。

圖2 信道誤差——符號個數(shù)

圖3 為各種重采樣算法在不同的信噪比下的信道估計。橫坐標為信噪比，縱坐標為信道的平均誤差。仿真條件：發(fā)送的比特數(shù)為1 000，估計的粒子數(shù)為100，結果為仿真100次的平均值。從圖中可以看出，所提出的算法降序二分法在信噪比較低時就能完成對信道的估計，性能也明顯優(yōu)于其他三種重采樣算法。

圖3 不同信噪比下的信道誤差

圖4 不同信噪比下的誤碼率

圖 4為不同信噪比下的誤碼率。橫坐標為信噪比，縱坐標為誤碼率。仿真條件：發(fā)送的比特數(shù)為5 000，估計的粒子數(shù)為100，結果為仿真100次的平均值。仿真結果表明，提出的算法比其他三種算法的盲均衡性能有所改善。

4 結語

提出了一種新的粒子濾波重采樣算法，這種算法將多項式重采樣算法和分層重采樣算法結合起來，主要思想是在分層重采樣算法的基礎上，尋找權重最大點的過程用折半二分法。把這種算法應用于信道的盲均衡中，為了易于采樣，重要性函數(shù)采用先驗概率密度，用信道的均值代替信道的真實值，仿真結果表明，這種算法的平均性能優(yōu)于之前的重采樣算法。

[1] GORDON N J, SALMOND D J, SMITH A F M. Novel Approach to Nonlinear/Non-Gaussian Bayesian State Estimation[J].IEEE Proceeding-F,1993,140(02)：107-111.

[2] LIU J S,CHEN R. Blind Deconvolution Via Sequential Imputations[J]. American Statistical Association. 1995,90(430)：567-576.

[3] MíGUEZ J,DJURIC P M. Blind Equalization by Sequential Importance Sampling[C].USA：IEEE,2002：845-848.

[4] BERTOZZI T, LE Ruyet D, RIGAL G,et al. Joint Data-channel Estimation Using the Particle Filtering on Multipath Fading[C].French： French Polynesia Proceedings of ICT, 2003：1284-1289.

[5] BERTOZZI T, LE Ruyet D, RIGAL G,et al. On Particle Filtering for Digital Communications[M].USA：IEEE,2003.

[6] PUNSKAYA E, ANDRIEU C, DOUCET A,et al. Particle Filtering for Demodulation in Fading Channels with Non-Gaussian Additive Noise[J]. IEEE Transactions on Communication,2001(49)：579-582.

[7] 王磊，劉郁林，李正東. 粒子濾波理論及其在盲均衡中的應用[J].重慶郵電學院學報, 2005,17(06)：691-694.

[8] 王磊,劉郁林.基于粒子濾波的盲辨識和盲均衡新方法[J].通信學報,2006,27(10)：131-135.