殷俊峰

(臨沂師范學(xué)院 繼續(xù)教育學(xué)院，山東 臨沂 273400)

求極限方法研究

殷俊峰

(臨沂師范學(xué)院 繼續(xù)教育學(xué)院，山東 臨沂 273400)

求極限是高等數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算之一，由于題型多變，所以方法靈活，技巧性強(qiáng)，本人根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐歸納概括出幾種方法結(jié)合實(shí)例呈獻(xiàn)給讀者。

極限;重要極限;洛比達(dá)法則;等價(jià)無(wú)窮小

極限概念在高數(shù)的基本概念中占有重要地位。理解極限的概念，熟練掌握求極限的方法對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有著重要的作用。

1 利用單調(diào)有界必有極限來(lái)求極限

這種方法主要用在數(shù)列極限的求解中。在求數(shù)列極限時(shí)，可以先證明其收斂，然后求出極限。例1 證明下列數(shù)列有極限并求極限

所以?n，有an+1＞an，{an}是遞增有上界數(shù)列，所以極限存在，設(shè)為a，

則有a2=2+a，解得a=2。

2 利用極限的四則運(yùn)算法則求極限

四則運(yùn)算法則往往用于求是有幾個(gè)初等函數(shù)(極限存在)進(jìn)行四則運(yùn)算的情況才用它。它是由簡(jiǎn)單的函數(shù)極限計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的極限的理論基礎(chǔ)。

解：當(dāng)x→1時(shí)，分子、分母均趨于0，因?yàn)閤≠1，約去公因子(x-1)，

此種方法是一個(gè)充分條件，運(yùn)用時(shí)候需要妥善處理。

方法是固定的，運(yùn)用是靈活的。

3 利用不等式即：兩邊夾定理求極限

4 利用變量替換求極限

解：

5 利用兩個(gè)重要極限來(lái)求極限

當(dāng)x→∞時(shí)u→0，

于是

兩個(gè)重要極限在求極限過(guò)程中有著很重要的作用，特別要注意其變式。

6 用洛必達(dá)法則求極限

此方法運(yùn)應(yīng)用廣泛。

7 利用定積分求極限

利用定積分求極限也是一種重要方法。定積分的本質(zhì)含義是和式的極限，利用積分求解特定形式的極限問(wèn)題，是微積分學(xué)的一個(gè)重要方法。

8 利用等價(jià)無(wú)窮小代換方法求極限

上述求極限過(guò)程使用等價(jià)的因子之間是乘積或相除的關(guān)系，等價(jià)代換可以任意使用，不會(huì)出現(xiàn)什么問(wèn)題。但若這些因子間是相加或相減的關(guān)系，使用等價(jià)代換就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題，使用時(shí)要謹(jǐn)慎為之。

上面對(duì)求極限的一些主要方法作了比較全面的總結(jié)，另外還有利用泰勒公式求極限，利用柯西準(zhǔn)則求極限等方法，由于篇幅關(guān)系在此不再贅述。求極限的方法有很多，而且許多題目可以有很多種解法。極限是描述數(shù)列和函數(shù)在無(wú)限過(guò)程中的變化趨勢(shì)的重要概念，是從近似認(rèn)識(shí)精確，從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法。同時(shí)，極限是微分的理論基礎(chǔ)，研究函數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上就是研究各種類(lèi)型的極限，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，由此可見(jiàn)極限的重要性。因此要想熟練掌握求極限的各種方法，必須通過(guò)大量的練習(xí)，在練習(xí)中體會(huì)。

解：當(dāng)x→0時(shí)，ln(1+x3)～x3，arcgtx2～x2

［1］ 宋硯.求極限的常用方法［J］.內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，14(2)：4-5.

［2］ 尹國(guó)成.常見(jiàn)函數(shù)極限的求法［J］.保山師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2009，28(2)：33-35.

［3］ 胡喜和.談求極限的方法［J］.內(nèi)蒙古電大學(xué)刊，2005(1)：108-109.

［4］ 葉志萍.洛必達(dá)法則運(yùn)用中的弱點(diǎn)克服［J］.大連民族學(xué)院學(xué)報(bào)，2002(2)：107-110.

［5］ 程鵬.求函數(shù)極限的方法［J］.河南科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，36(3)：133-135.

責(zé)任編輯：鐘 聲

A research on limit method

YIN Jun-feng
(Continual Education College，Linyi Normal University，Linyi 273400，China)

Calculating limit is one of the most fundamental operations.The changeable item types require us to master flexible approaches and skills.The author summaries some methods based on many years of teaching experience and presents to readers.

limit;important limit;L＇Hospital Rule;equivalent infinitesimal

O22

A

1009-3907(2010)08-0018-03

2010-06-11

殷俊峰(1978-)，男，山東費(fèi)縣人，講師，碩士研究生，主要從事經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和運(yùn)籌學(xué)方面研究。