劉 燕，肖玉山

(1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)發(fā)展學(xué)院 基礎(chǔ)部，吉林 長春 130600;2.長春大學(xué) 教務(wù)處，吉林 長春 130022)

參數(shù)序限制下最優(yōu)同變預(yù)測區(qū)間的改進(jìn)

劉 燕1，肖玉山2

(1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)發(fā)展學(xué)院 基礎(chǔ)部，吉林 長春 130600;2.長春大學(xué) 教務(wù)處，吉林 長春 130022)

考慮了位置分布族與尺度分布族中，當(dāng)未知參數(shù)含有序限制時(shí)，對(duì)未知隨機(jī)變量的預(yù)測區(qū)間的問題。利用序限制下最優(yōu)同變估計(jì)量的改進(jìn)方法，在一定條件下，構(gòu)造一族改進(jìn)后的同變預(yù)測區(qū)間，從而解決了對(duì)未知隨機(jī)變量同變預(yù)測區(qū)間的改進(jìn)問題。

序限制;同變預(yù)測區(qū)間;位置分布族;尺度分布族;TP2(total positivity of order 2);IERD(integrated expression of risk difference)方法

0 引言

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)當(dāng)中，設(shè)X=(X1，X2，…，Xn)是可觀測隨機(jī)向量，Y是未知且不可觀測的隨機(jī)變量。設(shè)(X，Y)的聯(lián)合分布f(x，y;θ)依賴于未知參數(shù)(參數(shù)向量)θ，基于X的觀測值來預(yù)測Y的問題叫做統(tǒng)計(jì)預(yù)測問題。

統(tǒng)計(jì)預(yù)測的主要形式之一就是利用X的觀測值給出Y的取值范圍。設(shè)l(X)與u(X)是隨機(jī)向量X的函數(shù)，對(duì)給定的實(shí)數(shù)α(0＜α＜1)，若對(duì)任意的θ∈Θ(Θ為參數(shù)空間)，有Pθ{l(X)≤Y≤u(X)}≥1-α，則稱［l(X)，u(X)］是具有置信水平為1-α的Y的預(yù)測區(qū)間。若對(duì)任意的θ∈Θ，有Pθ{l(X)≤Y≤u(X)}=1-α，則稱［l(X)，u(X)］是置信水平為1-α的Y的同等預(yù)測區(qū)間。

預(yù)測區(qū)間的優(yōu)良性取決于其評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)——置信度Pθ(l(X)≤Y≤u(X))和精確度Eθ(u(X)-l(X))，即Y落入預(yù)測區(qū)間的概率以及預(yù)測區(qū)間的平均長度。通常我們要在置信水平為1-α的Y的預(yù)測區(qū)間當(dāng)中，尋找平均長度最短的區(qū)間，并將此預(yù)測區(qū)間定為最優(yōu)預(yù)測區(qū)間。但是此類預(yù)測區(qū)間往往不存在，所以我們通?？紤]將預(yù)測區(qū)間限制到同變預(yù)測區(qū)間里，以求得最優(yōu)同變預(yù)測區(qū)間。

設(shè)樣本X=(X1，X2，…，Xn)，令δ1(X)=［l(X)，u(X)］是Y的置信水平為1-α的同等預(yù)測區(qū)間。若對(duì)任意實(shí)數(shù)c，有：δI(X+c)=［l(X+c)，u(X+c)］=［l(X)+c，u(X)+c］，則稱δI(X)是Y的位置同變預(yù)測區(qū)間。其中X+c=(X1+c，X2+c，…，Xn+c)。

設(shè)樣本X=(X1，X2，…，Xn)，(Xi＞0，i=1，2，…，n)，令δI(X)=［l(X)，u(X)］是Y的置信水平為1-α的同等預(yù)測區(qū)間。若對(duì)任意實(shí)數(shù)c＞0，都有δI(cX)=［l(cX)，u(cX)］=［cl(X)，cu(X)］，則稱δI(X)是Y的尺度同變預(yù)測區(qū)間。其中c(X)=(cX1，cX2，…，cXn)。

文獻(xiàn)［1］討論了位置分布族與尺度分布族中的分布參數(shù)含有序限制θ≤θ2(θ2未知)時(shí)，對(duì)未知隨機(jī)變量的最優(yōu)同變點(diǎn)預(yù)測量進(jìn)行改進(jìn);文獻(xiàn)［2］討論了位置分布族與尺度分布族中分布參數(shù)含有序限制θ≥θ1和θ1≤θ≤θ2(θ1，θ2未知)時(shí)，對(duì)未知隨機(jī)變量的最優(yōu)同變點(diǎn)預(yù)測量進(jìn)行改進(jìn)。本文將利用未知參數(shù)的兩種序限制，即θ∈Θ1={θ|θ≥θ1}與θ∈Θ2={θ|θ≤θ2}，構(gòu)造出精確度一致的預(yù)測區(qū)間，在只需評(píng)價(jià)置信度優(yōu)良的情況下，借助IERD方法，運(yùn)用置信概率差的積分表示法對(duì)位置分布族與尺度分布族中未知隨機(jī)變量的最優(yōu)同變預(yù)測區(qū)間進(jìn)行改進(jìn)。

若函數(shù)K(x，y)對(duì)于任意的的x1≤x2，y1≤y2，都有成立，則稱函數(shù)K(x，y)為

1 位置同變預(yù)測區(qū)間的改進(jìn)

設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)服從密度函數(shù)為f(x-θ，y-θ)且依賴于未知參數(shù)θ的分布，參數(shù)空間Θ={θ|θ∈R}，X為可觀測隨機(jī)變量，Y為未知隨機(jī)變量。構(gòu)造置信水平為1-α的最優(yōu)同變預(yù)測區(qū)間為：δIc0(X)=［l(X)，u (X)］=［X+c0-d，X+c0+d］，其中c0和d由方程∫c0+dc0-dh(v)dv=1-α與h(c0+d)=h(c0-d)唯一確定［4］。

下面將利用θ的兩種序限制，即θ∈Θ1={θ|θ≥θ1}與θ∈Θ2={θ|θ≤θ2}，對(duì)同變預(yù)測區(qū)間δIc0進(jìn)行改進(jìn)，并在一定條件下構(gòu)造改進(jìn)后的預(yù)測區(qū)間。

改進(jìn)過程中需要借助下述引理：

引理1 對(duì)任意給定的x與λ≥0，h(x-λ，y)與g(x，y)是正函數(shù)，且是y的非增函數(shù)，則對(duì)任意給定的正數(shù)c1＞0，c2＞0及y1＞y2，都有

1.1 θ∈Θ1={θ|θ≥θ1}

引入可觀測隨機(jī)變量X1，即(X1，X，Y)的密度函數(shù)形式為f(x1-θ1，x-θ，y-θ)。

設(shè)W=X1-X，V=Y-X，則(W，V)聯(lián)合密度函數(shù)形式為gl(w-λl，v)，其中λl=θ1-θ≤0，且gl(w，v)=設(shè)Y的同變預(yù)測區(qū)間為，則利用置信概率差的積分

定理1 設(shè)(ⅰ)Gl(w，v)是TP2;

(ⅱ)φl(w)為w的非降函數(shù)，

(引理1以及定理?xiàng)l件(ⅲ))

則P(Y∈δIφl)≥P(Y∈δIc0)，即δIφl(X)優(yōu)于δIc0(X)。

1.2 θ∈Θ2={θ|θ≤θ2}

引入可觀測隨機(jī)變量X2，即(X，X2，Y)的密度函數(shù)形式為f(x-θ，x2-θ2，y-θ)，令U=X2-X，V=YX，則可知(U，V)的聯(lián)合密度函數(shù)形式為gr(u-λr，v)，其中設(shè)Y的同變預(yù)測區(qū)間為，則利用置信概率差的積分表示法可證明在一定條件下在下面的討論中，假設(shè)積分和求導(dǎo)運(yùn)算可以換序。

定理2 設(shè)(ⅰ)Gr(u，v)是TP2;

(ⅱ)φr(u)為u的非降函數(shù)，

則對(duì)任意θ∈Θ2={θ|θ≤θ2}，有

0rr0

證明與定理1類似，故略。

2 尺度同變預(yù)測區(qū)間的改進(jìn)

下面將利用θ的兩種序限制，即θ∈Θ1={θ|θ≥θ1}與θ∈Θ2={θ|θ≤θ2}，對(duì)同變預(yù)測區(qū)間δIc進(jìn)行改進(jìn)，并在一定條件下構(gòu)造改進(jìn)后的預(yù)測區(qū)間。

引理2 對(duì)任意給定的x與λ≥1， 是正函數(shù)， 是y的非增函數(shù)，則對(duì)任意給定的正數(shù)c1＞0，c2＞0及y1＜y2，都有下列不等式成立：

2.1 θ∈Θ1={θ|θ≥θ1＞0}

引入可觀測隨機(jī)變量X1(X1＞0)，即(X1，X，Y)的密度函數(shù)形式為則(W，V)的密度函數(shù)形式為根據(jù)尺度分布族的定義，可將

設(shè)Y的預(yù)測區(qū)間為作為評(píng)價(jià)預(yù)測區(qū)間優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)之一，并可以此取代精確度。由于I(δIφl)=I(δIc)，則只需比較兩預(yù)測區(qū)間置信度即可。利用置信概率差的積分表示法可證明：在一定條件下，P(Y∈δIc)≤P(Y∈δIφl)，即δIφl優(yōu)于δIc。在下面的討論中，假設(shè)積分和求導(dǎo)運(yùn)算可以換序。

定理3 設(shè)(ⅰ)Gl(w，v)是TP2;

(ⅱ)φl(w)為w的非降函數(shù)

(由引理2以及定理?xiàng)l件(ⅲ))

2.2 θ∈Θ2={θ|0＜θ≤θ2}

引入可觀測隨機(jī)變量X2(X2＞0)，即(X，X2，Y)的密度函數(shù)形式為則(U，V)的密度函數(shù)形式為令

定理4 設(shè)(ⅰ)Gr(u，v)是TP2;

(ⅱ)φr(u)為u的非降函數(shù)

證明與定理2.1類似，故略。

［1］ Xiao Yushan，Takada Y.Improvement of the best equivariant predictors under the ordered parameters［J］.Japan Statist.Soc，2006，36(1)：1-8.

［2］ Xiao YuShan，Takada Y.Statistical prediction under an order restriction.Northeast［J］.Math.J，2008，24(1)：1000-1778.

［3］ Karlin，S.Total Positivity［M］.Stanford CA：Stanforol University Press，1968.

［4］ Kubokawa，T.，Saleh，A.K.Estimation of location and scale parameters under order restriction［J］.Jour.Statistical Research，1994，28：45-51.

責(zé)任編輯：鐘 聲

The improvement of the best equivariant prediction interval under the ordered parameters

LIU Yan1，XIAO Yu-shan2
(1.Department of Fundamental Courses，Development College of Jilin Agricultural University，Changchun 130600，China; 2.Academic Affairs Office，Changchun University，Changchun 130022，China)

This paper considers the improvement of the best equivariant prediction interval under ordered unknown distribution parameters in the location or scale family.It constructs a class of improved prediction intervals under some conditions so that the problems of the unknown random variable have been solved by using the method of improving the best equivariant prediction.

order restriction;equivariant prediction interval;location family;sale family;TP2(total positivity of order 2);method of IERD(integrated expression of risk difference)

0212.5

A

1009-3907(2010)08-0014-04

2010-05-16

劉燕(1981-)，女，吉林長春人，助教，碩士，主要從事統(tǒng)計(jì)預(yù)測與決策理論以及貝葉斯分析理論的研究。