趙明君

(中國石油長城鉆探工程公司工程技術(shù)部遼河分部,遼寧盤錦 124010）

井眼軌道的軟著陸設(shè)計模型的改進解法

趙明君

(中國石油長城鉆探工程公司工程技術(shù)部遼河分部,遼寧盤錦 124010）

井眼軌道的軟著陸設(shè)計模型的求解可以歸結(jié)為一個七元非線性方程組的求解問題。前人給出了數(shù)值迭代求解算法,然而并沒有證明該迭代算法的收斂性,并且該算法是否收斂嚴重依賴于用戶給出的迭代初始值。通過一系列的消元、化簡的數(shù)學(xué)技巧,將七元非線性方程組化簡為一元多項式方程,并在此基礎(chǔ)上給出了軟著陸設(shè)計模型的一個新算法。理論分析和實際算例表明,新算法的主要計算工作量是求多項式方程的非負實數(shù)根,其他未知數(shù)與實數(shù)根是簡單的函數(shù)關(guān)系,計算量很小。新算法克服了迭代算法的初值依賴性以及迭代過程可能發(fā)散等缺陷,并且在設(shè)計模型有多個解的情況下,可以同時求出這些解。

軟著陸;井眼軌道;鉆井設(shè)計;多項式

劉修善等[1]將井眼軌道進入水平井靶體的過程類比于飛機降落著陸過程,提出了井眼軌道的軟著陸設(shè)計模型,其宗旨是對入靶方向進行限制。在水平井設(shè)計中,入靶方向需與靶體軸線方向相一致(簡單的長方體靶的情況下）。在進行修正軌道設(shè)計時,為了給后續(xù)的施工創(chuàng)造有利條件,如果其靶點不是最終目標(biāo)點,而是原設(shè)計軌道上的某個中間點,也必須限定合理的入靶方向。文獻[1]使用“圓弧段-直線段-圓弧段”實現(xiàn)了上述軟著陸模型,并提出了一種迭代算法進行設(shè)計模型的數(shù)值求解。然而,文獻[1]并沒有討論該迭代算法的收斂性,算法是否收斂、收斂速度怎樣、收斂約束條件是什么等問題都沒有解決。

本文使用“消元-化簡-多項式方程求根”的方法給出了軟著陸設(shè)計模型求解的一個全新算法。

約定:除非特別指明,文中具有長度量綱的變量的物理單位均為m,角度變量的物理單位均為rad。

1 數(shù)學(xué)模型

沿用文獻[1]中的數(shù)學(xué)符號。井眼軌道有圓弧段AB、直線段BC、圓弧段CT構(gòu)成(見圖1）。

圖1 軟著陸軌道的數(shù)學(xué)模型

過始點A和末點T分別作圓弧的切線,交穩(wěn)斜段的延長線與D點和E點。若線段AD、DE和ET的長度分別用u1、uW、u2來表示,則井眼軌道設(shè)計問題滿足下面的幾個方程:

式中:αA、φA——分別為始點A的井斜角和方位角; αW、φW——分別為穩(wěn)斜段的井斜角和方位角;αT、φT——分別為末點T的井斜角和方位角;ΔXA,T、ΔYA,T、ΔZA,T——分別為始末點間的北坐標(biāo)增量、東坐標(biāo)增量和垂深增量。

另外,兩個圓弧段所對應(yīng)的圓心角θ1和θ2分別滿足:

式中:R1、R2——分別為第一個圓弧段和第二個圓弧段的曲率半徑。

在方程組(1）～(7）中,未知數(shù)為u1、uW、u2、αW、φW、θ1和θ2,共7個,與方程個數(shù)相等,故方程組為定解問題。

2 劉修善算法

然而,迭代法的收斂是有限定條件的,并且與迭代初始值有很大關(guān)系[2]。劉修善算法是否收斂沒有理論上的保證,而且如何選擇迭代初始值也沒有具體的說明。

3 消元

解多元方程組的一般策略是消元和化簡,將未知數(shù)的個數(shù)降到最少,將復(fù)雜的方程化簡到已知可解的方程[3]。本文遵循這一策略對方程組(1）～(7）進行求解。記:

顯然,式(41）和式(45）構(gòu)成一個以u1和u2為未知數(shù)的二元線性代數(shù)方程組,方程組的系數(shù)為未知數(shù)u的多項式函數(shù)。使用克萊默法則[4]求得該線性代數(shù)方程組的形式解如下:

顯然,F(u）是一個以u為未知數(shù)的多項式方程。

5 新算法

根據(jù)以上的理論準(zhǔn)備,給出方程組(1）～(7）的一個新算法。

(1）使用實根分離算法[5]求出多項式方程(55）的全部非負實數(shù)根,記為νi,i=1,Λ,N,其中N為非負實數(shù)根個數(shù)。

從新算法的計算過程來看,主要計算工作量集中在求多項式方程(55）的實數(shù)根上,其余計算步驟僅僅是簡單的公式計算。新算法從根本上解決了常規(guī)迭代算法固有的初值依賴性、迭代可能發(fā)散等缺陷;另外,如果井眼軌道設(shè)計問題有多個解的話,新算法還能同時求出這些解,這個特點是其他算法不具備的。

在進行數(shù)值計算時,為了避免數(shù)字反復(fù)相乘使多項式系數(shù)過大、從而增大計算誤差,令:

顯然,方程f(x）=0等價于方程F(u）=0,故在新算法中使用方程f(x）=0來代替方程(55）。

6 算例

在某多目標(biāo)井設(shè)計中,要求上靶點的井斜角αA=75°、方位角φA=310°,下靶點的井斜角αB=91°、方位角φB=340°。如果這兩個靶點間的垂深增量ΔZA,T=30 m、南北坐標(biāo)增量ΔXA,T=180 m、東西坐標(biāo)增量ΔYA,T=-100 m,試設(shè)計該靶段的井眼軌道。

根據(jù)本文新算法,首先可以算出:

求出上述解之后,再根據(jù)圓弧軌道計算方法計算軌道其他參數(shù)[6～8]。

7 結(jié)論

(1）井眼軌道的軟著陸設(shè)計模型歸結(jié)為求解一個7元非線性方程組,通過消元和化簡,將7元非線性方程組的求解問題歸結(jié)為等價的1元多項式方程的求解問題,并在此基礎(chǔ)上,給出了軟著陸設(shè)計模型的一個新算法。新算法克服了常規(guī)迭代算法對初值的依賴性和無法證明迭代過程收斂等固有缺陷。

(2）實例計算表明,新算法具有非常快的計算速度,并且能夠正確判斷軟著陸設(shè)計模型是否有解。

[1] 劉修善,何樹山.井眼軌道的軟著陸設(shè)計模型及其應(yīng)用[J].天然氣工業(yè),2002,22(2）:43-45.

[2] 李慶揚,莫孜中,祁力群.非線性方程組的數(shù)值解法[M].北京:科學(xué)出版社,1987.

[3] 吳文俊.吳文俊論數(shù)學(xué)機械化[M].濟南:山東教育出版社, 1996.

[4] 編寫組.數(shù)學(xué)手冊[M].北京:人民教育出版社,1979.103-111.

[5] 陸征一,何碧,羅勇.多項式系統(tǒng)的實根分離算法及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

[6] 魯港,王剛,孫忠國,等.定向井鉆井中空間圓弧軌道計算的兩個問題[J].石油地質(zhì)與工程,2006,20(6）:53-55.

[7] 魯港,李曉光,單俊峰,等.平均井眼曲率的計算[J].鉆采工藝,2007,30(4）:149-150,160.

[8] 張積鎖,魯港.圓弧井段井斜變化率和方位變化率的計算[J].石油地質(zhì)與工程,2007,21(4）:68-70.

I mproved Solution to DesignM odel of SoftLanding in Borehole Trajectory

ZHAO M ing-jun(LiaoheBranch of Engi-neering&Technology Research Institute,GreatWallDrilling Corporation,PetroChina,Panjin Liaoning 124010,China）

The solution for design model of soft landing in borehole trajectory can come down to the solution with 7-element nonlinear equations.The algorithm convergence of known numerical iterative algorithm has not been proved,and the con-vergence of this iterative algorithm severely depends on initial iteration value from the user.7-element nonlinear equations are simplified to be one-variable polynomial equation by element elimination and s implification;and based onwhich,a new algorithm for design model of soft landingwas developed.Theoretical analysis and practical calculation examples show that the new algorithm ismainly for the calculation of nonnegative real rootsof polynomial equation,and calculation of functional relationship between other unknown number and real root is very less.The new algorithm overcomes the dependence on the initial value and probable iterative process divergence,and can get the solutions at the same timewhen there are several de-sign model solutions.

soft landing;borehole trajectory;drilling design;polynomial equation

TE243

:A

:1672-7428(2010）05-0010-04

2010-01-16;

2010-04-08

趙明君(1963-）,男(漢族）,遼寧本溪人,中國石油長城鉆探工程公司工程技術(shù)部遼河分部工程師,石油工程專業(yè),從事石油鉆井領(lǐng)域技術(shù)服務(wù)和管理工作,遼寧省盤錦市興隆臺區(qū)。