張 園,施久良,趙振江

(湖州師范學院理學院,浙江湖州313000)

制動器試驗臺控制方法的優(yōu)化模型＊

張 園,施久良,趙振江

(湖州師范學院理學院,浙江湖州313000)

針對制動器實驗臺控制方法的優(yōu)化問題進行了討論.通過扭矩關系將電流的問題轉化為角速度的關系.根據(jù)能量補償?shù)姆椒ń⒘酥苿悠鲗嶒炁_控制方法的一個優(yōu)化模型,并進行了定量分析及數(shù)值仿真,驗證了能量補償方法的有效性.

制動器實驗臺;數(shù)值仿真;能量補償;優(yōu)化問題

MSC 2000:93A 30

0 引言

當今社會,汽車已成為人們不可缺少的交通工具,隨著人們在享受汽車給生活帶來便捷的同時,與之相伴而生的是汽車的安全問題,特別是汽車的制動控制問題,因此汽車制動性能的良好與否隨之成為人們的一個焦點話題.本題正是在這種大背景下,針對文獻[1]提出的問題,通過建立數(shù)學模型,模擬和分析制動器試驗臺控制方法.

在文獻[1]中提出了如下六個問題:

問題一,設車輛單個前輪的滾動半徑為0.286m,制動時承受的載荷為6230N,求等效的轉動慣量.

問題二,飛輪組由3個外直徑1m、內直徑0.2m的環(huán)形鋼制飛輪組成,厚度分別為0.0392m、0.0784m、0.1568m,鋼材密度為7810kg/m3,基礎慣量為10kg·m2,問可以組成哪些機械慣量?設電動機能補償?shù)哪芰肯鄳膽T量的范圍為[-30,30]kg·m2,對于問題一中得到的等效的轉動慣量,需要用電動機補償多大的慣量?

問題三,建立電動機驅動電流依賴于可觀測量的數(shù)學模型.在問題一和問題二的條件下,假設制動減速度為常數(shù),初始速度為50km/h,制動5.0s后車速為零,計算驅動電流.

問題四,對于與所設計的路試等效的轉動慣量為48kg·m2、機械慣量為35kg·m2、主軸初轉速為514 r/min、末轉速為257 r/min、時間步長為10m s的情況,用某種控制方法試驗得到的數(shù)據(jù)見文獻[1],請對該方法執(zhí)行的結果進行評價.

問題五,按照問題三導出的數(shù)學模型,給出根據(jù)前一個時間段觀測到的瞬時轉速與/或瞬時扭矩,設計本時間段電流值的計算機控制方法,并對該方法進行評價.

問題六,問題五給出的控制方法是否有不足之處?如果有,請重新設計一個盡量完善的計算機控制方法,并作出評價.

本文就上述問題提出了一些簡單和有效的解決方法.

1 符號說明

G:車輛單個前輪制動時承受的載荷;g:重力加速度取9.8N/kg;R:車輛單個前輪的滾動半徑;m:車輛單個前輪的質量;mi:第i個飛輪的實心質量;mi′:第i個飛輪空心部分用同樣鋼材填上的質量;ρ:鋼材料密度;Vi:第i個飛輪的實心體積(飛輪體積與飛輪空心部分的體積之和);Vi′:第i個飛輪空心部分的體積;hi:第i個飛輪的厚度;Ji:第i個飛輪的慣量;J:等效轉動慣量(題目有解釋);J′:機械慣量(題目有解釋);M1:電動機驅動力扭距;M2:制動后制動力產(chǎn)生的扭矩;ω:主軸的角加速度;v0:制動時汽車的初始速度;Δt′:把制動時間離散化為許多小時間段Δt′=10ms=0.01s;tk:整個制動時間離散化后的各個時刻tk=kΔt′(k=0,2,…,467);θ0:主軸的初始轉速;θt:主軸的末轉速;ωk:理論上主軸tk時刻的瞬時角速度; W′:路試時的制動器制動過程消耗的能量(即理論值);W:實驗臺上制動器在整個制動過程中消耗的能量(即實際值);Δ:路試時的制動器消耗的能量與實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量的相對誤差(即理論值與實際值之間的相對誤差).

2 基本假設

(1)理論上把汽車在制動后達到穩(wěn)態(tài)時看作是勻減速運動,使模型理想化;

(2)假設路試時輪胎與地面的摩擦力無窮大,因此輪胎與地面無滑動,只考慮滾動;

(3)為簡化分析,假設車輛整個輪胎及其軸承為一圓盤;

(4)不考慮觀測誤差、隨機誤差和連續(xù)問題離散化,以及離散問題連續(xù)化所產(chǎn)生的誤差;

(5)假設角加速度的方向為負方向.

3 模型的建立與求解

3.1 求解問題1[1]

假設車輛整個輪胎及其軸承為一圓盤,根據(jù)文獻[2]可以知道求轉動慣量的公式:

又有:

由上兩式可以得到:

該問已知車輛單個前輪的滾動半徑為R=0.286m,制動時承受的載荷G=6230N,故等效的轉動慣量J=51.99kg·m2.

3.2 求解問題2[1]

已知飛輪組是由環(huán)形鋼制飛輪組成的,根據(jù)文獻[2]得到的求飛輪轉動慣量的公式:

又有:

由以上三式得到:

由上式求得三個飛輪的慣量分別為:

已知基礎慣量為10kg·m2,根據(jù)題意,可以組合成8種不同的機械慣量,其結果見表1.

表1 8種不同機械慣量的組合

求得問題1[1]的等效慣量為J=51.99kg·m2.根據(jù)電動機能補償?shù)哪芰肯鄳膽T量范圍,由表1可得與等效慣量差值最小的機械慣量的組合為J1基礎慣量,電動機補償?shù)膽T量為:

ΔJ1、ΔJ2分別為慣量的反向補償和正向補償.

3.3 求解問題3

3.3.1 問題3模型的建立

車輛在制動時,系統(tǒng)的扭矩=驅動力扭矩+制動力扭矩,即剎車的力扭矩.根據(jù)文獻[1]中等效轉動慣量及剛體轉動定律[2]可知:制動力扭矩=等效慣量×角加速度.規(guī)定ω＊

的方向為負方向有:

根據(jù)假設試驗臺采用的電動機的驅動電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比(本題中比例系數(shù)取為K=1.5A/N· m),則設

整個系統(tǒng)根據(jù)剛體轉動定律[2]可以得到公式:

由以上幾式,可以推出求電動機驅動電流的模型:

3.3.2 問題3模型的求解

而等效轉動慣量為J=51.99kg·m2.根據(jù)問題2可知,與該等效慣量的差值最小的機械慣量為:J1′= 39.99kg·m2,J2′=39.99kg·m2.

模型(1)求解,分別求得的電動機驅動電流絕對值為:

3.4 求解問題4

3.4.1 問題4模型的建立

假設把汽車在制動后達到穩(wěn)態(tài)時看作是勻減速運動,則它在每個時間段其轉動的角加速度大小都相等,則有:

整理后可得:

可以看出,上式是一階差分方程[3],可以通過遞推得到ωk公式.具體過程如下:

得到求瞬時角速度的模型:

由于問題4給出的是轉速,可以把ω0=2πθ0;ωt=2πθt,并且令tk=kΔt′(Δt′=0.01s)代入該式整理得:

評價控制方法優(yōu)劣的一個重要數(shù)量指標是能量誤差的大小,為此,針對問題4求出相對誤差Δ=以此評價路試時的制動器與相對應的實驗臺上制動器在制動過程中消耗能量的大小.

3.4.2 問題4模型的求解

針對文獻[1]附錄中給出的一些試驗數(shù)據(jù),利用Matlab編程[4]給出扭矩與時間關系的散點圖,以及用曲線擬合的圖,見圖1.

從圖1可以看出,達到某個時刻以后,圖像的點在某個值附近上下波動,近似于達到了穩(wěn)定狀態(tài),根據(jù)圖像曲線可以找到tk=1s時,達到穩(wěn)態(tài),以后的點都是圍繞某個值M 附近上下波動,因此對于該方法在一定程度上有其一定的合理性.

下面將分別計算整個過程中理論上能量值與實際產(chǎn)生的能量,并以相對誤差來評價該方法的優(yōu)劣.為此,將時間離散化,從ti-1～ti制動器做的功:

所以總能量:

由題設我們可知實際的總能量為:

相對誤差:

由此可以推斷,整個制動過程用路試時的制動器與相對應的實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量的相對誤差較小,該控制方法是可行的.

3.5 問題5模型的建立、求解與評價

假定理想狀態(tài)為勻減速運動,M1、M2為觀測的制動扭矩,T為初始時至停止的時間,wi為理想狀態(tài)下的角速度,θ1,θ2為轉過的初末角,Mi′為電動扭轉系數(shù),假設初始表如表2所示:

表2 電動機初始參數(shù)

由于假設理想狀態(tài)即勻減速狀態(tài),則

實際中,

故在[t1,t2]時間段內,電機所需添加的能量為:

在實際操作中,可通過調整電機扭矩來添加該能量,即令ΔM=kΔE1,其中k為伸縮系數(shù).又

由此可以得到:

在理想狀態(tài)中,當t=3時,

實際狀態(tài)中:

由此可以得到:以此類推,可以算得w4,w5,…,w4,w5,…,從而可以實現(xiàn)理想轉速與現(xiàn)實轉速差的比較.根據(jù)電流和扭矩成正比的關系還可以推算出需要補充的電流.

對于該問,通過電流和扭矩成正比,將瞬時扭矩和電流聯(lián)系起來,從而將題中研究電流的問題通過將扭矩關系轉化為角速度之間的關系進行深入的探討和研究.在此將模型假定為勻減速來研究,根據(jù)能量補償?shù)姆椒ǖ玫嚼硐肽Ｐ团c所設計模型的定量分析及數(shù)值仿真,分析顯示出了能量補償方法的有效性.通過比較可以看出,在勻減速狀態(tài)中所涉及的方法,從能量的角度與理想的模型是一致的.

3.6 求解問題6

3.6.1 問題6模型的建立與求解

E1′:理論中消耗的能量;E′:制動器消耗的能量;E:電動機消耗的能量;wi:現(xiàn)實的角速度;wi′:理想角速度;a′:理想角加速度;Δw′:理想角速度變量;M0:制動器的扭矩;M1:電動機的扭矩.

本題通過能量守恒定理將理論耗能、制動器耗能及電動機耗能聯(lián)系起來.通過能量轉換,運用理想狀態(tài)下的能量與現(xiàn)實狀態(tài)下的能量聯(lián)系,把電動扭矩聯(lián)系起來,從而解決問題.

根據(jù)能量守恒定理得到:

由此得到:

而在理想狀態(tài)下:

得到:

從而

算得M0和理想狀態(tài)下的a′.也可由此算得在理想狀態(tài)下的

當t1→t2時,另

所以由此可以得到理想時制動器的耗能為:

在實驗中得到制動器的耗能為:

在此,可設一個系數(shù)k,使理想扭矩M2′滿足:

從而

其中,k為可調控的系數(shù).依次類推,我們可以得到后段扭矩和前端扭矩之間的關系,從而進行調控.由M3=M 2+kΔw知當Δw→0時,w控制適當,剛好達到合理的效果.

3.6.2 問題6模型的評價

對于問題五最大的不足之處就是將模型過于理想化(理想為做勻減速運動),這可能使誤差增大.在改進的過程中首先去除了勻減速運動這個假設,通過引進調控系數(shù)k,遞推求出一般情況在此優(yōu)化方案下現(xiàn)實轉速,從而使問題更加精確化.從圖2、圖3、圖4中也可以看出模型的效果優(yōu)勢.

通過圖2～圖4可以觀察到在極小的一段時間之后,不管是模擬測量的角速度還是理論消耗的能量與實際的誤差都非常小.說明經(jīng)過改進之后確實大大提高了控制方法的精確性和可行性.

4 模型的評價與推廣

利用能量守恒等物理學定律,建立了相應的模型,從而將抽象的理論試驗與具體的測量數(shù)字之間建立了聯(lián)系,從而使問題變得可觀測、可衡量.

在此建立的控制方法模型可近一步推廣到其他領域.比如電機的制作,是典型的能量轉化問題,如何將能源運用得最好是數(shù)學和物理領域的熱門研究話題,而在此通過守恒定律將之與實際聯(lián)系起來,從而達到與理論最接近,效力最高.本模型不僅可以在物理領域運用,同時可以在生物及制藥等領域運用.在生物領域,使能量級間能量流失達到最小,從而獲得最大的效益.在制藥領域,計算出藥量的合理運用,從而達到藥效與副作用的最合理程度.總之,運用守恒定律將理論與實際結合起來,在不同領域都有及其廣泛的運用.

[1]全國大學生數(shù)學建模競賽組委會.2009高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽A題[EB/OL].2009-09-30.http:// mcm.edu.cn/mcm09/Problem s2009c.asp.

[2]馬文薇.物理學教程[M].北京:高等教育出版社,2006:11.

[3]趙靜.數(shù)學建模與數(shù)學實驗[M].北京:北京高等教育出版社,2008:159～169.

[4]張瑞豐.精通MA TLAB 6.5[M].北京:中國水利水電出版社,2004:234～309.

Abstract:This paper discusses the op timization p roblem sof the Brake Test Stand Control Methods.The current p roblem s are transformed into the angular velocity p roblem s by the torque relationship.The optimization modelsof the controlmethod for brake test stand were established by using energy compensation method.The quantitative analysis and numerical simulation for gotten op timization models were dow n.And the effect of the energy compensation method was tested and verified.

Key words:brake test stand;numerical simulation;energy compensation;op timization p roblem

MSC 2000:93A 30

The Optim ization M odel of the Control Method for Brake Test Stand

ZHANG Yuan,SH IJiu-liang,ZHAO Zhen-jiang
(Faculty of Science,Houzhou Teachers College,Huzhou 313000,China)

O242.1

A

1009-1734(2010)02-0032-07

2010-03-15

浙江省教育廳科研項目(Y200805528);國家特色專業(yè)建設點“數(shù)學與應用數(shù)學”.

張園,湖州師范學院理學院2007級本科生,從事應用數(shù)學研究