鄭州大學(xué)西亞斯國際學(xué)院 葛明濤 樊永良 董素鴿

基于小波變換的自適應(yīng)圖像去噪研究*

鄭州大學(xué)西亞斯國際學(xué)院 葛明濤 樊永良 董素鴿

小波域的信息處理有多分辨率分析的特性，圖像經(jīng)一系列小波變換就可以得到不同尺度下的圖像特征，并能較好地刻畫圖像的非平穩(wěn)性，在圖像去噪方面有著傳統(tǒng)去噪方法無法比擬的優(yōu)勢。本文，筆者闡述了圖像小波去噪的原理，分析了影響去噪的關(guān)鍵因素、閾值函數(shù)的構(gòu)造、閾值的選取及小波的分解層數(shù)等，并給出了優(yōu)化的自適應(yīng)圖像去噪方案。

一、圖像去噪方法

1.常用的圖像去噪方法。圖像去噪是圖像處理的重要環(huán)節(jié)，關(guān)系到圖像處理的質(zhì)量。常用的圖像去噪方法可分為基于空域的方法和基于變換域的方法。前者是對原圖像素點的灰度值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，典型的方法有中值濾波、均值濾波等，但這些方法往往會在去除噪聲的同時引起圖像邊緣和細(xì)節(jié)模糊等問題。變換域去噪是將原定義在空域的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到其他空間，并利用這些空間的特有性質(zhì)對變換后的圖像信息進(jìn)行處理，再反變換回圖像空域。常用的方法是傅立葉變換去噪，該方法采用低通濾波來平滑抑制噪聲，但在去除噪聲的同時也會把圖像的邊緣變模糊。

2.變換域小波域去噪法。變換域小波域去噪是利用含噪圖像在小波域中信號與噪聲在小波系數(shù)上存有差異這一特點而實現(xiàn)的，即圖像邊緣（信號的突變點）對應(yīng)的小波系數(shù)極大值隨著分解尺度的增大而增大，而噪聲（以白噪聲為例）對應(yīng)的小波系數(shù)極大值隨著尺度的增大而減小。當(dāng)分解尺度增大到某個尺度時，絕大部分白噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)極大值因衰減而消失，該情況說明信號的能量集中于少數(shù)較大的系數(shù)上，而噪聲則主要表現(xiàn)為小系數(shù)。因此，通過選取合適的閾值，將絕對值小于閾值的小波系數(shù)作為噪聲去除，從而達(dá)到去噪的目的。小波的不同分辨層次所體現(xiàn)的多分辨率特性使得圖像的輪廓信息可以在低分辨率下通過提取邊緣信息來獲得，紋理信息則可在較高的分辨率下表現(xiàn)。所以，小波域圖像去噪能更多地突出圖像的邊緣特性。

二、圖像的小波域變換

一了各種具體的小波的構(gòu)造方法，并于1987年提出了著名的小波分解與重構(gòu)的塔式算法。只要將該方法推廣到二維空間，即可應(yīng)用到圖像的分解與重建上。為此，我們將圖像視為一個能量有限的二維函數(shù)f（x，y）∈L2（R2），對于可分離的L2（R2）多分辨率空間，設(shè)ψ（x，y）為一維母小波，對應(yīng)的尺度函數(shù)為φ（x，y），x、y分別代表橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，則有：

對應(yīng)二維平面的3個方向：水平、垂直和45°方向。3個方向的二維小波函數(shù)為：

在x方向上分別用φ（x）和ψ（x）作分析，把f（x，y）分解成平滑逼近和細(xì)節(jié)兩部分，再分別對其沿y方向上作類似分析。這樣多分辨率小波變換就可以把圖像分解到更低分辨率的水平上，這一級的子圖像由低頻的輪廓信息和原信號在水平、垂直和對角線方向上的高頻部分的細(xì)節(jié)信息組成。每一次分解均使得圖像的分辨率變?yōu)樵盘柕?/2。對于二維離散小波變換，其分解公式為：

Ajf（x，y）=[f（x,y）,2-jφ（2-jx-n）φ（2-jy-m）]，（5）辨

率的低頻輪廓信息，D（1）2n f為垂直方向的高頻細(xì)節(jié)信息，D（2）2n f為水平方向的高頻細(xì)節(jié)信息，D（3）2n f對角線方向的高頻細(xì)節(jié)信息。經(jīng)過二維小波變換，將原圖像逐級分離成具有不同尺度的子圖像，其中包含4個分量：低頻分量LL，保留了原圖的大部分信息；高頻分量LH、HL、HH均包含了邊緣、區(qū)域輪廓等細(xì)節(jié)信息。同時LL還可以進(jìn)行第j+1級小波分解，以得到下一級分辨率下的圖像表示。圖像的3級小波分解見圖1。

S.Mallat提出的小波多分辨率概念，在泛函分析的框架下統(tǒng)

三、小波閾值去噪

1.小波閾值去噪的步驟。含噪信號的數(shù)學(xué)模型可描述為：

f（k）=s（k）+n（k）。（9）

圖1 圖像的3級小波分解

其中，f（k）為待測信號，s（k）為原始信號，n（k）為高斯白噪聲信號，滿足n（k）～N（0，δ2）的正態(tài)分布。可見去噪問題即為如何在信號f（k）中去除噪聲n（k），同時盡可能多地保留s（k）信息。根據(jù)上述小波去噪的原理，采用閾值消噪的一般步驟是：

（1）選擇合適的小波基Φ（x）及相應(yīng)的分解尺度j，對含有噪聲的信號進(jìn)行二進(jìn)離散小波變換，得到各尺度上的小波系數(shù)Cj，k。

（2）選擇合適的閾值T及相應(yīng)的閾值處理函數(shù)g（Cj，k，T）對小波系數(shù)進(jìn)行處理，得到處理后的系數(shù)j，k=g（Cj，k，T）。

（3）對處理后的系數(shù)j，k進(jìn)行小波重構(gòu)，得到信號s的近似信號s。

2.閾值函數(shù)及閾值的確定。由以上小波閾值去噪的步驟可以看出，小波閾值去噪的關(guān)鍵是如何使近似信號s更逼近原信號，即如何最大程度的濾除噪聲信號n，同時盡可能多地保留信號s的信息。因此，小波閾值去噪的關(guān)鍵是如何選取門限閾值及閾值處理函數(shù)。

Donoho提出了基于軟閾值和硬閾值的小波去噪算法，該方法設(shè)計的閾值函數(shù)計算簡單。硬閾值法是將模小于閾值的小波系數(shù)Cj，k置0，保留模大于閾值的系數(shù)，即，

置0，而將模大于閾值的系數(shù)做了向0的收縮，即，它在

T處的不連續(xù)性，會使圖像出現(xiàn)振鈴、偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真。而軟閾值函數(shù)j，k連續(xù)性好，處理結(jié)果則相對平滑。但當(dāng)j，k＞T時，j，k與Cj，k總存在恒定的偏差T，這樣就會影響重構(gòu)信號與真實信號的逼近程度，造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。實驗中采用模糊閾值函數(shù)算法解決該問題，其軟閾值函數(shù)構(gòu)造如下：

其中，K為模糊函數(shù)1/[1+Cj，k-T]，當(dāng)|Cj，k|=T時，K=1，j，k= |Cj，k|-T，使整體連續(xù)性得到了保證，從而避免了信號產(chǎn)生振蕩；當(dāng)|Cj，k|＞T時，K＜1，Cj，k與j，k的偏差小于T，而且|Cj，k|越大，Cj，k與j，k的偏差越小，重構(gòu)信號與真實信號的逼近程度越高。

Donoho等人提出的VisuShrink方法，給出的閾值T按照如下的公式選取：

其中，N為信號的尺寸或長度，σ是噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。

不論軟閾值或硬閾值,其中所用的閾值均為全局閾值，即無論小波分解層數(shù)為多少，每層閾值均相同且固定不變，對于不同的分解尺度而采用相同閾值顯然是不合適的。全局閾值雖然可以取得一定程度上的抑噪效果，但由于其單一性，而不能在每個尺度上都最大限度地分離圖像和噪聲。

由上所述，隨著分解尺度的增大噪聲的幅值是變小的，而信號幅值恰好相反。根據(jù)小波系數(shù)的特點實驗中采用自適應(yīng)閾值，其表達(dá)式如下：

可以看出隨著分解尺度j的增大，閾值是逐漸減小的，這一點正好符合上述規(guī)律。

3.分解層數(shù)的選擇。信號小波分解的層數(shù)對去噪也會有一定的影響，從實驗結(jié)果的對比得到的結(jié)論為：對圖像的小波分解最佳層數(shù)為3層。該結(jié)論雖沒有得到理論上的證明，但分析其實驗數(shù)據(jù)可知去噪后信號的信噪比隨著分解層數(shù)的增加而迅速增加。在超過3層之后，去噪后信號的信噪比沒有太大的變化，且分解層數(shù)的增大將帶來更大的計算量。

四、實驗與結(jié)果分析

為驗證以上分析，對標(biāo)準(zhǔn)的“Leda”圖像（512×512×8bit）加入不同方差的高斯白噪聲，并用傳統(tǒng)的去噪方式與自適應(yīng)小波去噪方式、優(yōu)化閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值的小波去噪方式進(jìn)行比較。實驗中的小波為正交小波Daubechies-4，小波分解層數(shù)為3層，采用峰值信噪比（PSNR，Peak Signal-to-Noise Ratio）這一客觀標(biāo)準(zhǔn)作為性能評價指標(biāo)，實驗結(jié)果如表1。

表1 不同去噪方法對含不同σ噪聲的Leda圖像去噪PSNR比較

由上表可知，隨著噪聲強度的增大，改進(jìn)后自適應(yīng)小波去噪方法的效果要更優(yōu)于前2種方法。

圖像的去噪，是為之后的圖像信息壓縮編碼等工作奠定基礎(chǔ)的。筆者根據(jù)小波去噪的特點，提出了較為綜合的小波域去噪方法，通過實驗數(shù)據(jù)對比，表明小波域去噪效果較好。由于實驗中僅以白噪聲為干擾信號，那么，根據(jù)不同噪聲的統(tǒng)計特性設(shè)計濾波器將是下一步設(shè)計的方向。

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