周旭，丁麗兵，庹云義，王成偉

（北京服裝學(xué)院 a. 材料科學(xué)與工程學(xué)院；b.基礎(chǔ)教學(xué)部，北京100029)

中矩形公式的注記

周旭a，丁麗兵a，庹云義a，王成偉b

（北京服裝學(xué)院 a. 材料科學(xué)與工程學(xué)院；b.基礎(chǔ)教學(xué)部，北京100029)

中矩形公式具有一次代數(shù)精度，其代數(shù)精度低。為了解決這個(gè)弊端，對(duì)推廣的中矩形公式中間點(diǎn)的漸近性質(zhì)進(jìn)行論證，并由此得到校正的中矩形公式，它具有三次代數(shù)精度。通過(guò)實(shí)例進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，結(jié)果表明，校正的中矩形公式計(jì)算精度大為提高。

中矩形公式；中間點(diǎn)；漸近性質(zhì)；代數(shù)精度

0引 言

積分中值定理在高等數(shù)學(xué)中具有重要的理論意義，對(duì)積分中值定理中間點(diǎn)的漸近性質(zhì)的研究也已經(jīng)取得了一些成果[1-5]，但對(duì)數(shù)值分析中的數(shù)值求積公式中間點(diǎn)的漸近性質(zhì)尚未展開(kāi)研究。本文對(duì)數(shù)值求積推廣的中矩形公式中間點(diǎn)的漸近性質(zhì)進(jìn)行全面論證，并給出了令人滿意的結(jié)果。由此得出的中矩形公式具有三次代數(shù)精度。通過(guò)實(shí)例進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，結(jié)果表明，校正的中矩形公式計(jì)算精度大大提高。

1定理及證明

為了定理及證明的需要，先給出兩個(gè)引理：

引理1[6]（中矩形公式）設(shè)函數(shù)f(t)在閉區(qū)間[a,x]內(nèi)連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,x)內(nèi)二階可導(dǎo)，則有：

引理2[7]（推廣的中矩形公式）設(shè)函數(shù)f(t),g(t)在閉區(qū)間[a,x]內(nèi)連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,x)內(nèi)二階可導(dǎo)，并且在開(kāi)區(qū)間(a,x)內(nèi)，則有：

定理設(shè)函數(shù)f(t),g(t)滿足條件：

（1）在[a,x]上連續(xù)；

證明構(gòu)造輔助函數(shù)

在[a,x]上對(duì)f(t)及g(t)應(yīng)用引理1和引理2，得：

此外，將（3）式兩端直接取極限，并反復(fù)應(yīng)用洛比達(dá)法則，得：

在上述定理中，令n=1,可得到如下推論：

推論1 設(shè)函數(shù)f(t),g(t)滿足條件：

（1）在[a,x]上連續(xù)；

推論2 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,a+h]上可導(dǎo)，則數(shù)值求值公式為：

校正后的中矩形公式具有三次代數(shù)精度。而中矩形公式只有一次代數(shù)精度。在（1）式中，令，可得到對(duì)應(yīng)于（1）式的校正的中矩形公式(11)。校正的中矩形公式(11)比中矩形公式的代數(shù)精度提高了二次。

2應(yīng)用舉例

將[例1]分別運(yùn)用矩形公式、梯矩形公式、辛浦生矩形公式及校正的中矩形公式計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

[例2]積分

將[例2]分別運(yùn)用矩形公式、梯矩形公式、辛浦生矩形公式及校正的中矩形公式計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

由表1、表2可知，校正的中矩形公式與中矩形公式相比較，計(jì)算精度大大提高；校正的中矩形公式與辛浦生矩形公式相比較，計(jì)算精度相當(dāng)。

表1求積公式在[例1]中的計(jì)算結(jié)果及絕對(duì)誤差

表2求積公式在[例2]中的計(jì)算結(jié)果及絕對(duì)誤差

[1]王成偉，張小燕.第一積分中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性[J].北京服裝學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，20(1):73-75.

[2]王成偉.一類(lèi)積分中值定理及中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì)[J].北京服裝學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，22(2):68-71.

[3]鄭權(quán).積分第一中值定理中的ξ在數(shù)值積分上的應(yīng)用[J].工科數(shù)學(xué)，2002，18(5):111-116.

[4]吳至友，夏雪.積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2004，34(3):170-176.

[5]王成偉.積分型柯西中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì)[J].北京服裝學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，25(3):42-44.

[6]陳明逵，凌永祥.計(jì)算方法教程[M].西安:西安交通大學(xué)出版社，1992:128-129.

[7]SU, H M,HUANG,Y D.A Remark on Mid-rectangle Formula and Trapezoid Formula[J].College Mathematics，2005，21(6):49-52.

[責(zé)任編輯：王瑋明]

A Remark on Mid-rectangle Formula

ZHOU Xua, DING Libinga, TUO Yunyia, WANG Chengweib
(a. School of Materials Science and Engineering; b. Department of Fundamental Courses, Beijing Institute of Fashion Technology, Beijing, 100029, China)

With algebraic accuracy of one degree, the mid-rectangle formula has low algebraic accuracy. For improvement, the paper first studies the asymptotic behavior of the generalized mid-rectangle formula, and then obtains the corrected formula with algebraic accuracy of three degrees. After the numerical experiments, it shows that the new formula has greatly improved in its accuracy.

Mid-rectangle formula; Mediant; Asymptotic behavior; Algebraic accuracy

book=1,ebook=15

O 172.2

A

1671-4326(2010)01-0047-04

2009-09-21

北京市教育委員會(huì)科技發(fā)展計(jì)劃面上項(xiàng)目（KM201010012010）；北京服裝學(xué)院大學(xué)生訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（110901000801）

周 旭（1989—），男，江蘇揚(yáng)州人，北京服裝學(xué)院材料科學(xué)與工程學(xué)院本科生；

丁麗兵（1988—），女，河北邢臺(tái)人，北京服裝學(xué)院材料科學(xué)與工程學(xué)院本科生；

庹云義（1986—），男，重慶彭水苗族土家族人，北京服裝學(xué)院材料科學(xué)與工程學(xué)院本科生；

王成偉（1962—），男，山東煙臺(tái)人，北京服裝學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部副教授，碩士.