段 汕,向朝森

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,武漢430074)

本影變換與灰值形態(tài)變換

段 汕,向朝森

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,武漢430074)

在二值形態(tài)變換的基礎(chǔ)上,通過引入本影和表面算子,給出了灰值形態(tài)變換的定義,較為全面地討論了本影變換和表面算子的相關(guān)性質(zhì)以及以此為基礎(chǔ)所建立的灰值形態(tài)學(xué)變換的相關(guān)性質(zhì),并給出了詳盡的證明過程.

本影變換;表面算子;灰值形態(tài)變換

在灰值和二值形態(tài)學(xué)之間存在著密切的關(guān)系,這種關(guān)系可以用本影變換來描述[1].在一些文獻中對本影變換和灰值形態(tài)變換及其性質(zhì)進行了討論,但都沒有系統(tǒng)地從本影變換出發(fā)建立灰值形態(tài)學(xué),從而使得讀者對本影變換在連接二值形態(tài)學(xué)和灰值形態(tài)學(xué)中所起的作用沒有直觀的理解,為了把本影變換的此作用清晰地呈現(xiàn)出來,本文在二值形態(tài)學(xué)的基礎(chǔ)上,引入了本影變換和表面算子,給出了基于本影變換和表面算子的灰值形態(tài)變換的定義,較為全面地討論了基于本影變換和表面算子而定義的灰值形態(tài)變換的性質(zhì),也討論了本影變換和表面算子的性質(zhì),給出了詳細(xì)的證明過程,建立了基于本影變換和表面算子的灰值形態(tài)學(xué)理論體系.

1 預(yù)備知識

用R和Z分別表示實數(shù)集合和整數(shù)集合[2],Rn+1或Zn+1分別表示連續(xù)的或離散的n+1維歐氏空間,用En+1表示Rn+1或Zn+1.En+1中的一個信號可以表示為一個函數(shù)y=f(x),其定義域D[f]?En,值域為E.

信號f按向量的平移,定義為:(fx+y)(z)=f(z-x)+y.設(shè)信號f的定義域為D[f]?En,信號g的定義域為D[g]?En,如果對于任意x∈D[g]?D[f],有g(shù)(x)≤f(x),則稱信號g在信號f的下方,記為g?f[1,3].將:(f∨g)(x)=max{f(x),g(x)},?x∈D[f]∪D[g]和(f∧g)(x)=m in{f(x),g(x)},?x∈D[f]∩D[g]分別稱為信號f和信號g的極大和極小[1].

2 本影變換與表面算子

對于En+1中的一個信號f,其本影(Umbra)定義為En+1中的集合:U[f]={(x,y)?En+1|?x∈D[f]?En,y∈E,y≤f(x)}.En+1中的一個集合A的表面(Surface)定義為S[A]={(x,y)∈A|?(x,y1)∈A?En+1,y≥y1},由此定義可以得出表面的函數(shù)定義形式S[A](x)=max{y|(x,y)∈A?En+1,x∈En,y∈E},利用信號f的本影和表面算子可以重構(gòu)信號f,即:

f(x)=S[U[f]](x)=max{y|(x,y)∈U[f]?En+1}[2],對于任意x∈D[f]?En.事實上,對于(x,y)∈U[f],有y≤f(x),即y的最大值是f(x),故S[U[f]](x)=f(x).

3 主要引理

引理1[1]給定兩個集合A和B,若A?B?En+1,則S[A](x)≤S[B](x),x∈En.

證明S[A](x)=max{y|(x,y)∈A}≤max{y|(x,y)∈B}=S[B](x).

引理2[4]設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En.g?f的充分必要條件是U[g]?U[f].

證明 (必要性)對于任意(x,y)∈U[g],有x∈D[g],y≤g(x).由g?f知D[g]?D[f],g(x)≤f(x),所以有x∈D[f],y≤f(x),即(x,y)∈U[f].故U[g]?U[f].(充分性)由U[g]?U[f]和引理1可知S[U[g]](x)?S[U[f]](x),即g?f.

4 本影變換和表面算子的性質(zhì)

性質(zhì)1 設(shè)信號f的定義域為D[f]?En,則有:

(1)U[fh+k]= (U[f])(h,k),

(2)S[(U[f])(h,k)](x)=f(x-h)+k,其中h∈En,k∈E,(U[f])(h,k)={(x+h,y+k)|? (x,y)∈U[f]?En+1}.

證明U[fh+k]={(x1,y1)|?x1∈D[fh+k],y1≤(fh+k)(x1)}={(x1,y1)|?x1-h∈D[f],y1≤f(x1-h)+k}={(x1,y1)|?x1-h∈D[f],y1-k≤f(x1-h)}.令x=x1-h,y=y1-k,則有:

U[fh+k]={(x+h,y+k)|?x∈D[f],y≤f(x)}={(x+h,y+k)|? (x,y)∈U[f]},即可得U[fh+k]= (U[f])(h,k).故(1)得證.

由表面的定義有S[(U[f])(h,k)](x)=max{y|(x,y)∈(U[f])(h,k)},對于(x,y)∈(U[f])(h,k),有(x,y)∈{(x+h,y+k)|? (x,y)∈U[f]},即有(x-h,y-k)∈U[f],y≤f(x-h)+k,所以S[(U[f])(h,k)](x)=f(x-h)+k.故(2)得證.

性質(zhì)2 設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En,則有:

證明 對于? (x,y)∈U[f∧g],有x∈D[f∧g]=D[f]∩D[g],y≤(f∧g)(x)=m in{f(x),g(x)},故y≤f(x)且y≤g(x),即(x,y)∈U[f]且(x,y)∈U[g],從而(x,y)∈U[f]∩U[g],所以有U[f∧g]? (U[f]∩U[g]).很明顯,上面的推導(dǎo)過程可以逆推回去,從而可得(U[f]∩U[g])?U[f∧g],所以U[f∧g]=U[f]∩U[g].故(1)得證.

由表面的定義有S[U[f]∩U[g]](x)=max{y|(x,y)∈U[f]∩U[g]},對于 (x,y)∈U[f]∩U[g],有(x,y)∈U[f]且(x,y)∈U[g],即y≤f(x)且y≤g(x),即y≤m in{f(x),g(x)}=(f∧g)(x),從而S[U[f]∩U[g]](x)=(f∧g)(x),故S[U[f]∩U[g]]=f∧g,故(2)得證.類似地可以證明(3)和(4).

5 灰值形態(tài)變換及主要性質(zhì)

利用本影和表面算子,在二值形態(tài)變換[1,4]的基礎(chǔ)上可以定義灰值形態(tài)變換.對于信號f及具有簡單形狀(如圓形結(jié)構(gòu)、扁平結(jié)構(gòu)、錐狀等)和小尺寸的信號g,將fΘg=S[U[f]ΘU[g]],f⊕g=S[U[f]⊕U[g]]分別稱為利用信號g對信號f的腐蝕和膨脹.類似地,將f°g=S[U[f]°U[g]],f·g=S[U[f]·U[g]]分別稱為信號g對信號f的開運算和閉運算.

性質(zhì)3 設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En,則有:

性質(zhì)4 設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En,則有:

證明 由灰值腐蝕和表面的定義有:

(fΘg)(x)=S[U[f]ΘU[g]](x)=max{y|(x,y)∈U[f]ΘU[g]},對(x,y)∈U[f]ΘU[g],利用二值腐蝕的定義AΘB={x|B+x?A}[1,4]有:U[g]+(x,y)?U[f].對于?z∈D[g],有(z,g(z))∈U[g],進而可得:(z,g(z))+(x,y)∈U[f],即(z+x,g(z)+y)∈U[f],從而有z+x∈D[f],g(z)+y≤f(z+x),即y≤f(z+x)-g(z),進而有y≤m in{f(z+x)-g(z)|z+x∈D[f],z∈D[g]},所以(fΘg)(x)=m in{f(z+x)-g(z)|z+x∈D[f],z∈D[g]}.故(1)得證.

由灰值膨脹的定義有(f⊕g)(x)=S[U[f]⊕U[g]](x)=max{y|(x,y)∈U[f]⊕U[g]},對(x,y)∈U[f]⊕U[g],由二值膨脹的知識[4,5]有:? (x1,y1)∈U[f],(x2,y2)∈U[g],使得(x,y)= (x1,y1)+ (x2,y2)= (x1+x2,y1+y2).由(x1,y1)∈U[f],(x2,y2)∈U[g]可知:x1∈D[f],x2∈D[g],y1≤f(x1),y2≤g(x2),故x=x1+x2,y=y1+y2≤f(x1)+g(x2)=f(x-x2)+g(x2),進而有:y≤max{f(x-x2)+g(x2)|?x2∈D[g],x-x2∈D[f]}≤max{f(x-z)+g(z)|?x-z∈D[f],z∈D[g]},所以(f⊕g)(x)=max{f(x-z)+g(z)|z∈D[g],x-z∈D[f]}.故(2)得證.由(1)和(2)可以得出(3)和(4).

性質(zhì)5(交換律) 設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En,則有:f⊕g=g⊕f.利用灰值膨脹的定義以及二值膨脹的交換律可以證得.

性質(zhì)6 設(shè)信號f、g、h的定義域分別為D[f]?En、D[g]?En和D[h]?En,則有:

(1)(結(jié)合律)f⊕ (g⊕h)=(f⊕g)⊕h,

(2)fΘ(g⊕h)=(fΘg)Θh.

證明 利用灰值膨脹的定義及性質(zhì)3有:

f⊕ (g⊕h)=S[U[f]⊕U[g⊕h]]=S[U[f]⊕(U[g]⊕U[h])],由二值膨脹的結(jié)合律A⊕(B⊕C)= (A⊕B)⊕C[1]有:U[f]⊕ (U[g]⊕U[h])=(U[f]⊕U[g])⊕U[h],故f⊕ (g⊕h)=S[(U[f]⊕U[g])⊕U[h]]=S[U[f⊕g]⊕U[h]]=(f⊕g)⊕h.

類似地,可以證明(2).作灰值腐蝕運算時,如果結(jié)構(gòu)元素較大時,利用性質(zhì)6的(2),可以首先對結(jié)構(gòu)元進行分解,這樣可以減少計算量.

性質(zhì)7(分配律) 設(shè)信號f、g、h的定義域分別為D[f]?En、D[g]?En和D[h]?En,則有:

(3)f⊕ (g∨h)=(f⊕g)∨(f⊕h).

證明 由灰值腐蝕的定義有(f∧g)Θh=S[U[f∧g]ΘU[h]],由性質(zhì)2以及二值形態(tài)學(xué)中相關(guān)的性質(zhì)(B∩C)ΘA=(BΘA)∩(CΘA)[1]有:

(f∧g)Θh=S[(U[f]∩U[g])ΘU[h]]=S[(U[f]ΘU[h])∩ (U[g]ΘU[h])]=S[U[f]ΘU[h]]∧S[U[g]ΘU[h]]=(fΘh)∧(gΘh). 類似地,可以證明(2)和(3).

性質(zhì)8 設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En,則有:

證明 由灰值開的定義及性質(zhì)3有:

類似地可以證明(2).可以看出灰值開、閉運算是灰值腐蝕和膨脹的組合運算.灰值開運算是對信號先作灰值腐蝕運算再作灰值膨脹,灰值閉運算是對信號先作灰值膨脹運算再作灰值腐蝕.

性質(zhì)9(對偶性) 設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En,則有:

證明 由性質(zhì)4有:

把上式中的z換成-z,則有:

由性質(zhì)4有-(fΘg)(x)=[(-f)⊕](x),即fΘg=-[(-f)⊕g^].類似地,可以證明(2).由已證的(1)和(2)得:

性質(zhì)10(平移不變性) 設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En,則有:

其中x∈En,y∈E.

證明 由灰值腐蝕的定義和性質(zhì)1有:

由二值腐蝕的平移不變性[1]得(U[f])(x,y)ΘU[g]=(U[f]ΘU[g])(x,y),由性質(zhì)1 有S[(U[f]ΘU[g])(x,y)]=(S[U[f]ΘU[g]])x+y,故(fx+y)Θg= (S[U[f]ΘU[g]])x+y=(fΘg)x+y.類似地,可以證明(2)成立.

由性質(zhì)8和性質(zhì)10的(1)、(2)有:

類似地可以證明(4).如果先對結(jié)構(gòu)元素進行形態(tài)學(xué)平移,再作灰值腐蝕與膨脹,則滿足下面的性質(zhì)11.

性質(zhì)11 設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En,則有:

其中x∈En,y∈E.

證明 由灰值腐蝕的定義有fΘ(gx+y)=S[U[f]ΘU[gx+y]],

由性質(zhì)1有U[gx+y]=(U[g])(x,y),則有:

由二值形態(tài)學(xué)中的性質(zhì)AΘ(B+x)=(AΘB)-x[1]有:

U[f]Θ(U[g])(x,y)= (U[f]ΘU[g])(-x,-y),故fΘ(gx+y)=S[(U[f]ΘU[g])(-x,-y)],

由性質(zhì) 1有S[(U[f]ΘU[g])(-x,-y)]=(S[U[f]ΘU[g]])-x-y= (fΘg)-x-y. 類似地可以證明(2).

性質(zhì)12(遞增性) 設(shè)信號f、g、h的定義域分別為D[f]?En、D[g]?En和D[h]?En,如果f?g,則有:fΘh?gΘh,f⊕h?g⊕h,f°h?g°h,f·h?g·h.

證明 由f?g和引理2有U[f]?U[g],由二值腐蝕的遞增性[1]得:(U[f]ΘU[h])? (U[g]ΘU[h]),即U[fΘh]?U[gΘh],由引理2可知fΘh?gΘh.類似地,可以證明f⊕h?g⊕h.由f?g可知fΘh?gΘh,從而有:(fΘh)⊕h? (gΘh)⊕h,即f°h?g°h.類似地可以證明f·h?g·h.

如果先給出結(jié)構(gòu)元的次序關(guān)系,再作灰值腐蝕與膨脹,則滿足下面的性質(zhì)13.

性質(zhì)13 設(shè)信號f、g、h的定義域分別為D[f]?En、D[g]?En和D[h]?En,如果g?h,則有:

證明 由g?h和引理2有U[g]?U[h],由二值腐蝕的相關(guān)性質(zhì)[4]知:(U[f]ΘU[h])? (U[f]ΘU[g]),即U[fΘh]?U[fΘg],由引理2 可知fΘh?fΘg.類似地可以證明f⊕g?f⊕h.

性質(zhì)14(擴展性) 設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En,且U[g]包含原點,則有:f?f⊕g,f?f·g.

證明 由(0,0)∈U[g]和二值膨脹的擴展性[1,4]有:U[f]? (U[f]⊕U[g]),即U[f]?U[f⊕g],由引理2得到f?f⊕g.由二值閉運算的擴展性[1,4],即U[f]? (U[f]·U[g]),由引理2得到f?f·g.

性質(zhì)15(非擴展性) 設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En,且U[g]包含原點,則有:fΘg?f,f°g?f.證明思路和性質(zhì)14相似.

性質(zhì)16(冪等性) 設(shè)信號f和g的定義域分別為D[f]?En和D[g]?En,則有:

證明 由灰值開的定義和性質(zhì)3有:(f°g)°g=S[U[f°g]°U[g]]=S[(U[f]°U[g])°U[g]],由二值開運算的冪等性[1]可知:(U[f]°U[g])°U[g]=U[f]°U[g],故(f°g)°g=S[U[f]°U[g]]=f°g.類似地可以證明(f·g)·g=f·g.

6 結(jié)束語

從整個理論體系的建立和各個性質(zhì)的證明過程中,可以清晰地看出本影變換在連接二值形態(tài)學(xué)和灰值形態(tài)學(xué)中所起的作用.

[1]崔 屹.圖像處理與分析——數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2000.

[2]段 汕,秦前清.基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理方法[J].中南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2003,22(4):67-70.

[3]Heijmans H.Theoreticalaspects ofgray-level morphology[J].IEEE T rans Pattern A nalysis and M achine Intelligence,1991,13(6):568-582.

[4]唐常青,呂宏伯,黃 錚,等.數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,1990.

[5]Camps O,KanungoT,Haralick R.Gray-scale structuring element decomposition[J].IEEE T rans I mage Processing,1996,5(1):111-120.

Umbra Transform and Gray-Scale Morphological Transforms

Duan Shan,Xiang Chaosen
(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities,Wuhan 430074,China)

In this paper,the definition of gray-scale morphological transforms is given based on the binary morphological transforms and the conceptions of umbra transform and surface operator.Comprehensive properties related to umbra transform and surface operator,and gray-scale morphological transforms based on umbra transform and surface operator are discussed,and detailed proofs are also given in this paper.

umbra transform;surface operator;gray-scale morphological transform s

TP391.41

A

1672-4321(2010)01-0111-04

2010-01-20

段 汕(1962-),女,教授,博士,研究方向:圖像處理與模式識別,E-mail:jy5699@sina.com