淦，黃宜堅(jiān)

（華僑大學(xué)機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 泉州 362021）

銑削加工表面輪廓的幾何分形特征

（華僑大學(xué)機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 泉州 362021）

將分形幾何學(xué)運(yùn)用于銑削表面的形貌研究，分別采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法和重標(biāo)極差分析法，計(jì)算出不同銑削表面的分形維數(shù)D和垂直尺度因子G.根據(jù)計(jì)算結(jié)果，運(yùn)用改進(jìn)Weierstrass-Mandelbrot分形函數(shù)模擬仿真出相應(yīng)的表面輪廓，并畫出實(shí)測(cè)表面輪廓和模擬表面輪廓的高度歸一化概率密度分布圖.試驗(yàn)結(jié)果表明，銑削表面輪廓分形維數(shù)D、垂直尺度因子G隨著表面粗糙度的增加而降低；仿真出的表面輪廓和實(shí)測(cè)表面輪廓具有相同的高度歸一化的概率密度分布，并能更加真實(shí)地反映出表面輪廓的細(xì)微結(jié)構(gòu).

分形幾何；分維維數(shù)；垂直尺度系數(shù)；銑削；表面輪廓

隨著幾何分形學(xué)的發(fā)展和成熟，分形理論被廣泛用于加工和磨損表面的形貌和粗糙度研究.它的引入為解決難以處理和準(zhǔn)確表達(dá)的復(fù)雜表面形貌問(wèn)題，提供了新的途徑.相關(guān)文獻(xiàn)表明［1-6］，表面形貌具有統(tǒng)計(jì)自相似和自仿射的分形特征.因此，從理論上講是可以通過(guò)輪廓曲線的分形維數(shù)和形貌系數(shù)來(lái)表征加工表面的.El-Sonbaty等［7］用關(guān)聯(lián)維數(shù)仿真的銑削加工表面的輪廓，與實(shí)測(cè)表面輪廓有著很好的吻合性.朱華等［8］運(yùn)用形貌系數(shù)或特征粗糙度參數(shù)Ra＊來(lái)唯一表征粗糙表面，比單獨(dú)運(yùn)用分形維數(shù)D和垂直尺度系數(shù)G更能敏感地反映表面粗糙度地變化.本文運(yùn)用結(jié)構(gòu)函數(shù)法和重標(biāo)極差分析法［9-11］，求出加工表面輪廓的分形參數(shù)，代入Weierstrass-Mandelbrot（W-M）分形輪廓仿真函數(shù)，繪制相應(yīng)的表面輪廓，并與實(shí)測(cè)表面輪廓進(jìn)行比較.

1 銑削加工表面輪廓的分形現(xiàn)象

1.1 分形證明

機(jī)械加工表面的微觀顯示出統(tǒng)計(jì)自相似性和自仿射性，據(jù)此，在不同的放大倍數(shù)下可以看到表面不斷出現(xiàn)的相似結(jié)構(gòu).即當(dāng)測(cè)量尺度減小時(shí)，可以看到更加精細(xì)的微觀結(jié)構(gòu).換言之，機(jī)械加工表面具有明顯的分形現(xiàn)象.

銑削試驗(yàn)中，試件實(shí)測(cè)表面輪廓在不同取樣長(zhǎng)度內(nèi)的形貌，如圖1所示.圖1中：Z（x）為輪廓高度值；N為采樣數(shù)據(jù)點(diǎn).由圖1可知，當(dāng)銑削表面輪廓的分辨率不斷提高（或者說(shuō)觀察尺度逐漸減小）時(shí)，可以看到輪廓表面會(huì)重復(fù)顯現(xiàn)一定的微觀精細(xì)結(jié)構(gòu).因此，銑削加工表面輪廓確實(shí)存在分形現(xiàn)象.

根據(jù)Lyanpunov分形指數(shù)（λ）的大小，也可以判斷輪廓表面是否存在分形［12］.具體過(guò)程如下：將由粗糙表面輪廓測(cè)量?jī)x所測(cè)的輪廓高度值Z（x）當(dāng)作一維時(shí)間序列，然后將該時(shí)間序列輸入到求解Lyanpunov指數(shù)的有關(guān)程序，得到Lyanpunov指數(shù)譜，如圖2所示.圖2中：τ為時(shí)延步長(zhǎng).根據(jù)圖2，可計(jì)算出平均Lyanpunov指數(shù)λav=4.717 3＞0，由此可證明，銑削加工零件表面輪廓存在明顯的分形現(xiàn)象.

再者，通過(guò)相空間重構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的奇異吸引子，也可辨識(shí)系統(tǒng)是否存在分形.如果系統(tǒng)具有分形性質(zhì)，其最終運(yùn)動(dòng)歸宿集中在奇怪吸引子上.在吸引域之外，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)不斷向“吸引子”靠攏；而在吸引域之內(nèi)，由于對(duì)初始條件的敏感依賴性，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的軌道間互相排斥、折疊，充滿了整個(gè)吸引域卻又永不重復(fù).具體過(guò)程如下：對(duì)所測(cè)表面輪廓數(shù)據(jù)時(shí)間序列Z（x）進(jìn)行重構(gòu)，通過(guò)觀察重構(gòu)的相空間軌跡是否存在奇異吸引子，若存在，則說(shuō)明系統(tǒng)存在分形.銑削表面輪廓的相空間重構(gòu)偽相圖，如圖3所示.從圖3可知，銑削表面輪廓的相空間重構(gòu)偽相圖呈現(xiàn)一定的形狀和軌跡.因此，銑削表面輪廓再一次被證明具有分形現(xiàn)象.

圖1 銑削加工表面輪廓的自相似性和仿射性Fig.1 Self-similarity and self-affinity of the milled surface proflie

圖2 銑削表面輪廓Lyanpunov指數(shù)圖Fig.2 Lyapunov exponents diagram of milled surface profile

圖3 相空間重構(gòu)圖Fig.3 Graph of reconstructed phase space

1.2 分形維數(shù)和垂直尺度的物理含義

銑削加工表面有著這樣的特性：表面上幅值比較大的峰，其波長(zhǎng)一般比幅值小的波峰要長(zhǎng)；對(duì)于波谷也有同樣的現(xiàn)象.因此，加工表面分形維數(shù)表達(dá)了表面所具有的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的多少和結(jié)構(gòu)的微細(xì)程度，以及微細(xì)結(jié)構(gòu)在整個(gè)表面中所占能量的相對(duì)大小.分形維數(shù)越大，表面中非規(guī)則的結(jié)構(gòu)就越多，結(jié)構(gòu)越精細(xì)，而精細(xì)結(jié)構(gòu)所具有的能量相對(duì)越大.

依據(jù)Weierstrass-Mandelbort（W-M）分形函數(shù)，加工表面輪廓［7］可表示為

式（1）中：L為表面輪廓采樣長(zhǎng)度；x是采樣長(zhǎng)度在x上的坐標(biāo)；γ為大于1的常數(shù)，取1.5為適宜的［10］，且空間頻率的模γn=1/L，決定了輪廓的功率譜.式（1）為改進(jìn)后的分形幾何中的W-M函數(shù)，具有不可微、連續(xù)和自仿射性，而這正符合粗糙表面輪廓的數(shù)學(xué)特性.

若將輪廓高度值Z（x）歸一化后，式（1）可改寫為

分形函數(shù)增量（或稱輪廓高度差）Z（x+λ）′-Z（x′）服從期望為零的獨(dú)立高斯分布，其方差為

式（4）中：H就是z（x）的一個(gè)特征性的參數(shù).式（4）可以改為

將式（5）代入式（4），可得

對(duì)于W-M函數(shù)，根據(jù)功率譜函數(shù)式，可以得到該函數(shù)的方差的期望為

比較式（6），（7），可得

2 分形維數(shù)的計(jì)算方法

2.1 結(jié)構(gòu)函數(shù)法

將銑削表面輪廓曲線看成一時(shí)間序列Z（x），由于其分形特性，使得該時(shí)間序列的采樣數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)滿足

式（9）中：［Z（x+τ）-Z（x）］2為差方的算術(shù)平均值；τ為數(shù)據(jù)間隔的任意選擇值；G為銑削表面輪廓的垂直尺度系數(shù)；D為輪廓曲線的分形維數(shù).從式（9）還可看出，結(jié)構(gòu)函數(shù)S（τ）與數(shù)據(jù)間隔成冪指數(shù)關(guān)系.

針對(duì)若干尺度τ對(duì)輪廓曲線的離散信號(hào)，計(jì)算出相應(yīng)的S（τ），然后畫出雙對(duì)數(shù)logS-logτ圖，如圖4（a）所示.通過(guò)最小二乘法線性擬合出直線段，得到其斜率k和截距b.即有

由式（10）可知，分形維數(shù)D和垂直尺度系數(shù)G是獨(dú)立于數(shù)據(jù)間隔τ的，而且垂直尺度系數(shù)G與分形維數(shù)有關(guān).這就說(shuō)明了，分形輪廓主要取決于分形維數(shù)D，而兩分形參數(shù)（D，G）可以表征銑削加工粗糙表面的固有本質(zhì)規(guī)律.因此，該兩分形參數(shù)可以完全表征銑削加工表面輪廓形狀，具體的表面輪廓可由D，G分形參數(shù)值代到式（1）得到.

2.2 重標(biāo)極差分析法

表面輪廓曲線可以用一維布朗函數(shù)來(lái)描述，它具有自放射性，其分維數(shù)D為

R（τ）/S（τ）與τH的關(guān)系為

式（12）中：C為常數(shù).計(jì)算出｛τ，R（τ）/S（τ）｝的值，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系｛lnτ，lnR（τ）/S（τ）｝中用最小二乘法擬合，如圖4（b）所示.由圖4（b）得到直線段斜率H，并通過(guò)計(jì)算得到輪廓曲線的分維數(shù).

圖4 表面輪廓的雙對(duì)數(shù)圖Fig.4 log-log graph of surface profile

3 粗糙度與分形參數(shù)的關(guān)系

對(duì)于式（1）的W-M分形函數(shù)，其均值和偏度分別為

經(jīng)過(guò)數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)，S≈0.因此，W-M分形函數(shù)是近似為零均值，服從對(duì)稱分布的.由輪廓算術(shù)平均偏差Ra，也即粗糙度的定義可知

將分形函數(shù)式（1）代入式（13），則有

通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬求證，找出分形參數(shù)D，G與粗糙度Ra的數(shù)值關(guān)系［14］為

大量的計(jì)算和理論分析表明，G＜1且1＜D＜2.因此，從式（14）可知，粗糙度Ra與分形維數(shù)D存在冪指數(shù)關(guān)系，粗糙度Ra隨著分形維數(shù)D上升而下降，減小而增大；而當(dāng)分形維數(shù)D固定不變時(shí)（1＜D＜2），粗糙度Ra與垂直尺度系數(shù)G呈單調(diào)遞增關(guān)系.即Ra隨G增大而上升，降低而減少.

若垂直尺度系數(shù)不變時(shí)，當(dāng)分形維數(shù)D增大，銑削表面輪廓的精細(xì)結(jié)構(gòu)越來(lái)越精細(xì)，故而表面粗糙度Ra值減?。蝗舴中尉S數(shù)D不變，當(dāng)垂直尺度系數(shù)G增大，銑削表面輪廓在同一位置處高度值增大，也就是說(shuō)表面質(zhì)量越來(lái)越粗糙，從而表面粗糙度Ra上升.

4 實(shí)驗(yàn)部分

4.1 銑削實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)在數(shù)控銑床進(jìn)行，共加工了6塊45#鋼，其粗糙表面質(zhì)量分為6種不同等級(jí).刀具選用型號(hào)為YT-08的硬質(zhì)合金立銑刀，直徑d為20mm高速螺旋齒（2齒，螺旋角為45°），加工過(guò)程不加銑削冷卻液.相應(yīng)粗糙表面的切削用量，如表1所示；銑削過(guò)程示意圖，如圖5所示.表1中：主軸轉(zhuǎn)速為ω；進(jìn)給量為F；切削深度為dp.

表1 試件切削參數(shù)值Tab.1 Specimen cutting parameters

圖5 銑削加工過(guò)程Fig.5 Milling process

試驗(yàn)的銑削加工零件表面粗糙度，由德國(guó)馬爾XR200型針接觸式粗糙度測(cè)量?jī)x測(cè)量得到.該測(cè)量?jī)x測(cè)針尖半徑r=2μm，最小輪廓分辨率可達(dá)76nm，并配有專業(yè)的測(cè)量軟件操作系統(tǒng)MarSurf XR 20.被測(cè)銑削表面輪廓的取樣長(zhǎng)度Lt=5.6mm，輪廓的采樣點(diǎn)數(shù)NPT=11 200，分成7段，每段長(zhǎng)度為0.8mm；軟件評(píng)定長(zhǎng)度L取中間5段，長(zhǎng)度為4mm.通過(guò)軟件分析可得表面輪廓粗糙度Ra，儲(chǔ)存表面輪廓高度數(shù)據(jù)｛Zi｝iN=1，并運(yùn)用上述兩種分形維數(shù)計(jì)算方法，求得相應(yīng)粗糙度表面下的分形維數(shù)D和垂直參考因子G.如表1所示.

從表1可看出，隨著表面粗糙度Ra的不斷增加，分形維數(shù)D單調(diào)遞減，垂直尺度系數(shù)單調(diào)遞增.這說(shuō)明，加工表面輪廓的分形維數(shù)越高，垂直尺度系數(shù)越小，則銑削加工粗糙表面的精細(xì)結(jié)構(gòu)相似程度越大，表面質(zhì)量就越好，且輪廓平均峰值越小.Ra與分形參數(shù)屬于單調(diào)關(guān)系，即證明了Ra∝GD-1表達(dá)式的準(zhǔn)確性.另外一方面，對(duì)于相同的輪廓表面，運(yùn)用結(jié)構(gòu)函數(shù)法所計(jì)算出來(lái)的分形維數(shù)值要小于極差法所得分?jǐn)?shù)維值.

4.2 加工表面輪廓的模擬仿真

通過(guò)兩種分形維數(shù)計(jì)算方法，可求出分形參數(shù)D和表面粗糙度Ra.然后，將其代入W-M分形函數(shù)中，可得加工表面輪廓的形狀.具體仿真流程如圖6所示；銑削加工試件表面輪廓的實(shí)測(cè)和仿真對(duì)比，如圖7所示；實(shí)測(cè)表面和模擬表面輪廓高度值歸一化后，其概率分布圖如圖8所示.

圖6 加工表面輪廓模擬仿真流程分析圖Fig.6 Process analysis flow for the simulation of machined surface profile

圖7 試件表面輪廓的實(shí)測(cè)和仿真對(duì)比Fig.7 Comparison of the measured and simulated of specimen surface profile

圖8 試件表面輪廓高度值歸一化后的概率分布圖Fig.8 Plot of high degree of normalization probability density distribution of sample surface profile

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)改進(jìn)的W-M分形函數(shù)仿真出的銑削加工模擬表面輪廓，與實(shí)測(cè)表面輪廓相比，其在統(tǒng)計(jì)規(guī)律上是具有相同的概率密度分布的.相對(duì)于實(shí)測(cè)表面，模擬表面能提供更多的細(xì)節(jié)信號(hào)，即能提供更多的精細(xì)結(jié)構(gòu).由于上述幾何分形參數(shù)能夠表征加工表面微觀形貌的本身固有的規(guī)律，因而幾何分形學(xué)同樣可應(yīng)用于其他機(jī)械加工表面的形貌描述和研究.

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Geometry Fractal Characteristics of Milled Surface Profiles

GAN Ben，HUAN G Yi-jian
（College of Mechanical Engineering and Automation，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

The fractal geometry was used to investigate the microtopography of the milled surface.By use of the method of structural function and of rescaled range analysis，the fractal dimensionDand vertical scale coefficientGof the different milled surfaces can be obtained.According to the calculation results，the corresponding surface profiles are simulated by using the improved the Weierstrass-Mandelbrot fractal function and the graphs of high degree of normalization probability density distribution of the measured and simulated surface profiles are plotted.The experimental results have shown that the fractal dimensionDand vertical scale coefficientGof the milled surface profile decrease with the increase of roughness，the simulated and measured surface profiles have the same high degree of normalization probability density distribution and the former can reflect the fine structure of the surface profiles more really.

fractal geometry；fractal dimension；vertical scale coefficient；milling；surface profile

TH 161+.14；TG 54

A

1000-5013（2010）04-0371-07

（責(zé)任編輯：陳志賢 英文審校：鄭亞青）

2009-04-24

黃宜堅(jiān)（1945-），男，教授，主要從事機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與控制的研究.E-mail：yjhuang@hqu.edu.cn.

福建省高新技術(shù)開(kāi)發(fā)研究計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目（2005H035）；福建省自然科學(xué)基金計(jì)劃資助項(xiàng)目（A0610020）