張福恒

（海南師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，海南 ?？?571158）

戴爾算符的3個(gè)有用公式

張福恒

（海南師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，海南 海口 571158）

在曲線正交坐標(biāo)系中證明了▽算符3個(gè)有用運(yùn)算公式，通過(guò)實(shí)例說(shuō)明公式方便及易用，應(yīng)將此3個(gè)公式列入戴爾算符常用運(yùn)算公式中，這樣避免了經(jīng)常查閱具體坐標(biāo)系中▽算符的表達(dá)式及繁雜的計(jì)算.

戴爾算符；運(yùn)算公式；電磁場(chǎng)；電動(dòng)力學(xué)

▽算符稱(chēng)為戴爾算符，或稱(chēng)為那布拉算符.它是在矢量場(chǎng)運(yùn)算中引入的一個(gè)矢量微分算符.由于電磁場(chǎng)是一個(gè)矢量場(chǎng)，因此▽算符在有關(guān)電磁場(chǎng)運(yùn)算中有著重要的作用.但一般教科書(shū)對(duì)▽算符的運(yùn)算討論并不多，僅給出了一些有關(guān)運(yùn)算公式［1-4］，或是僅提到了▽算符具有微分性和矢量性，在運(yùn)算時(shí)應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足微分運(yùn)算法則和矢量運(yùn)算法則［1］.而▽算符的運(yùn)算貫串整個(gè)電磁場(chǎng)理論中，這樣就造成了電動(dòng)力學(xué)教與學(xué)的諸多困難.筆者認(rèn)為，下面給出的3個(gè)式子在電磁場(chǎng)有關(guān)運(yùn)算中，非常具有實(shí)用性，應(yīng)將其列入有關(guān)▽算符運(yùn)算的公式中.

1 公式的給出

為不失一般性，我們?cè)谌S曲線正交坐標(biāo)系中來(lái)討論.

若標(biāo)量函數(shù)f=f（g），矢量函數(shù)F=F（g），其中標(biāo)量函數(shù)g=g（u1，u2，u3），則有：

u1，u2，u3為曲線正交坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變量，相應(yīng)的線元為d l1=h1d u1、d l2=h2d u2、d l3=h3d u3，其中h，h，h為度規(guī)系數(shù)［1］.對(duì)于笛卡兒坐標(biāo)系：

123（u1，u2，u3）＝（x，y，z），（h1，h2，h3）＝（1，1，1）；對(duì)于柱坐標(biāo)系：（u1，u2，u3）=（r，φ，z），（h1，h2，h3）=（1，r，1）；對(duì)于球坐標(biāo)系：（u1，u2，u3）=（r，θ，φ），（h1，h2，h3）=（1，r，r sinθ）.

我們?cè)谌S曲線正交坐標(biāo)系中證明上面給出的3個(gè)式子.在三維曲線正交坐標(biāo)系中，▽算符的表達(dá)形式為：e1，e2，e3分別是三個(gè)坐標(biāo)方向上的單位矢量.注意到f、F僅是g的函數(shù)，

因此有

在上面給出的3個(gè)公式中，▽算符明顯滿(mǎn)足微分性與矢量性的運(yùn)算法則，特別注意的是（3）式，更體現(xiàn)了滿(mǎn)足矢量方向性問(wèn)題，因此這些公式是很好記憶的.

2 應(yīng)用舉例

通過(guò)下面的一些例子，我們將說(shuō)明這3個(gè)式子在運(yùn)算中是很有用的，它將大大減少計(jì)算量.在應(yīng)用中，下面兩個(gè)常用等式是有用的

式中r是位置矢量（或距離矢量），其大小為r；p是常矢量.

例1 電容率為ε、半徑為a的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng)E0中，球內(nèi)外空間的電勢(shì)分布由下式給出［1］：

如果我們?cè)谇蜃鴺?biāo)系中求電場(chǎng)分布，需要查出▽算符的具體表達(dá)式，計(jì)算也較繁瑣.利用前面給出的等式，我們可以方便地得到相應(yīng)的電場(chǎng)分布為：

例2 電偶極子是一種基本的輻射單元，它是一段長(zhǎng)度l遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)的直線電流元Il，I=I0e-ωt.位于z軸的電偶極子在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的矢勢(shì)為 ［1］：

這樣我們得到mUnicode）），StringToArray SourceString）//對(duì)完整的明文進(jìn)行處理

MD5Final//對(duì)最后一個(gè)分組進(jìn)行處理

Md5_String_Calc=GetValues//獲得四個(gè)寄存器的信息得到一個(gè)128位的摘要

End FunctionEnd Function

其中，MD5Update（）函數(shù)只是對(duì)完整的分組進(jìn)行壓縮，處理過(guò)程相對(duì)于最后的填充分組簡(jiǎn)單些，MD5Final是對(duì)最后的帶有填充信息的分組進(jìn)行處理.簽名的效果見(jiàn)圖8.

圖8 簽名的效果圖Fig.8 Effect of signature

3 總結(jié)

保證信息訪問(wèn)和發(fā)布的保密性、完整性、認(rèn)證性及不可否認(rèn)性，有效控制用戶(hù)權(quán)限，防止非法使用和攻擊，是企事業(yè)內(nèi)部辦公自動(dòng)化系統(tǒng)必須要考慮的安全問(wèn)題.文章所設(shè)計(jì)系統(tǒng)通過(guò)利用基于X. 509證書(shū)的身份認(rèn)證系統(tǒng)、基于RSA算法的加密簽名系統(tǒng)，結(jié)合基于角色的權(quán)限管理來(lái)確保安全OA系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn).

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責(zé)任編輯：黃 瀾

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責(zé)任編輯：畢和平

Three Useful Formulae for Del Operation

ZHANG Fuheng
（College of Physics and Electronic Engineering，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

The article proves three useful formulae for operator▽operation in curvilinear orthogonal coordinates，and shows that the formulas are convenient and easy to use through the examples.It suggests that these three formulas should be listed in Del operator common operation formulas.Then，it would avoid looking up frequently the concrete operator expression in coordinates and avoid multifarious calculating.

Del operator；operation formulae；electromagnetic field；electrodynamics

O 442

A

1674-4942（2010）03-0274-02

2010-03-03