王曉杰，程洪霞

（太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院，山西 太原 030024）

供水系統(tǒng)作為一種提水排水或補(bǔ)給水源的水利系統(tǒng)工程，在水資源調(diào)配、跨流域引水、城市及工農(nóng)業(yè)供水等方面舉足輕重，是解決水資源分布地域差異的有效系統(tǒng)工程。為保證供水系統(tǒng)的安全和穩(wěn)定運(yùn)行，必須對(duì)供水系統(tǒng)中的各項(xiàng)裝置進(jìn)行適時(shí)的更新維護(hù)，而水泵作為供水系統(tǒng)的主體，其更新維護(hù)決策顯得尤為重要。本文給出了供水系統(tǒng)中水泵更新維護(hù)費(fèi)用的經(jīng)濟(jì)優(yōu)化分析，以期在保證供水系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的條件下，降低成本，提高供水系統(tǒng)的總效益。

1 水泵的更新與維護(hù)

水泵的更新即購(gòu)買新的水泵裝置需要支付購(gòu)買費(fèi)。在水泵的折舊年限內(nèi)，每年的購(gòu)買價(jià)格有所不同，呈增加趨勢(shì)。

水泵的維護(hù)主要包括：（1）葉輪：①葉輪葉片與葉輪室的間隙測(cè)量；②葉輪和葉輪室汽蝕、磨損檢查及處理；③葉輪靜平衡試驗(yàn)；④葉輪葉片密封裝置的檢查、更換、試驗(yàn)；⑤葉輪體耐壓、密封試驗(yàn)；⑥葉輪葉片接力器的修理或更換。（2）泵軸：①泵軸變形和軸頸、軸承磨損程度；②軸承間隙的測(cè)量、調(diào)整；③同軸度的測(cè)量與調(diào)整。（3）泵殼和懸架：主要檢測(cè)泵殼和懸架的銹蝕、裂紋、變形、損壞等情況。

水泵的維護(hù)需要支付相關(guān)的設(shè)備、實(shí)驗(yàn)和人工等費(fèi)用，隨著水泵使用時(shí)間的增長(zhǎng)，每年所需的維護(hù)費(fèi)用也在增加。

水泵的更新與維護(hù)都需要資金的投入，如何以最少的資金投入獲得同樣的效益，是值得泵站管理者及相關(guān)工作人員關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題。本文將該問(wèn)題歸結(jié)為圖論中的最短路問(wèn)題。

2 最短路問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

2.1 最短路問(wèn)題的基本思想

最短路問(wèn)題就是在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖中，給定一個(gè)起點(diǎn)，求出該起點(diǎn)到另一終點(diǎn)的權(quán)數(shù)最小的通路。最短路問(wèn)題是網(wǎng)絡(luò)理論中應(yīng)用最廣泛的問(wèn)題之一。

最短路問(wèn)題的一般提法如下［1］：設(shè)G=（V，E）為連通圖，圖中各邊（vi，vj）有權(quán) lij（lij=∞表示 vi和 vj間無(wú)邊），vs、vt為圖中任意兩點(diǎn)，求一條道路μ，使它是從vs到vt的所有路中總權(quán)最小的路，即最小。

2.2 最短路問(wèn)題的求解方法

最短路問(wèn)題的求解方法有：Dijkstra算法、逐次逼近算法和Floyd算法等。其中Dijkstra算法由Dijkstra于1959年提出，可用于求解指定兩點(diǎn)vs和vt間的最短路，或從指定點(diǎn)vs到其余各點(diǎn)的最短路，目前被認(rèn)為是求無(wú)負(fù)權(quán)網(wǎng)絡(luò)最短路問(wèn)題的最好方法。

Dijkstra算法的基本步驟［1］如下：

采用標(biāo)號(hào)法，可用兩種標(biāo)號(hào)：T標(biāo)號(hào)和P標(biāo)號(hào)，T標(biāo)號(hào)為試探性標(biāo)號(hào)（tentative label），P標(biāo)號(hào)為永久性標(biāo)號(hào)（permanent label），給vi點(diǎn)一個(gè)P標(biāo)號(hào)時(shí)，表示從vs到vt點(diǎn)的最短路權(quán)，vi點(diǎn)的標(biāo)號(hào)不再改變。給vi點(diǎn)一個(gè)T標(biāo)號(hào)時(shí)，表示從vs到vt點(diǎn)的估計(jì)最短路權(quán)的上界，是一種臨時(shí)標(biāo)號(hào)，凡沒(méi)有得到P標(biāo)號(hào)的點(diǎn)都有T標(biāo)號(hào)。每一步計(jì)算都把該計(jì)算點(diǎn)的T標(biāo)號(hào)改為P標(biāo)號(hào)，當(dāng)終點(diǎn)vt得到P標(biāo)號(hào)時(shí)，計(jì)算過(guò)程結(jié)束。

計(jì)算步驟：

（1）給vs以P標(biāo)號(hào)，P（vs）=0，其余各點(diǎn)均為T標(biāo)號(hào)，T（vi）=+∞。

（2）若vi點(diǎn)為剛得到P標(biāo)號(hào)的點(diǎn)，考慮這樣的點(diǎn)vj∶（vi，vj）∈E，且 vj為 T 標(biāo)號(hào)，則 vj的 T 標(biāo)號(hào)為：T（vj）=min［T（vj），P（vi）+lij］。

3 實(shí)例仿真與分析

現(xiàn)以某型號(hào)離心泵（一臺(tái)）為例進(jìn)行分析。每年年初做出購(gòu)買決定，若購(gòu)買新的水泵，要支付購(gòu)買費(fèi)，若使用舊的水泵，要付維護(hù)費(fèi)。在購(gòu)買新泵的第二年不考慮更換，因?yàn)楸谜＿\(yùn)行的情況下，經(jīng)過(guò)合理的維護(hù)，其運(yùn)行效率不會(huì)有明顯降低。［2］制定一個(gè) 12年的更新計(jì)劃（對(duì)于離心泵，其折舊年限為 12年［3］），使總支出費(fèi)用最少。

根據(jù)多年來(lái)該水泵的價(jià)格走勢(shì)，對(duì)未來(lái)的價(jià)格做出預(yù)測(cè)，以等差數(shù)列的形式表示購(gòu)買費(fèi)。每年基本折舊率按8.08 %計(jì)算，每年平均大修理費(fèi)按6 %計(jì)，凈殘值占原值按3 %計(jì)，［3］可得出水泵的維修費(fèi)與余值，見(jiàn)表1。

考慮到水泵更新的當(dāng)年舊水泵不一定能夠賣出，例如用了一年后的水泵如果沒(méi)有賣出，即實(shí)現(xiàn)不了4 596元的余值，但水泵仍可實(shí)現(xiàn)最終的殘值150元，所以采用余值的期望收益來(lái)表示。

一個(gè)決策變量的期望值，就是它在不同自然狀態(tài)下的損益值（或機(jī)會(huì)損益值）乘相對(duì)應(yīng)的發(fā)生概率之和，即式中， )(Eja表示變量aj的期望值，Vij表示變量aj在自然狀態(tài)θi下的損益值（或機(jī)會(huì)損益值），)(Piθ表示自然狀態(tài)的θi發(fā)生概率。［4］這里取余值變現(xiàn)的概率為0.9，余值未變現(xiàn)的概率為0.1，可得到各年份期望余值（見(jiàn)表1）。

圖1 路徑示意圖

該問(wèn)題的路徑見(jiàn)圖1，用點(diǎn)vi表示第i年年初購(gòu)進(jìn)水泵裝置，虛設(shè)一點(diǎn)v13，表示第12年年底。邊（vi，vj）表示第i年年初購(gòu)進(jìn)的水泵裝置使用到第j年年初，即第j－1年年底。

邊（vi，vj）上的權(quán)重表示第i年年初購(gòu)進(jìn)的水泵裝置，使用到第j年年初所需支付的購(gòu)買和維護(hù)的全部費(fèi)用（由表1計(jì)算得到）。例如（v1，v3）邊上的1 357是第一年初購(gòu)買費(fèi)5 000加上兩年的維修費(fèi)50、95，減去第2年水泵裝置的余值3 788；（v3，v6）邊上的1 961是第三年初購(gòu)買費(fèi)5 100加上3年維修費(fèi)50、95、140，減去水泵余值3 424。同理，可得各邊上的權(quán)重（見(jiàn)表2）。

表2 邊（vi，vj）上的權(quán)重lij （元）

運(yùn)用Dijkstra算法作如下計(jì)算：

（1）首先給v1以P標(biāo)號(hào)P（v1）＝0，給其余所有點(diǎn)T標(biāo)號(hào)，T（vi）＝+∞（i＝2，3，…13）。

（2）v1為剛得到P標(biāo)號(hào)的點(diǎn)，考慮點(diǎn)v1，有：T（v3）＝min［T（v3），P（v1）+l13］＝min［+∞，0＋1357］＝1357。

同理可得：T（v4）＝1 861；T（v5）＝2 409；T（v6）＝3 003；T（v7）＝3 642；T（v8）＝4 325；T（v9）＝5 054；T（v10）＝5 827；T（v11）＝6 646；T（v12）＝7 520；T（v13）＝8 450。

（3）比較所有T標(biāo)號(hào)，T（v3）最小，所以令P（v3）=1 357，并記錄路徑（v1，v3）。

依此類推，可得計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 最小路徑記錄表

綜上所述，從v1到v13的最短路為v1→v6→v13，路長(zhǎng)為7 578。所以決策者可以選擇的方案為：在第一年初和第六年年初購(gòu)進(jìn)新水泵，在其余年份進(jìn)行合理維護(hù)。此方案總支出費(fèi)用為7 578元。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)供水系統(tǒng)中水泵裝置的更新維護(hù)費(fèi)用問(wèn)題，主要做了以下工作：①建立了網(wǎng)絡(luò)理論中的最短路優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；②根據(jù)模型得出水泵裝置更新維護(hù)的經(jīng)濟(jì)費(fèi)用，并提供了最優(yōu)決策方案；③考慮到余值變現(xiàn)的不確定性，運(yùn)用概率的思想，采用期望余值的方法。通過(guò)以上的決策模擬過(guò)程，可以為供水系統(tǒng)中水泵裝置的更新維護(hù)提供更經(jīng)濟(jì)合理的方案，從而為供水系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行節(jié)約成本，提高其總效益。另外，文中實(shí)例的數(shù)學(xué)模型是在水泵正常運(yùn)轉(zhuǎn)的條件下建立的，對(duì)于事故水泵以及實(shí)際中余值變現(xiàn)的概率，決策者應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況作具體分析，從而實(shí)現(xiàn)在確保水泵裝置安全運(yùn)行的條件下更新維護(hù)費(fèi)用最低的目標(biāo)。

1 胡運(yùn)全主編.運(yùn)籌學(xué)教程（第2版）.北京：清華大學(xué)出版社，2003

2 趙玉香.水泵修復(fù)與涂護(hù)工藝的方法探討.中國(guó)農(nóng)村水利水電，2008.4：113～114

3 武漢水利電力大學(xué)主編.泵站技術(shù)管理規(guī)程（SL255－2000）.北京：中國(guó)水利水電出版社，2000

4 張所地著.管理決策論.北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，2005