肖晶晶,陸明泉

(清華大學(xué)電子工程系,北京100084)

GPS衛(wèi)星定位解算是根據(jù)偽距、偽距增量等測(cè)量值，計(jì)算接收機(jī)的位置P、速度V和時(shí)間T等信息的過(guò)程。目前GPS實(shí)時(shí)定位解算中最為常用的兩種方法為迭代最小二乘算法(ILS)和擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)。為了準(zhǔn)確計(jì)算接收機(jī)的三維位置以及時(shí)間未知數(shù)的值，解算過(guò)程需要至少4顆衛(wèi)星的測(cè)量信息。但是當(dāng)GPS信號(hào)出現(xiàn)遮擋時(shí)，接收機(jī)只能接收到3顆衛(wèi)星的測(cè)量信息，解算方程就不夠4個(gè)，ILS不再適用。參考文獻(xiàn)[1]引入EKF，利用隨著時(shí)間推移的多組數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)定位解算，但定位精度也很難滿(mǎn)足用戶(hù)的需求。

為了解決上述問(wèn)題，本文提出了一種改進(jìn)的EKF算法。利用在垂直地面方向上的位置變化緩慢這一運(yùn)動(dòng)特性，建立了改進(jìn)EKF算法的系統(tǒng)模型，并通過(guò)理論分析得到了濾波器參數(shù)，最后利用真實(shí)的衛(wèi)星數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。需要特別指出的是，由于本文提出的改進(jìn)EKF算法利用的是在垂直地面方向上的位置變化緩慢的特征，故而該算法的適用場(chǎng)合為車(chē)載等地面用戶(hù)的定位解算，不適合在垂直地面方向上高速運(yùn)動(dòng)的情形。

1 定位解算的系統(tǒng)模型

衛(wèi)星定位解算的系統(tǒng)模型包括狀態(tài)模型和觀測(cè)模型兩部分。令向量yt、xt分別表示系統(tǒng)模型的測(cè)量值和系統(tǒng)狀態(tài)參量:

式(1)中，系統(tǒng)的測(cè)量值yt包括偽距ρit和偽距增量ρ˙it；式(2)中，系統(tǒng)狀態(tài)參量xt包括接收機(jī)在地心地固(ECEF)坐標(biāo)系下的位置(Xt,Yt,Zt)和速度(X˙t,Y˙t,Z˙t)以及光速c乘以時(shí)偏δt和光速c乘以時(shí)漂δ˙t8個(gè)參量。其中i=1,2,…，n,表示第i顆衛(wèi)星(n為有效衛(wèi)星數(shù)量)，t為采樣時(shí)刻。

1.1 測(cè)量模型

系統(tǒng)的測(cè)量模型描述了系統(tǒng)測(cè)量值與系統(tǒng)狀態(tài)參量之間的關(guān)系。偽距與系統(tǒng)狀態(tài)參量的關(guān)系可表示為:

式(3)中(Xit,Yit,Zit)為ECEF坐標(biāo)系下的衛(wèi)星位置，vρit為偽距的測(cè)量噪聲。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，一般偽距測(cè)量噪聲vρit采用白噪聲表示，且各通道之間的vρit相互獨(dú)立。

偽距增量描述了衛(wèi)星與接收機(jī)的徑向速度，它與狀態(tài)參量的關(guān)系可表示為:

式(4)中(X˙it,Y˙it,Z˙it)為ECEF坐標(biāo)系下的衛(wèi)星速度，vρ˙itit為偽距增量的測(cè)量噪聲。

綜上所述，完整的測(cè)量方程為:

其中vt=[vρit,vρ˙it]T,i=1,2,…,n。在實(shí)際應(yīng)用中，考慮到偽距和偽距增量的測(cè)量誤差分別為米級(jí)、分米級(jí)，所以Vt的協(xié)方差矩陣R設(shè)為:

由于式(3)是非線性的，故而系統(tǒng)測(cè)量模型是非線性模型。擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)使用了低階Taylor級(jí)數(shù)逼近非線性系統(tǒng)，在定位解算模型中主要體現(xiàn)在測(cè)量方程被近似線性化，即式(5)被寫(xiě)為:

式(7)中，Ht=?h/?x表示偽距測(cè)量值ρit和偽距增量ρ˙it對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)參量xt的偏導(dǎo)數(shù)矩陣。一般計(jì)算Ht矩陣(Jacobian矩陣)需在每個(gè)采樣時(shí)刻得到一步預(yù)測(cè)值xt+1|t后重新計(jì)算，計(jì)算EKF算法公式中的Ht是對(duì)定位解算問(wèn)題線性化的關(guān)鍵步驟。

1.2 狀態(tài)模型

系統(tǒng)的狀態(tài)模型描述了系統(tǒng)狀態(tài)參量的時(shí)間更新過(guò)程。由參考文獻(xiàn)[3-4]可知，更新過(guò)程的表達(dá)式為:

式(8)中的系數(shù)矩陣A、B為:

式(9)中的T為采樣時(shí)間間隔。

式(8)中的wt表示系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的噪聲模型:

由參考文獻(xiàn)[4]可以得到(wδ1,wδ2)的協(xié)方差矩陣為:

式(12)中，

式(13)中的參數(shù)為:h0=9.4×10-20,h-1=1.8×10-19,h-2=3.8×10-21

綜上所述，系統(tǒng)的狀態(tài)模型的一步轉(zhuǎn)移噪聲wt協(xié)方差矩陣為:

2 改進(jìn)的EKF

根據(jù)第1節(jié)中建立的系統(tǒng)模型，系統(tǒng)測(cè)量值yt為2參數(shù)，系統(tǒng)狀態(tài)參量xt為8參數(shù)，為了得到準(zhǔn)確解，故而需要至少4顆有效衛(wèi)星的測(cè)量值。為了能夠滿(mǎn)足用戶(hù)需求的定位精度，本文提出利用一般車(chē)輛行人等用戶(hù)在垂直地面方向上的位置變化緩慢這一運(yùn)動(dòng)特性，增加如下方程:

式(15)中，Dt表示接收機(jī)在NED(以用戶(hù)為中心，三個(gè)坐標(biāo)軸N、E和D分別指向北、東和下)坐標(biāo)系下D軸方向上的位置，D˙t表示在D軸上的速度，Dt+1|t、D˙t+1|t分別表示Dt和D˙t的一步預(yù)測(cè)值。對(duì)于在垂直地面方向上位置變化緩慢的用戶(hù)，該方程均成立。

利用式(15)，本文改進(jìn)了擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)的時(shí)間更新過(guò)程。下面分兩部分進(jìn)行說(shuō)明。

令用戶(hù)在NED坐標(biāo)下的八狀態(tài)參量為:

式(17)中，R1為從用戶(hù)在ECEF坐標(biāo)系下的狀態(tài)參量xt到用戶(hù)在NED坐標(biāo)系下的狀態(tài)參量mt的轉(zhuǎn)換矩陣，利用坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的原理可以求得[2]。A2為用戶(hù)在NED坐標(biāo)系下的狀態(tài)參量mt的一步轉(zhuǎn)移矩陣。它們的表達(dá)式如下:

根據(jù)參考文獻(xiàn)[2]可知，式(18)中，

式(20)中λ為用戶(hù)的經(jīng)度，φ為用戶(hù)的緯度。

易知R1為單位正交陣,故而用戶(hù)從NED坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到ECEF坐標(biāo)系時(shí)，轉(zhuǎn)換矩陣即為R1T。

為了與普通的EKF進(jìn)行對(duì)比,改進(jìn)EKF使用的狀態(tài)參量x?t的自協(xié)方差矩陣Pt和系統(tǒng)的噪聲協(xié)方差矩陣Qt仍為在ECEF坐標(biāo)系下的初始值。那么狀態(tài)參量的協(xié)方差矩陣Pt的時(shí)間更新過(guò)程如下:

式(21)中的系數(shù)矩陣為:

綜上所述，并結(jié)合參考文獻(xiàn)[5]，得到改進(jìn)的EKF算法的計(jì)算過(guò)程如下:

(1)初始化:

(2)時(shí)間更新:

(3)測(cè)量更新:

根據(jù)理論分析可以得出，改進(jìn)的EKF相對(duì)于普通的EKF來(lái)說(shuō)，增加了一項(xiàng)先驗(yàn)信息，故而使得只有3顆有效衛(wèi)星時(shí)的定位解算有了4個(gè)解算方程，因此可以相對(duì)準(zhǔn)確地解算出4個(gè)未知數(shù)的值；而在有效衛(wèi)星數(shù)不少于4顆時(shí)，增加的方程(15)仍然滿(mǎn)足，故而也不會(huì)影響定位精度。

3 算法仿真和分析

在本文的算法驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中，使用了Leika GPS1200測(cè)量型接收機(jī)在車(chē)載動(dòng)態(tài)下采集的GPS信號(hào)的偽距和偽距增量的測(cè)量值，其中偽距測(cè)量值經(jīng)過(guò)偽距增量測(cè)量值的平滑。算法的驗(yàn)證是在PC機(jī)上使用Matlab完成的。

在算法驗(yàn)證中，設(shè)置采樣時(shí)間間隔為T(mén)=1 s。接收機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為從靜止?fàn)顟B(tài)變化到在地面上高速運(yùn)動(dòng)最后又逐步靜止。測(cè)試數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為2 500 s。參考軌跡是接收機(jī)使用動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)差分(RTK)方法測(cè)定的，方差精確至毫米級(jí)。分別在有效衛(wèi)星不少于4顆和只有3顆的情況下，比較了幾種定位解算算法的定位結(jié)果。

3.1 有效衛(wèi)星數(shù)不少于4顆時(shí)的定位結(jié)果

以有效衛(wèi)星數(shù)為4顆為例，分別使用ILS、EKF和改進(jìn)的EKF算法進(jìn)行定位，得到以ECEF坐標(biāo)系下XYZ三維坐標(biāo)表示的定位結(jié)果，如圖1所示。

由圖1可知，接收機(jī)在前400 s時(shí)基本保持靜止，然后開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至1 600 s，最后逐步靜止至測(cè)試結(jié)束。三種解算方法都可以較好地進(jìn)行定位解算。為了更好地分析定位結(jié)果，畫(huà)出圖1中的XYZ三維坐標(biāo)上的定位誤差的均方根，如圖2所示。

為了更好地比較ILS、普通EKF與改進(jìn)EKF算法，計(jì)算圖2中三種算法在XYZ三個(gè)坐標(biāo)方向上的定位結(jié)果的均方根誤差的平均值，如表1所示。

表1 三種定位結(jié)果的誤差均方根的平均值比較

從圖2和表1可以更清晰地看出，在有效衛(wèi)星不少于4顆時(shí)，三種算法在以ECEF坐標(biāo)系表示的XYZ方向上的定位誤差的均方根均不超過(guò)20 m，平均定位誤差不超過(guò)10 m，定位解算精度都很好。其中改進(jìn)的EKF與普通EKF定位精度相當(dāng)，而ILS的定位均方根誤差抖動(dòng)很小。這是因?yàn)?，每?dāng)有新的測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，ILS算法都會(huì)經(jīng)過(guò)多次迭代計(jì)算直至結(jié)果收斂，而EKF與改進(jìn)的EKF算法均只是利用新息進(jìn)行一次計(jì)算，計(jì)算量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于ILS，故而定位結(jié)果會(huì)稍有抖動(dòng)。

3.2 有效衛(wèi)星數(shù)只有3顆時(shí)的定位結(jié)果

在有效衛(wèi)星數(shù)只有3顆時(shí)，ILS無(wú)法進(jìn)行定位。分別使用普通EKF和改進(jìn)的EKF算法進(jìn)行定位，得到在ECEF坐標(biāo)系下的XYZ三維坐標(biāo)上的定位結(jié)果,如圖3所示。

為了更好地分析定位結(jié)果，畫(huà)出圖3中的XYZ三維坐標(biāo)上的定位誤差的均方根，如圖4所示。

為了更好地比較普通EKF算法與改進(jìn)EKF算法，計(jì)算圖3中兩種算法XYZ三維坐標(biāo)上的定位結(jié)果的均方根誤差的平均值，如表2所示。

表2 EKF與改進(jìn)EKF的定位結(jié)果的均方根誤差的平均值比較

由圖3、圖4和表2可知，在只有3顆有效衛(wèi)星的情況下，普通EKF的定位結(jié)果會(huì)出現(xiàn)明顯的偏移，而本文提出的改進(jìn)的EKF算法的定位結(jié)果與參考軌跡擬合得很好，各個(gè)方向上的平均定位誤差均不超過(guò)10 m，定位精度很好。這說(shuō)明本文提出的改進(jìn)EKF算法在只有3顆有效衛(wèi)星時(shí)，極大地提高了EKF的定位精度。與理論結(jié)果吻合。

3.3 有效衛(wèi)星為3顆時(shí)改進(jìn)EKF與有效衛(wèi)星為4顆時(shí)普通EKF的定位結(jié)果

為了進(jìn)一步分析改進(jìn)EKF算法的性能，將改進(jìn)EKF算法在只有3顆有效衛(wèi)星時(shí)的定位誤差與普通EKF算法在有4顆有效衛(wèi)星時(shí)的定位誤差進(jìn)行比較，如圖5所示。

計(jì)算圖5中的兩種情況下XYZ三維坐標(biāo)上的平均誤差的均方根，如表3所示。

由圖5和表3可知，在只有3顆有效衛(wèi)星時(shí)，本文提出的改進(jìn)EKF算法所增加的先驗(yàn)信息與增加一顆衛(wèi)星的測(cè)量信息的效果基本一致。故而說(shuō)明在出現(xiàn)GPS信號(hào)阻塞的情況下，只有3顆有效衛(wèi)星時(shí)，此改進(jìn)EKF算法的定位解算精度非常好。

表3 4星時(shí)普通EKF和3星時(shí)改進(jìn)EKF的定位的平均誤差均方根比較

綜上所述，利用實(shí)測(cè)的衛(wèi)星數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明:在3顆有效衛(wèi)星的情況下，在靜止?fàn)顟B(tài)和車(chē)載狀態(tài)下，改進(jìn)的EKF算法的定位精度均明顯優(yōu)于普通的EKF，且與4顆有效衛(wèi)星時(shí)EKF的定位精度相當(dāng)；在不少于4顆有效衛(wèi)星的情況下，在靜止?fàn)顟B(tài)和車(chē)載狀態(tài)下，改進(jìn)EKF算法的定位精度與普通EKF相當(dāng)。由此說(shuō)明，本文提出增加的先驗(yàn)信息在已有足夠測(cè)量信息時(shí)，并不會(huì)影響定位精度，而只有在3顆有效衛(wèi)星時(shí)，測(cè)量信息對(duì)于定位精度的改進(jìn)與一顆有效衛(wèi)星的測(cè)量信息效果基本一致，從而大大提高了EKF算法的魯棒性。

本文在GPS信號(hào)出現(xiàn)阻塞，有效衛(wèi)星數(shù)降為只有3顆時(shí)，改進(jìn)EKF算法以提高GPS定位解算精度，并使用真實(shí)衛(wèi)星數(shù)據(jù)對(duì)改進(jìn)的EKF算法進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在有效衛(wèi)星不少于4顆時(shí)，本文提出的改進(jìn)EKF的定位精度與EKF相當(dāng)。在GPS信號(hào)阻塞，有效衛(wèi)星數(shù)只有3顆時(shí)，改進(jìn)EKF的定位精度明顯優(yōu)于普通EKF，且與4顆有效衛(wèi)星時(shí)EKF的定位精度相當(dāng)。受本文算法改進(jìn)中所引入的先驗(yàn)信息的限制，本文提出的改進(jìn)EKF算法適合車(chē)載等地面運(yùn)用，不適合在垂直地面方向上高速運(yùn)動(dòng)的情形。

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