伍良生 周 亮 肖毅川

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程及應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京100124)

高速電主軸作為高速機(jī)床的核心部件日益向高速度、高剛度的方向發(fā)展，要使高速機(jī)床安全可靠地工作，保證所加工零件的高精度，高速電主軸必須具有良好的動(dòng)態(tài)特性。因此，必須對(duì)它進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究。有限元?jiǎng)恿W(xué)分析是一種先進(jìn)的新方法，具有其他方法無(wú)法比擬的優(yōu)點(diǎn)，如節(jié)省投資、縮短產(chǎn)品開(kāi)發(fā)周期等。高速電主軸的有限元?jiǎng)恿W(xué)分析包括兩個(gè)方面，固有振動(dòng)特性分析和諧響應(yīng)特性分析。

本文是通過(guò)分析無(wú)阻尼的自由振動(dòng)，得到振動(dòng)系統(tǒng)的固有特性，即固有頻率和振型及振動(dòng)應(yīng)力。而諧響應(yīng)特性分析是用于確定結(jié)構(gòu)在承受隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的載荷的穩(wěn)定響應(yīng)，目的是計(jì)算出結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并得到響應(yīng)位移和響應(yīng)應(yīng)力。

下面以GDH512高速電主軸為例，進(jìn)行相關(guān)的有限元?jiǎng)恿W(xué)分析。

1 主軸部件的動(dòng)力學(xué)模型

1.1主軸部件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

為了對(duì)電主軸進(jìn)行相關(guān)的動(dòng)態(tài)特性分析，有必要先了解清楚GDH512高速電主軸的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以便在分析過(guò)程中，構(gòu)建合理的有限元分析模型。如圖1所示是GDH512高速加工用的電主軸三維圖。其中，前支撐是3套角接觸球軸承背對(duì)背配置，后支撐是雙列圓柱滾子軸承。為了保證加工的精度和穩(wěn)定性，前軸承是固定的，承受徑向載荷和雙向軸向載荷;為了補(bǔ)償加工中軸向熱變形，后軸承在軸向可以有微量位移。前后軸承均采用定位式預(yù)緊。電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子用壓配合方法安裝在主軸上，處于前后軸承之間。電動(dòng)機(jī)定子通過(guò)冷卻套安裝在電主軸的殼體中。主軸內(nèi)部安裝OTT公司生產(chǎn)的HSK拉刀機(jī)構(gòu)。主軸后部安裝有測(cè)速傳感器。主軸軸承采用油-氣潤(rùn)滑系統(tǒng)進(jìn)行冷卻和潤(rùn)滑。電動(dòng)機(jī)采用油-水熱交換系統(tǒng)進(jìn)行冷卻。

1.2 主軸彈性支承模型的構(gòu)建

將每組軸承簡(jiǎn)化為四個(gè)周向均布的壓縮彈簧，見(jiàn)圖2。

每個(gè)彈簧都用一個(gè)彈簧-阻尼單元Combin14來(lái)模擬。彈簧單元Combin 14可應(yīng)用于一維、二維或者三維空間在縱向或者扭轉(zhuǎn)的彈性-阻尼效果。如圖3所示，x、y、z表示單元坐標(biāo)，I，J表示單元的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，k表示彈簧剛度，Cv表示彈簧阻尼。因此，這兩個(gè)參數(shù)就是該彈簧單元的輸入?yún)?shù)。

為了限制主軸的軸向移動(dòng)，在與彈簧相聯(lián)接的4個(gè)主軸上的節(jié)點(diǎn)加上軸向約束，在彈簧的另外一端為完全固接，每個(gè)彈簧的剛度為相應(yīng)軸承徑向剛度的一半。由于主軸是由四個(gè)角接觸的陶瓷球軸承來(lái)支承，所以要考慮軸承的彈性對(duì)主軸固有振動(dòng)特性的影響［1］。因此，有必要將軸承的彈性影響引入到支承的兩個(gè)軸承上。并作以下假設(shè):

(1)外圈固定，內(nèi)圈在負(fù)荷的作用下產(chǎn)生位移;且滾動(dòng)體的陀螺力矩作用在滾動(dòng)軸線上，不影響接觸變形。

(2)內(nèi)外圈分別安裝在高剛性的軸和軸承座上，忽略套圈的彎曲變形，在變形協(xié)調(diào)條件中僅考慮接觸處的彈性變形。

(3)忽略軸承內(nèi)的摩擦。因?yàn)榕c套圈作用在滾動(dòng)體上的負(fù)荷相比，摩擦力很小。

已知軸向預(yù)緊力為Fa的前提下，后軸承預(yù)緊后的徑向剛度Kr按如下公式進(jìn)行計(jì)算［2］:

前軸承剛度

式中:Kr為軸承徑向剛度，N/m;z為滾動(dòng)體數(shù)目;DW為滾動(dòng)體直徑，mm;接觸角，(°);Fa為軸向預(yù)緊力，N;km為材料系數(shù)，取km=1.3。

由于角接觸球軸承徑向剛度在承受軸向載荷時(shí)表現(xiàn)的非線性，針對(duì)施加不同軸向預(yù)緊力的情況作了若干組關(guān)于靜態(tài)剛度的分析，結(jié)果如圖4所示。

1.3 主軸三維模型的理論構(gòu)建

根據(jù)電主軸的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在ANSYS分析平臺(tái)中，對(duì)電主軸選用SOLID45單元進(jìn)行離散分網(wǎng)。此單元是分析彈性結(jié)構(gòu)空間問(wèn)題中應(yīng)用較廣的一種元素。由于采用了八節(jié)點(diǎn)的單元，那就能利用更復(fù)雜的形狀函數(shù)，并因而達(dá)到結(jié)構(gòu)對(duì)實(shí)際變形的一個(gè)更高程度的表達(dá)，計(jì)算精度較高。而且，SOLID45單元是三維8節(jié)點(diǎn)等參單元。所謂三維8節(jié)點(diǎn)等參單元是指8個(gè)節(jié)點(diǎn)的六面體的等參基本單元，如圖5所示。并且，它映射成8節(jié)點(diǎn)的等參實(shí)際單元。

數(shù)控銑床主軸材料采用20CrMnTi鋼，材料彈性模E=210 GPa，密度 ρ=7820 kg/m3，泊松比 μ =0.3。采用SOLID45單元，軸承用COMBIN14單元來(lái)模擬。劃分網(wǎng)格過(guò)程中，由于是軸對(duì)稱(chēng)，所以先在軸的剖面圖上細(xì)化網(wǎng)格，然后用Extrude延伸生成三維網(wǎng)格。這樣使得網(wǎng)格劃分有規(guī)律，而且單元數(shù)量少，分析準(zhǔn)確。由以上分析忽略軸承的軸向剛度在ANSYS中建立有限元模型如圖6。

1.4 模態(tài)分析

研究機(jī)床主軸部件的動(dòng)態(tài)性能，首先要建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程。多自由度的動(dòng)力學(xué)微分方程可以應(yīng)用牛頓第二定律等來(lái)建立。根據(jù)達(dá)朗伯原理，只要引入相應(yīng)的慣性力，就可以將彈性體轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的靜力問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化為彈性體的平衡問(wèn)題來(lái)求解。即有［3］:

式中:［M］為總質(zhì)量矩陣;［MT］為平動(dòng)自由度質(zhì)量矩陣;［MR］為轉(zhuǎn)動(dòng)自由度質(zhì)量矩陣;［K］為剛度矩陣;［KS］為軸體剛度矩陣;［Kb］為軸承剛度矩陣;［C］為阻尼矩陣;［J］為回轉(zhuǎn)矩陣;{x(t)}為節(jié)點(diǎn)位移列向量;{F(t)}為激振力向量。

上式是研究電主軸動(dòng)態(tài)特性的一般公式?？梢钥闯觯绊懼鬏S動(dòng)力學(xué)特性的因素有阻尼效應(yīng)［C］、陀螺效應(yīng)、離心力效應(yīng)以及載荷的性質(zhì)。

模態(tài)分析是指通過(guò)研究無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)，得到振動(dòng)系統(tǒng)的自然屬性，即固有頻率和振型。阻尼的存在，使電主軸在振動(dòng)的過(guò)程中振幅不斷衰減，并產(chǎn)生一個(gè)滯后的幅角，然而它對(duì)固有頻率的影響不大。對(duì)于支撐為滾動(dòng)球軸承的時(shí)候，可以忽略阻尼對(duì)固有頻率的影響。無(wú)阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)方程為

由式(3)得:

其中:{A}為系統(tǒng)振幅矩陣;ω0為系統(tǒng)固有頻率。

如{A}有非零解，則有:

求解式(6)的廣義特征值和特征向量，即可得到主軸部件的固有頻率和振型。

對(duì)電主軸進(jìn)行模態(tài)分析的任務(wù)是確定其固有頻率和相應(yīng)的振型。有限元軟件 ANSYS提供了 Block Lanczos法、子空間法、PowerDynamics法、縮減法、不對(duì)稱(chēng)法、阻尼法和QR阻尼法。使用何種模態(tài)提取方法主要取決于模型大小和具體的應(yīng)用場(chǎng)合。本文不考慮電主軸的高速效應(yīng)和軸承剛度的非線性，使用Block Lanczos法進(jìn)行固有頻率的提取。計(jì)算出主軸的前四階固有頻率和振型如表1和圖7。

1.5 軸承預(yù)緊力對(duì)主軸固有頻率的影響

根據(jù)文獻(xiàn)［4］可知道，隨著預(yù)緊力的增加，前后軸承的徑向剛度均有不同程度的增大。首先，取后軸承預(yù)緊力為200 N不變，改變前軸承的預(yù)緊力，觀察主軸固有頻率的變化。因此，如圖8所示的，是主軸一階固有頻率隨前軸承預(yù)緊力的變化而變化的情況。

表1 電主軸固有頻率

再取前軸承預(yù)緊力為300 N不變，改變后軸承的預(yù)緊力，觀察主軸固有頻率的變化。因此，如圖8所示的，是主軸一階固有頻率隨后軸承預(yù)緊力的變化而變化的情況。

2 高速電主軸的諧響應(yīng)特性分析

諧響應(yīng)分析必須在完成模態(tài)分析之后進(jìn)行。因此，利用ANSYS分析軟件進(jìn)行諧響應(yīng)分析。建模過(guò)程與之前介紹的模態(tài)分析的是一樣的。而激振力的大小采用的徑向力F=300 N，加載在主軸的前端上部。

為了分析共振區(qū)首先研究一階固有振動(dòng)頻率183 Hz附近的響應(yīng)特性。取激振力的頻率范圍為100～220 Hz，載荷子步為20，得出主軸中部點(diǎn)響應(yīng)位移對(duì)頻率的曲線圖，如圖9所示。

當(dāng)激振力的頻率從160 Hz增加到185 Hz時(shí)，主軸中部的徑向響應(yīng)位移急劇增加，主軸的動(dòng)剛度顯著下降;當(dāng)激振力的頻率再增加到220 Hz左右時(shí)，主軸前端的徑向響應(yīng)位移急劇下降，主軸的動(dòng)剛度回升;另外，在160 Hz頻率以下主軸前端的動(dòng)態(tài)位移量都很小，表明主軸在這頻率段具有良好的動(dòng)剛度。

由此可進(jìn)一步確定，共振區(qū)出現(xiàn)在頻率為185 Hz附近，即一階固有頻率附近。而本文所介紹的GDH 512高速電主軸的最高工作轉(zhuǎn)速為5000 r/min，也就是工作頻率最高為83 Hz，因此，能有效避開(kāi)共振區(qū)。

3 電主軸動(dòng)態(tài)特性試驗(yàn)

(1)主要試驗(yàn)裝置 JZK-10激振器一個(gè);YE5872A功率放大器一個(gè)(200 W);CL-YD-331阻抗頭一個(gè)(力+加速度);YE5852B電荷放大器一個(gè);數(shù)據(jù)采集系統(tǒng);SKJZCP-1軟件系統(tǒng)。

(2)試驗(yàn)條件及方法 在靜態(tài)下，在主軸前端激振和拾振，主軸前端動(dòng)剛度，由實(shí)測(cè)頻響函數(shù)識(shí)別固有頻率和阻尼比;由實(shí)測(cè)主軸前端動(dòng)柔度曲線識(shí)別主軸前端靜、動(dòng)剛度。

實(shí)測(cè)電主軸軸(徑)向前端動(dòng)柔度曲線具體操作:①將電主軸調(diào)整至C軸模式;②將阻抗頭緊固安裝在電主軸前端軸心(徑向?qū)⒆杩诡^垂直軸心線緊固安裝)，然后用激振桿將激振器與阻抗頭緊固連接(如圖10所示);③連接激振器與功率放大器;④將阻抗頭的力和加速度信號(hào)分別接入電荷放大器，調(diào)整電荷放大器增益;⑤將數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)輸出端AO0接至功率放大器，分別將電荷放大器輸出的力和加速度信號(hào)接入數(shù)據(jù)采集系統(tǒng);⑥打開(kāi)SKJZCP-1軟件系統(tǒng)，調(diào)整功放增益，開(kāi)始激振實(shí)驗(yàn)，測(cè)試并顯示存儲(chǔ)處理結(jié)果。

(3)測(cè)試數(shù)據(jù)處理與記錄 電主軸徑向?qū)崪y(cè)頻響函數(shù)如圖11所示。根據(jù)其實(shí)測(cè)頻響函數(shù)曲線，峰值點(diǎn)可確定固有頻率及動(dòng)剛度，在峰值點(diǎn)附近由半功率帶寬法可確定阻尼比，按實(shí)測(cè)頻響函數(shù)的構(gòu)成可分離出靜剛度。結(jié)果如表2。

表2 動(dòng)靜態(tài)特性測(cè)量輸出參數(shù)表

試驗(yàn)數(shù)據(jù)與ANSYS建模得出的數(shù)據(jù)相差不到5%，所以建?？尚?，可以用于進(jìn)一步的計(jì)算研究。

4 結(jié)語(yǔ)

本文采用有限元分析方法，并運(yùn)用ANSYS軟件對(duì)GDH512高速電主軸進(jìn)行了動(dòng)態(tài)特性分析，結(jié)果表明:

(1)主軸的工作頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于其固有頻率。因此，工作轉(zhuǎn)速不會(huì)達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速，主軸可以安全工作。

(2)前后軸承的剛度對(duì)主軸的固有頻率均有影響，其中，后軸承的影響較為顯著。

(3)主軸的一階固有振動(dòng)頻率是183 Hz，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于工作頻率。因此，主軸在工作范圍內(nèi)不會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象。

(4)當(dāng)工作頻率達(dá)到 259 Hz，388 Hz，460 Hz 時(shí)，就會(huì)發(fā)生共振，而且主軸中部的振幅最大，是危險(xiǎn)點(diǎn)，容易產(chǎn)生裂紋缺陷。

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