蘭天，邱天爽，楊嬌

（大連理工大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

1 引言

現(xiàn)代移動(dòng)通信和集成傳輸系統(tǒng)的迅速發(fā)展，使電磁波的傳輸環(huán)境變得越來越復(fù)雜，并且對(duì)高分辨波達(dá)方向估計(jì)和減少干擾波影響的技術(shù)要求也越來越高[1]。在這些技術(shù)中，cyclic-MUSIC[2]（循環(huán)MUSIC）和 cyclic-ESPRIT[2]（循環(huán) ESPRIT）2類算法可以利用到達(dá)波的循環(huán)平穩(wěn)性[3,4]有選擇性地估計(jì)波達(dá)方向，且估計(jì)精度也很高，因而受到廣泛重視。與cyclic-MUSIC算法相比較，cyclic- ESPRIT算法無需譜峰搜索因而運(yùn)算量少,且具有穩(wěn)健性等優(yōu)點(diǎn)，更適合在工程上的應(yīng)用。在cyclic- ESPRIT類算法中，TLS-cyclic-ESPRIT（總體最小二乘循環(huán)ESPRIT）算法性能更好，因?yàn)榇怂惴梢园岩粋€(gè)較大維數(shù)病態(tài)廣義特征問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較小維數(shù)的無病態(tài)廣義特征問題[5]。

但是當(dāng)實(shí)際環(huán)境中存在脈沖噪聲時(shí)，cyclic-ESPRIT類算法的性能會(huì)明顯退化甚至失效，這是因?yàn)槊}沖噪聲可能不存在有限的二階統(tǒng)計(jì)量[6]。文獻(xiàn)[7,8]表明，現(xiàn)實(shí)環(huán)境中的確存在著大量脈沖噪聲，例如環(huán)境噪聲、雷達(dá)雜波以及水下聲波信號(hào)、人造信號(hào)等，這些脈沖性噪聲難以用高斯模型描述，而往往采用具有厚拖尾的α穩(wěn)定分布[7]過程來描述。根據(jù)脈沖性噪聲的特性和 cyclic-ESPRIT算法存在的問題，本文提出了分?jǐn)?shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣的概念，并在此基礎(chǔ)上，提出了分?jǐn)?shù)低階總體最小二乘（TLS）循環(huán)ESPRIT算法的2種新形式。新算法保留了 cyclic-ESPRIT類算法的優(yōu)良性能，并對(duì)脈沖噪聲有較強(qiáng)的抑制作用，其性能顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的cyclic-ESPRIT算法。

2 信號(hào)噪聲模型

如圖1所示，設(shè)陣元數(shù)為M的天線陣列為線性均勻陣列[9]，各相鄰陣元間的距離為 d ≤λ0/2，其中 ， λ0=2πc/ω0,ω0為 信 號(hào) 的 中 心 頻 率 。為l個(gè)入射信號(hào)，假定s1( n), s2( n),… ,sKa(n)為指定的循環(huán)頻率的循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)，且為非相干源。其他 l - Ka個(gè)信號(hào)為非指定循環(huán)頻率的信號(hào)；入射角分別為 θ1, θ2,… ,θl。第i個(gè)信號(hào)到達(dá)各個(gè)陣元的相位差所組成的向量為：第k個(gè)陣元上的接收信號(hào)為

圖1 陣列模型

2.1 ESPRIT算法形式1的信號(hào)噪聲模型

x (n)=A1S (n)+ v( n)，y (n )=A1ΦS (n)+v (n+1)其中， A1為此算法的天線陣列的方向矩陣，將其寫成Vandermonde矩陣形式，有：為天線陣列接收到的噪聲矢量，假定各個(gè)陣元接收噪聲均服從α穩(wěn)定分布，且與信號(hào)循環(huán)互不相關(guān)。

2.2 ESPRIT算法形式2的信號(hào)噪聲模型

把M個(gè)陣元組成線陣分為2個(gè)子陣，其中子陣列1由第1個(gè)至第 1M- 個(gè)陣列組成，子陣2由第2個(gè)至第M個(gè)陣元組成。由式（1）得整個(gè)陣列輸出為

則：

其中，A =[a(θ1) , a(θ2), … ,a(θl)]為天線陣列的方向矩陣，φ是一酉矩陣，所以 X1和 X2具有相同的信號(hào)子空間和噪聲子空間。 Ρ(n)= [v1(n), v2( n ) ,… ,vM(n) ]為天線陣列接收到的噪聲矢量，假定各個(gè)陣元接收噪聲均服從α穩(wěn)定分布，且與信號(hào)循環(huán)互不相關(guān)。

2.3 α穩(wěn)定分布的概念

α穩(wěn)定分布是唯一一類滿足廣義中心極限定理的分布[6,7]。與高斯分布相比，α穩(wěn)定分布具有更厚的統(tǒng)計(jì)拖尾，因此其時(shí)域?qū)崿F(xiàn)具有顯著的脈沖特性。α穩(wěn)定分布并沒有閉合的表達(dá)式，但可以用它的特征函數(shù)來方便地表示α穩(wěn)定分布。

式中，

其中， - ∞＜a＜∞,γ＞ 0,0 ＜α≤2,-1 ≤ β≤1。

由上式可見，α穩(wěn)定分布的特征函數(shù)由α、β、γ、a 4個(gè)參數(shù)即可確定。α為特征指數(shù)，它決定該分布脈沖特性的程度。α越小，所對(duì)應(yīng)的分布拖尾越厚，脈沖特性越顯著。β為對(duì)稱參數(shù)，0β=對(duì)應(yīng)于對(duì)稱分布，簡(jiǎn)稱SαS分布。γ為分散系數(shù)，類似于高斯分布中的方差。a稱為位置參數(shù)，對(duì)于SαS分布，a表示中值或均值。當(dāng)2α=時(shí)，其特征函數(shù)與均值為a，方差為22σ的高斯分布相同，即高斯分布是α穩(wěn)定分布的一個(gè)特例。定義02α＜＜的非高斯穩(wěn)定分布為分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布。

3 分?jǐn)?shù)低階循環(huán)ESPRIT算法

經(jīng)典的循環(huán)ESPRIT類算法通常是把加性噪聲假設(shè)為高斯噪聲，利用陣列輸出信號(hào)的二階循環(huán)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行波達(dá)方向（DOA) 估計(jì)。但是如果信號(hào)模型與實(shí)際的信號(hào)環(huán)境不匹配，則會(huì)使算法的估計(jì)性能下降，甚至失效。即當(dāng)信號(hào)被高斯噪聲污染時(shí)，基于二階循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的算法可以很好地抑制相關(guān)噪聲和干擾，提取有用信號(hào)的信息。但是，當(dāng)信道中存在沒有二階統(tǒng)計(jì)量的 alpha穩(wěn)定分布的脈沖噪聲時(shí)，經(jīng)典的循環(huán)ESPRIT類算法是不能有效濾除或抑制這種噪聲的。因此，本文提出了分?jǐn)?shù)低階循環(huán)ESPRIT算法。

3.1 分?jǐn)?shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣

針對(duì)分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布條件下，二階統(tǒng)計(jì)量的循環(huán)ESPRIT算法存在退化問題，本文提出了一種新的估計(jì)矩陣——分?jǐn)?shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣為

本文提出的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)ESPRIT算法，分為2種形式：分?jǐn)?shù)低階總體最小二乘循環(huán)ESPRIT算法形式 1和算法形式 2(分別簡(jiǎn)稱為 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1 和 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2)。

3.2 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1

根據(jù) x(n)和 y (n)的定義，由式（5）得出(M-1)×( M- 1)維分?jǐn)?shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣為由式（6）得到的第i行、第j列元素為

把式(1)代入式(7)得

[10]的證明，可寫成

其中：當(dāng) m = 1和 m ＞Ka時(shí)，ζm(j+1)= 0 ;當(dāng)1 ＜m≤ Ka時(shí)，

其中，(1)mjδ+為克羅內(nèi)克爾符號(hào)。因?yàn)橹挥衋K個(gè)信號(hào)為指定循環(huán)頻率的循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)，其他非指定循環(huán)頻率的信號(hào)都為零。由于噪聲不存在非零的循環(huán)頻率，因此η為零。

其中，Λ1的第i行、第j列元素為ζij，i, j = 1,2,…,l 。同理可求得

可以看出式（10）和式（11）與二階循環(huán)相關(guān)矩陣[2]表達(dá)式類似，之后按照循環(huán) ESPRIT的方法估計(jì)波達(dá)方向。，因?yàn)榫仃嘇1滿列秩， Λ1非奇異[1]，所以矩陣和I - λΦH的廣義特征值完全相等。其中，λ為的廣義特征值。為了使做廣義特征值的矩陣束的維數(shù)減小，提高估計(jì)精度，本文使用TLS方法，對(duì)做截尾奇異值分解，得到。求矩陣束的廣義特征值分解，得到單位圓上的個(gè)廣義特征值，由確定波達(dá)方向。

3.3 FLOM-TLS-Cyclic-ESPRIT2

根據(jù) x ( n)和 y ( n)的定義，由式（5）得出(M - 1 )×(M - 1 )維分?jǐn)?shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣為由式（6）得到的第i行、第j列元素為

與3.2節(jié)中推理步驟相同，可以得到

其中，Λ的第i行、第 j列為：

①當(dāng)1 ≤ i≤ Ka時(shí)，

②當(dāng)Ka＜i≤l時(shí)，ξij=0，i, j = 1 ,2,… ,l 。

4 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文采用廣義信噪比（GSNR, generalized signal-noise-ratio）為 1 0lg(γ)來描述SαS過程的信噪比[7]。其中 γ ( γ ＞ 0 )表示SαS噪聲的分散系數(shù)，表示信號(hào)功率。實(shí)驗(yàn)采用8陣元均勻線陣，陣元距為半個(gè)波長(zhǎng)。入射源為2個(gè)BPSK信號(hào)，其中，目標(biāo)信號(hào)的入射角為30°，載頻為100MHz；干擾信號(hào)為入射角為60°，載頻為30MHz。這里的均方根誤差定義為輻射源的波達(dá)方向估計(jì)的樣本均方根誤差。即， ?()n為第n次實(shí)驗(yàn)的估計(jì)值，N為實(shí)驗(yàn)總次數(shù)。

實(shí)驗(yàn)1 G SNR= 1 5dB ,循環(huán)頻率取200MHz，p從0.5取到2，每個(gè)p值仿真200次，取均方根誤差。

由圖2(a)可以得出，當(dāng) p = 1 .3時(shí)，此算法DOA估計(jì)誤差最小。由圖2(b)可以得出，當(dāng) p = 1 .4時(shí)，此算法DOA估計(jì)誤差最小。當(dāng) p = 2 時(shí)，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法退化為TLS-cyclic-ESPRIT類算法，估計(jì)誤差較大。在使用本文提出的新算法時(shí)，首先找到在給出的脈沖環(huán)境中最優(yōu)的p值，之后再按照這個(gè)p值進(jìn)行新算法的角度估計(jì)。

圖2 p取不同值時(shí)，對(duì)FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法的影響

實(shí)驗(yàn)2 G SNR=15dB、α=1.5的SαS噪聲環(huán)境下 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法與 TLS-cyclic-ESPRIT算法的比較。參照實(shí)驗(yàn)1，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法的p取1.3, FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法的p取1.4。仿真分別獨(dú)立進(jìn)行了2 000次。

從表1和表2中可以得到，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法的性能明顯好于 TLS-cyclic-ESRPIT類算法。在α穩(wěn)定分布噪聲的條件下，TLS-cyclic-ESRPIT算法的穩(wěn)定性差，估計(jì)精度低。而FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法穩(wěn)定性很好，估計(jì)精度高，可以很好地抑制了α穩(wěn)定分布噪聲，比較準(zhǔn)確地估計(jì)出了源信號(hào)的 DOA。同時(shí)可以得到在這個(gè)廣義信噪比條件下，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic- ESPRIT1算法的性能優(yōu)于FLOM-TLS-cyclic- ESPRIT2。

表1 TLS-cyclic-ESPRIT算法形式1和FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法結(jié)果比較

表2 TLS-cyclic-ESPRIT 算法形式2 和FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2 算法結(jié)果比較

實(shí)驗(yàn)3 廣義信噪比從 15dB- 到15dB增大時(shí)，均方根誤差的變化，其他條件同上。每個(gè)廣義信噪比的取值都獨(dú)立仿真200次。

圖3 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法的抗噪性能分析

從圖 3(a)中可以看出，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic- ESPRIT1算法和TLS-cyclic-ESPRIT算法形式1在廣義信噪比比較低（ 15dB- ～5dB- ）時(shí)，抗噪性能基本相當(dāng)；當(dāng)廣義信噪比升高時(shí)，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法抗噪性能明顯好于TLS-cyclic- ESPRIT算法形式1。從圖3(b)中可以看出，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法的抗噪性能明顯好于 TLS-cyclic- ESPRIT算法形式2。從圖3(c)中可以看出，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法和FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2在廣義信噪比比較低（ -1 5dB～ -5 dB）時(shí)，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT2的抗噪性能較好；當(dāng)廣義信噪比升高時(shí)，F(xiàn)LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法抗噪性能稍微好于 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2。FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法在低廣義信噪比時(shí)性能下降的原因應(yīng)該是p值的選擇，在不同的廣義信噪比下，最優(yōu)的p值是不同的。

實(shí)驗(yàn) 4 為驗(yàn)證本文算法的廣泛適用性，對(duì)入射源為QPSK信號(hào)的情況進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。入射源為2個(gè)QPSK信號(hào)，其中，目標(biāo)信號(hào)入射角為30°，載頻為100MHz，鍵控速率為50MHz；干攏信號(hào)入射角為60°，載頻為30MHz，鍵控速率為3MHz。在 G SNR=15dB 、α=1.5的SαS噪聲環(huán)境下，循環(huán)頻率取為 2倍鍵控速率100MHz。p從0.5取到2（間隔為0.1），每個(gè)p值仿真200次，取均方根誤差最小時(shí)對(duì)應(yīng)p值對(duì) FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法與 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法進(jìn)行仿真比較。仿真分別獨(dú)立進(jìn)行了2 000次。

通過對(duì)表1～表3的對(duì)比看出，本文提出算法對(duì)QPSK信號(hào)的DOA效果較好，但對(duì)BPSK信號(hào)具有更高的估計(jì)精度?？梢员砻鞅疚牡腇LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法和 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法具有較為普遍的適用性。

表3 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1與FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法結(jié)果比較

5 結(jié)束語

循環(huán)統(tǒng)計(jì)量是一種研究具有循環(huán)平穩(wěn)特性的非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的有效工具，但是廣泛存在的脈沖性非高斯分布噪聲會(huì)降低基于傳統(tǒng)二階循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的各類算法的性能。本文以α穩(wěn)定分布作為噪聲模型，考慮了非高斯噪聲對(duì)傳統(tǒng)的二階循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的影響，給出了分?jǐn)?shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣的概念，同時(shí)結(jié)合高分辨波達(dá)方向估計(jì)技術(shù)，提出基于分?jǐn)?shù)低階循環(huán)相關(guān)矩陣的ESPRIT新方法，仿真表明該方法可以有效消除α穩(wěn)定分布噪聲及相關(guān)干擾對(duì)角度估值的影響，具有潛在的應(yīng)用前景。

參考文獻(xiàn)：

[1] INAGAKI Y, KIKUMA N. DOA estimation of desired signals by cyclic ESPRIT based on noise subspace and its performance improvement[J].Electronic and Communications in Japan , 2007, 90 (11)∶ 95-104.

[2] GARDNER W A .Simplification of MUSIC and ESPRIT by exploitation of cyclostationarity[J]. Proceedings of the IEEE, 1988, 76 (7)∶ 845-847.

[3] 王宏禹.非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)分析與處理[M].北京：國防工業(yè)出版社,1999.WANG H Y. Nanstationary Random Signal Analysis and Processing[M]. Beijing∶National Defence Industry Press,1999.

[4] GARDNER W A, NAPOLITANO A, PAURA L. Cyclostationarity∶half a century of research[J]. Elsevier Science Signal Processing, 2006,86(44)∶ 639-697.

[5] 張賢達(dá).現(xiàn)代信號(hào)處理（第二版）[M].北京：清華大學(xué)出版社,2002.ZHANG X D. Modern Signal Processing Second Edition[M].Beijing∶Tsinghua University Press,2002.

[6] SHAO M, NIKIAS C L. Signal processing with fractional lower order moments∶ stable processes and their applications[J]. Proceedings of the IEEE, 1993, 81(7)∶986-1010.

[7] NIKIAS C L, SHAO M. Signal Processing with Alpha Stable Distributions and Applications[M]. New York∶ John Wiley & Sons Inc，1995.

[8] TSIHRINTZIS G A, NIKIAS C L. Fast estimation of the parameters of alpha-stable impulsive interference[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1996,44 (6)∶1492-1503.

[9] 王永良,陳輝，彭應(yīng)寧等. 空間譜估計(jì)理論與算法[M].北京：清華大學(xué)出版社,2004.WANG Y L,CHEN H,PENG Y N, et al. Spatial Spectrum Estimation[M]. Beijing∶ Tsinghua University Press,2004.

[10] LIU T H, MENDEL J M. A subspace-based direction finding algorithm using fractional lower order statistics[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2001, 49( 8)∶ 1605-1613.