萬金貴，汪希平，高 琪，張 飛

(1.上海第二工業(yè)大學(xué) 實驗實訓(xùn)中心,上海 201209；2.上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院，上海 200072)

主動磁懸浮軸承(active magnetic bearing， AMB)是利用電磁鐵產(chǎn)生可控電磁力將轉(zhuǎn)子懸浮支承的一種新型軸承，由于具有一系列獨特的優(yōu)點而引起人們的廣泛關(guān)注[1]。近年來，AMB技術(shù)在國外得到了迅速的發(fā)展，已在軍工、航天等國防工業(yè)部門中得到了廣泛應(yīng)用，并向民用工業(yè)如航空、機床、化工、能源等領(lǐng)域推廣[2-4]。

主動磁懸浮軸承經(jīng)常工作在每分鐘數(shù)萬至數(shù)十萬轉(zhuǎn)范圍內(nèi)，此時的轉(zhuǎn)子動力學(xué)行為往往表現(xiàn)為柔性轉(zhuǎn)子的特性[5]。為保證磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行，設(shè)計者需要對系統(tǒng)的動力特性進行分析和計算，并可對磁力軸承動力學(xué)行為進行調(diào)整和控制[6-7]。由于磁力軸承的結(jié)構(gòu)涉及到由電子電路組成的控制器，因此其動力學(xué)特征與傳統(tǒng)軸承有著本質(zhì)區(qū)別。目前，人們對于磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性普遍規(guī)律還沒有形成成熟的理論。因此，分析磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性，探索研究其動力學(xué)特點具有重要意義。

對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行動力特性研究經(jīng)常采用傳遞矩陣法或有限元法。因有限元法能對較復(fù)雜的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行完整而精確的幾何建模，容易保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，同時計算機技術(shù)的飛速發(fā)展又為有限元法的計算效率提供了保障，在現(xiàn)代較復(fù)雜的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性計算中越來越多采用有限元法[8-9]。當(dāng)前最為流行的有限元分析軟件ANSYS功能十分強大，還很好地解決了動力特性分析中的“陀螺效應(yīng)”影響的問題。下文即以ANSYS為工具，分析磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性及規(guī)律。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)

低溫制氧高速透平膨脹機的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。該轉(zhuǎn)子由兩個徑向電磁軸承和一個軸向電磁軸承支承，其中軸向電磁軸承的兩個電磁鐵對稱安裝在轉(zhuǎn)子中央推力盤的左右兩側(cè)。徑向電磁軸承的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)：氣隙寬度x0=0.17 mm，磁極數(shù)為8，單個磁極面積S0=1.32×10-4mm2，每極線圈匝數(shù)N0=42，偏磁電流I0=1A。電磁軸承控制器由PID調(diào)節(jié)器、傳感器、功率放大器組成。

1—圓頭小螺帽；2—工作風(fēng)輪；3—左徑向磁軸承；4—軸向磁軸承；5—右徑向磁軸承；6—軸向定位墊片；7—平衡風(fēng)輪圖1 透平膨脹機磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

該轉(zhuǎn)子的設(shè)計轉(zhuǎn)速是1.08×105r/min。為考察該轉(zhuǎn)子是否能安全達到工作轉(zhuǎn)速并穩(wěn)定運轉(zhuǎn)以及在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)系統(tǒng)的振動特點，故將分析的轉(zhuǎn)速范圍定在0～1.2×105r/min(0～2 kHz),即計算從零到稍高于工作轉(zhuǎn)速的整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的各階臨界轉(zhuǎn)速與模態(tài)振型。

2 剛度及阻尼系數(shù)的計算

工程應(yīng)用的電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)多為5自由度磁懸浮系統(tǒng)，包含兩個徑向電磁軸承和一個軸向電磁軸承，為轉(zhuǎn)子提供除繞軸旋轉(zhuǎn)以外的其余5個自由度的控制。低溫制氧高速透平膨脹機的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)也不例外，其控制系統(tǒng)各自由度的定義如圖2所示。徑向電磁軸承1和2分別對應(yīng)x1，y1和x2，y2方向的控制通道，軸向電磁軸承則對應(yīng)z方向的控制通道。

圖2 轉(zhuǎn)子的5自由度控制示意圖

由文獻[10]知，徑向電磁軸承一般視為正交各向異性的軸承，故每個徑向電磁軸承需要計算兩個正交方向的剛度與阻尼系數(shù)。另外，電磁軸承交叉剛度與阻尼系數(shù)的計算與選用的傳感器類型和安裝等具體情況有關(guān)[11]。由于通常情況下電磁軸承氣隙寬度與轉(zhuǎn)子直徑之比很小，計算出的電磁軸承交叉剛度和阻尼系數(shù)也很小，故其對轉(zhuǎn)子動力特性的影響可以不予考慮[12]。因此，完整的5自由度磁懸浮系統(tǒng)動力特性計算中需要計算5組剛度與阻尼系數(shù)，即(kxx1,cxx1)，(kyy1,cyy1)，(kxx2,cxx2)，(kyy2,cyy2)和(kz,cz)。

每組剛度與阻尼系數(shù)的計算公式為：

(1)

式中：ke為對應(yīng)方向的等效剛度系數(shù)；ce為對應(yīng)方向的等效阻尼系數(shù)；ω為輸入控制器的信號頻率；Gc(jω)為控制器對應(yīng)方向傳遞函數(shù)；kx為電磁軸承的位移剛度系數(shù)；ki為系統(tǒng)的電流剛度系數(shù)；μ0為真空磁導(dǎo)率；S0為氣隙截面積；N為電磁(軸承)線圈的匝數(shù)；I0為偏磁電流分量；x0為轉(zhuǎn)子懸浮時軸承氣隙的設(shè)計長度。

從上述計算式看，電磁軸承的剛度及阻尼系數(shù)除與kx，ki(由軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)計算確定)有關(guān)外，還與控制器的傳遞函數(shù)及信號頻率ω有關(guān)。

3 系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速和模態(tài)振型的計算

在ANSYS中創(chuàng)建該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)完整的三維幾何模型，并指定單元類型，設(shè)置材料屬性，然后劃分網(wǎng)格，生成有限元模型。

將每個電磁軸承模擬為具有剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的彈性阻尼支承，以COMBIN14單元來模擬，并設(shè)置相應(yīng)的實常數(shù)(剛度和阻尼系數(shù))。

在每個彈簧單元的外端施加“ALL DOF”約束(完全固接)，內(nèi)端自由。施加約束后的整個系統(tǒng)有限元模型如圖3所示。

圖3 施加約束后的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型

求解得到系統(tǒng)的前8階固有頻率和模態(tài)振型。

上述計算過程只是在電磁軸承的一組特定剛度與阻尼系數(shù)下的ANSYS分析過程。但由于電磁軸承的剛度及阻尼系數(shù)是轉(zhuǎn)子渦動頻率的函數(shù)，當(dāng)渦動頻率發(fā)生改變時，電磁軸承的剛度及阻尼系數(shù)需要重新計算，由計算出來的新的剛度及阻尼系數(shù)代入ANSYS開始新的模態(tài)分析，得到新的固有頻率和模態(tài)振型。

需要指出的是，轉(zhuǎn)子的渦動情況很復(fù)雜，這里只考慮最常見和最主要的正向同步渦動，只有當(dāng)計算出的固有頻率與轉(zhuǎn)子的渦動頻率相等時對應(yīng)的轉(zhuǎn)速才是臨界轉(zhuǎn)速。因此，需要計算工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)一系列轉(zhuǎn)速下的固有頻率和模態(tài)振型，然后將各次模態(tài)分析得到的固有頻率匯總整理，繪制出各階固有頻率隨渦動速度的變化曲線。

4 臨界轉(zhuǎn)速和模態(tài)振型計算結(jié)果及影響分析

4.1 計算結(jié)果

控制器參數(shù)如表1所示。各階固有頻率曲線如圖4所示。圖中各階固有頻率曲線與45°直線的交點所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速即為正向同步渦動的各階臨界轉(zhuǎn)速(為清晰起見，列于表2)，其對應(yīng)的振型即為臨界振型。模態(tài)振型計算結(jié)果如圖5所示。需要指出的是，此處的8階固有頻率與傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子動力學(xué)意義上的有關(guān)概念不同，僅是為了敘述方便，按固有頻率從小到大排列為1階、2階、3階等。若按傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子動力學(xué)的意義，7，8階才是真正的1階固有頻率。

表1 各通道方向的控制器參數(shù)

表2 按初始參數(shù)計算的各階臨界轉(zhuǎn)速 ×103r/min

圖4 按初始參數(shù)計算的各階固有頻率變化曲線

圖5 按初始參數(shù)計算的各階模態(tài)振型圖

由該組計算結(jié)果可知，系統(tǒng)在計算的頻率范圍內(nèi)(0～2 kHz)存在8階臨界轉(zhuǎn)速(固有頻率)，對應(yīng)8階模態(tài)振型。由圖5的臨界振型知，除1階扭轉(zhuǎn)振動和2階軸向平動以外，第3，4，5，6階都是剛體擺動，其振動頻率都在100～300 Hz。其中3階與4階、5階與6階分別是一對正交的模態(tài)振型。7階、8階是一階彎曲模態(tài)振型，也是一對正交模態(tài)。圖4反映了各階固有頻率與轉(zhuǎn)軸渦動速度(轉(zhuǎn)速)之間的變化規(guī)律。2，3，4，5，6階曲線隨渦動速度的提高變化明顯，說明這5階固有頻率受軸承剛度影響較大。而由圖5的模態(tài)振型可以看出，這5階振動與電磁軸承5個控制自由度z，x1，y1，x2，y2有一一對應(yīng)的關(guān)系。因此可以說2，3，4，5，6階固有頻率是由電磁軸承各控制自由度方向的剛度來決定的。7，8階曲線基本重合，位于圖的上部，幾乎呈水平直線， 說明7，8階固有頻率隨著轉(zhuǎn)速的提高沒有明顯改變，其幾乎不受軸承剛度的影響。從表2可知，前6個臨界轉(zhuǎn)速遠小于設(shè)計轉(zhuǎn)速，是安全的；而7，8階臨界轉(zhuǎn)速則與設(shè)計轉(zhuǎn)速比較接近，分別與設(shè)計轉(zhuǎn)速相差4.4%和4.5%，不符合工程上對臨界轉(zhuǎn)速的安全性要求。

4.2 影響因素

4.2.1 軸承半徑氣隙

為考察電磁軸承半徑氣隙大小(最重要的軸承結(jié)構(gòu)參數(shù))對系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速和模態(tài)振型的影響，改變軸承氣隙寬度x0，取x0=0.15 mm，其余參數(shù)均不變。得到的各階固有頻率變化曲線與圖4完全類似，表3列出了具體的臨界轉(zhuǎn)速數(shù)值。而模態(tài)振型計算結(jié)果同圖5。

表3 改變軸承氣隙寬度計算的各階臨界轉(zhuǎn)速 ×103r/min

從表3可知，除零頻的扭轉(zhuǎn)振動不變以外，其余2，3，4，5，6，7，8階臨界轉(zhuǎn)速分別提高了14.52%，10.46%，17.77%，14.42%，10.70%，0.05%，0.06%。可見，當(dāng)軸承氣隙寬度x0從0.17 mm改為0.15 mm時，因電磁軸承各自由度的剛度增加，各臨界轉(zhuǎn)速都得到提高。其中2，3，4，5，6階臨界轉(zhuǎn)速增幅較大，7，8階沒有明顯增加。

4.2.2 控制器參數(shù)

改變控制器參數(shù)，如表4所示，軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)不變。計算得到的各階固有頻率變化曲線如圖6所示；臨界轉(zhuǎn)速具體數(shù)值如表5所示。而模態(tài)振型計算結(jié)果仍與圖5一樣。

表4 改變后的各通道方向的控制器參數(shù)

表5 改變控制器參數(shù)計算的各階臨界轉(zhuǎn)速 ×103r/min

圖6 改變控制器參數(shù)的各階固有頻率變化曲線

僅改變控制器參數(shù)時，得到的電磁軸承的剛度阻尼系數(shù)有明顯變化。對比圖6與圖4可知，各固有頻率曲線的總體變化規(guī)律沒有改變；而2，3，4，5，6階固有頻率曲線的形狀和排列順序有所改變。計算得到的各階模態(tài)振型形狀基本同前；只是振幅稍有改變，各階順序有所改變。這是由控制器參數(shù)改變后引起各控制自由度剛度大小改變和順序重新排列所致。這也再次證明了該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的2，3，4，5，6階振動完全是由軸承決定的，且與控制器5個控制自由度有著準(zhǔn)確的一一對應(yīng)關(guān)系，其對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速是“軸承主導(dǎo)型”臨界轉(zhuǎn)速，振動模態(tài)也是“軸承主導(dǎo)型”振動模態(tài)。由表5與表2的對比看出，臨界轉(zhuǎn)速除扭轉(zhuǎn)振動不變以外，其余各階都提高了。其中2，3，4，5，6階臨界轉(zhuǎn)速變化幅度很大，其是由控制器參數(shù)大幅變化所致，7，8階臨界轉(zhuǎn)速仍沒有明顯增加。

4.2.3 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)

從上述計算結(jié)果可以看出，無論怎樣改變軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)和控制器參數(shù)，7，8階臨界轉(zhuǎn)速都沒有明顯改變，始終離設(shè)計工作轉(zhuǎn)速很近，以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)條件是不能在設(shè)計工作轉(zhuǎn)速下安全運轉(zhuǎn)的?？磥硪@著改變7，8階臨界轉(zhuǎn)速，只有改變轉(zhuǎn)子本身的結(jié)構(gòu)，通過增加或降低轉(zhuǎn)子的剛度，使臨界轉(zhuǎn)速遠離工作轉(zhuǎn)速。經(jīng)研究計算，如圖1所示，減小圖1轉(zhuǎn)子上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 3段的直徑，其中實線表示原來的軸段，直徑均為26 mm；雙點劃線表示改變后的軸段，直徑均變?yōu)?0 mm。軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)與控制器參數(shù)不變。改變轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)后，計算得到的模態(tài)振型仍同圖5，臨界轉(zhuǎn)速的計算數(shù)值如表6所示。

表6 改變轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)計算的各階臨界轉(zhuǎn)速 ×103r/min

從表6可知，轉(zhuǎn)子改小后，系統(tǒng)的7，8階臨界轉(zhuǎn)速已經(jīng)大幅降低，都低于工作轉(zhuǎn)速23%，符合工程上對臨界轉(zhuǎn)速的安全性要求。其余各階臨界轉(zhuǎn)速變化不大，都離開工作轉(zhuǎn)速足夠遠，都能安全越過。所以此改造方案是可行的。這也再次證明了7，8階臨界轉(zhuǎn)速主要受轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)影響。

綜合以上分析，軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)與控制器參數(shù)的改變會使幾個低階臨界轉(zhuǎn)速(對應(yīng)轉(zhuǎn)子的剛體平動與擺動模態(tài))的大小發(fā)生明顯變化；而轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的改變能引起高階臨界轉(zhuǎn)速(對應(yīng)轉(zhuǎn)子的彎曲振動模態(tài))的顯著改變。各種情況下系統(tǒng)模態(tài)振型形狀都不變。可以推斷：電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在經(jīng)過幾個低階剛體運動模態(tài)以后，其模態(tài)振型才開始呈現(xiàn)1階彎曲、2階彎曲等振動模態(tài)，對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速主要受轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的影響，這才是傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子動力學(xué)意義上的臨界轉(zhuǎn)速。這是因為，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速增大時，軸承剛度阻尼的影響逐漸減少，轉(zhuǎn)子特性的影響逐漸增大，此時系統(tǒng)的動力學(xué)特性逐漸向傳統(tǒng)的動力學(xué)特性逼近。事實上，在前面的計算中，當(dāng)提取的模態(tài)數(shù)增加時，可以發(fā)現(xiàn)后面接著就是傳統(tǒng)意義上的2階和3階等彎曲振動模態(tài)，而且都是位于兩個正交平面內(nèi)，成對出現(xiàn)，這完全符合傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子動力學(xué)的特點。只是因為這時的臨界轉(zhuǎn)速已經(jīng)很高，超出本實例中的設(shè)計工作轉(zhuǎn)速很多，所以本文未列出。

5 實例對比

對電磁軸承支承的透平膨脹機樣機進行過多次試驗[13]。以初始參數(shù)計算結(jié)果為例，試驗觀察到的臨界轉(zhuǎn)速與有限元計算結(jié)果對比如表7所示。試驗中觀察到的幾個臨界轉(zhuǎn)速與有限元計算值非常接近，表明有限元分析方法是正確可靠的。

表7 臨界轉(zhuǎn)速有限元計算值與試驗值的對比 ×103r/min

6 結(jié)論

(1) 由于電磁軸承特殊的控制方式——分通道控制，其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性計算中包含幾個由軸承本身產(chǎn)生的低階臨界轉(zhuǎn)速及其相應(yīng)的振動模態(tài)。這幾個低階振動模態(tài)都是剛體運動模態(tài)，其數(shù)目和形態(tài)與軸承控制器的幾個控制通道一一對應(yīng)。因此相應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速大小主要受電磁軸承的影響，即為“軸承主導(dǎo)型”臨界轉(zhuǎn)速，可以通過改變電磁軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)和控制器相應(yīng)控制通道的參數(shù)來精確調(diào)節(jié)。

(2) 電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在經(jīng)過低階剛體振動模態(tài)以后，接著就呈現(xiàn)1階彎曲、2階彎曲、3階彎曲等振動模態(tài)，所對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速主要受轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的影響，是“轉(zhuǎn)子主導(dǎo)型”臨界轉(zhuǎn)速，這才是傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子動力學(xué)意義上的臨界轉(zhuǎn)速。此后的動力學(xué)特性就和傳統(tǒng)的軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一樣。