張兆迎, 鮑文竹

(成都信息工程學院數(shù)學學院,四川成都610225)

1 引言及結(jié)果

扈培礎(chǔ)等在文獻[1]中得到了下述結(jié)果：

定理A 設n,k≥2為正整數(shù),a為有窮非零復數(shù),F為區(qū)域D上的亞純函數(shù)族,F中任一函數(shù)的零點重級至少為k.如果?f,g∈F,f(f(k))n與g(g(k))nIM分擔a,則F在區(qū)域D上正規(guī).

定理B 設n,k為正整數(shù),且n≥2,a為有窮非零復數(shù),F為區(qū)域D上的亞純函數(shù)族,F中任一函數(shù)的零點重級至少為k,且f(f(k)(z))n=a?|f(k)(z)|≤A,其中 A為正數(shù),則F在區(qū)域D上正規(guī).設L(f)=f(k)+a1f(k-1)+…+akf,a1,…,ak為常數(shù).

將f(k)推廣為微分多項式L(f),得到了下述結(jié)果.

定理1 設n,k≥2為正整數(shù),a為有窮非零復數(shù),F為區(qū)域D上的亞純函數(shù)族,F中任一函數(shù)的零點重級至少為k.?f,g∈F,fLn(f)與gLn(g)IM分擔a,則F在D上正規(guī).

定理2 設n,k為正整數(shù),且n≥2,a為有窮非零復數(shù),F為區(qū)域D上的亞純函數(shù)族,F中任一函數(shù)的零點重級至少為k,且fLn(f(z))=a?|f(k)(z)|≤A,其中A為正數(shù),則F在區(qū)域D上正規(guī).

由定理1及定理2可得如下推論.

推論1 設n,k為正整數(shù),且n≥2,a為有窮非零復數(shù),F為區(qū)域D上的亞純函數(shù)族,F中任一函數(shù)的零點重級至少為k,如果?f∈F,fLn(f)≠a,則F在區(qū)域D 上正規(guī).

2 幾個引理

設區(qū)域D?C,F為區(qū)域D上的亞純函數(shù)族,稱 F在區(qū)域D上是正規(guī)的,如果任一{fn}?F有一個子列{fnj}在D上按球距內(nèi)閉一致收斂于一個亞純函數(shù)或∞.

引理1[2]設k是一個正整數(shù),F是單位圓盤Δ上的亞純函數(shù)族,F中任一函數(shù)的零點重級至少為k,如果F在z=0處不正規(guī),則對于任一 α,0≤α≤k,存在：(1){zn}?Δ,zn→0;(2){fn}?F;(3)正數(shù)列{ρn},ρn→0(n→∞);使得gn(ζ)=ρ-αnfn(zn+ρnζ)在復平面上按球距內(nèi)閉一致收斂于一個非常數(shù)亞純函數(shù)g(ζ),并且g(ζ)的零點重級至少為 k,g#(ζ)≤g#(0)=1,g(ζ)的級至多為2.

引理2[1]設n,k≥2為正整數(shù),a為有窮非零復數(shù),如果f為復平面上的一個非常數(shù)亞純函數(shù),零點重級至少為k,則 f(f(k))n-a至少有兩個判別的零點.

引理3[1]設n≥2為正整數(shù),a為有窮非零復數(shù),如果f為復平面上的一個非常數(shù)亞純函數(shù),則 f(f′)n-a至少有一個零點.

3 定理證明

定理1的證明：

若F在D上不正規(guī).不失一般性,設F為單位圓盤Δ={z∈C：|z|＜1}上的亞純函數(shù)族且在原點z=0處不正規(guī).由引理1知,存在點列{zj}?Δ且 zj→0(j→∞),函數(shù)列{fn}?F,正數(shù)列{ρn},ρn→0,使得 gj(ζ)=在復平面上按球距內(nèi)閉一致收斂一個非常數(shù)亞純函數(shù)g(ζ),并且g(ζ)的零點重級至少為 k,g(ζ)的級至多為2.

因此

對ζ求導有

所以經(jīng)過簡單的計算

由于 ρj→0(j→∞)知,在復平面上除去 g(ζ)的極點外,

若g(ζ)(g(k)(ζ))n≡a,則g既無零點又無極點,又因g為一個級至多為2的非常數(shù)亞純函數(shù),所以存在常數(shù)ci(i=0,1,2)使得(c1,c2)≠(0,0),g(ζ)=ec0+c1ζ+c2ζ2,顯然 g(ζ)(g(k)(ζ))n不恒等于a,矛盾.所以 g(ζ)(g(k)(ζ))n不恒等于a.

由引理 2,函數(shù)g(ζ)(g(k)(ζ))n-a至少有兩個判別的零點,設其中兩個為 ζ0,ζ*0.取適當小的 δ0＞0,使得 B(ζ0,δ0)∩B(ζ*0,δ0)=? 且在B(ζ0,δ0)∪B(ζ*0,δ0)上除去 ζ0,ζ*0外沒有其他零點,這里 B(ζ0,δ0)={ζ||ζ-ζ0|＜δ0},B(ζ*0,δ0)={ζ||ζ-ζ*0|＜δ0}.

由式(1)及Hurwitz定理知,當 j充分大時,存在點 ζj∈B(ζ0,δ0),ζ*

j ∈ B(ζ0*,δ0)使得

由假設f1Ln(f1)和 fjLn(fj)IM分擔a知,

由非常數(shù)亞純函數(shù)零點孤立性,f1Ln(f1)≡a.

同理?f∈F,fLn(f)≡a.而矛盾 .

定理1證畢.

定理2的證明：

應用定理1證明過程中的符號記法.由Hurwitz定理知g(ζ)的零點重數(shù)至少為k,由引理2,引理3知g(ζ)(g(k)(ζ))n-a 至少有一個零點ζ0,所以 g(ζ0)≠∞.因此由 Hurwitz定理 ,存在{ζj},ζj→ζ0,使得 fj(zj+ρjζj)Ln(fj(zj+ρjζj))=a,由假設知,其中 A 為正數(shù).

因此

定理2證畢.

[1]Hu Pei-Chu,Meng Da-Wei.Normality criteria of meromorphic functions with multiple zeros[J].J.Math.Anal.Appl.,2009,357：323-329.

[2]L Zalcman.Normal familes：New perspectives[J].Bull.Amer.Math.Soc.,1998,35 ：215-230.

[3]Y X Gu,X C Pang,M L Fang.Normal Families and Its Application[M].Beijing：Science Press,2007.