吳忠強(qiáng) 劉力靈

燕山大學(xué)河北省工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,秦皇島,066004

0 引言

欠驅(qū)動機(jī)器人是指獨(dú)立控制輸入少于系統(tǒng)自由度的機(jī)器人[1],對欠驅(qū)動機(jī)械臂而言,則是指某個或某些關(guān)節(jié)沒有驅(qū)動裝置,即關(guān)節(jié)是被動的,也稱自由的。欠驅(qū)動機(jī)器人由于驅(qū)動器的減少而具有質(zhì)量輕、成本低、能耗低等眾多優(yōu)點(diǎn),因此成為機(jī)器人研究領(lǐng)域的新熱點(diǎn)[2]。

欠驅(qū)動機(jī)器人的研究問題包括平衡流形控制、PTP控制、多臂協(xié)調(diào)操作,甚至其他更復(fù)雜的機(jī)器人工作任務(wù)。為了使欠驅(qū)動機(jī)器人能像全驅(qū)動機(jī)器人一樣實(shí)現(xiàn)各種靈活的操作,人們基于不同的分析工具和方法,對這類非完整系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究并提出了多種控制方案(如PID控制、自適應(yīng)控制[3]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[2]、智能控制[1]、魯棒控制[3]等),實(shí)現(xiàn)了對某些欠驅(qū)動機(jī)器人的有效控制。

自T-S模糊建模方法提出以來,基于模糊模型的控制方法已經(jīng)成為解決某些非線性問題的強(qiáng)有力工具[4-7]。該建模方法通過IF-THEN規(guī)則將非線性系統(tǒng)描述為若干個線性子系統(tǒng)的動態(tài)組合,先針對線性子系統(tǒng)單獨(dú)設(shè)計(jì)滿足一定性能的控制器,然后在并行分布補(bǔ)償[8](parallel distributed compensation,PDC)設(shè)計(jì)框架下構(gòu)建全局控制器,用線性系統(tǒng)理論去分析并解決非線性系統(tǒng)的控制問題。近年來,系統(tǒng)的非脆弱性成為人們感興趣的課題[9-12]?，F(xiàn)有文獻(xiàn)多考慮的是線性系統(tǒng)的非脆弱控制問題,對非線性機(jī)器人系統(tǒng)的非脆弱控制問題研究較少。

本文研究欠驅(qū)動機(jī)器人系統(tǒng)的非脆弱保性能H∞控制問題。利用LMI(linear matrix inequality)方法[13],給出模糊非脆弱保性能H∞控制器存在的充分條件,并證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后用實(shí)例仿真驗(yàn)證了本方法的有效性。

1 欠驅(qū)動機(jī)器人動力學(xué)模型變換

機(jī)器人完整的動力學(xué)模型描述為

式中,M(q)∈ Rn×n為對稱正定慣性矩陣;C(q,q?)∈ Rn為向心力和哥氏力作用項(xiàng);G(q)∈Rn為重力作用項(xiàng);?！蔙n為力矩輸入項(xiàng);q、q?、q¨分別為關(guān)節(jié)的位置向量、速度向量和加速度向量。

欠驅(qū)動機(jī)器人的動力學(xué)模型可以用以下分塊形式表示

式中,下標(biāo)a和o分別表示主動關(guān)節(jié)和被動關(guān)節(jié)。

由式(2)的第2行得

將式(3)代入式(2)的第1行得

由式(4)可知,適當(dāng)選取主動關(guān)節(jié)控制輸入Γa,就可以通過動力學(xué)耦合作用控制被動關(guān)節(jié)到設(shè)定角度。在此采用PD型計(jì)算力矩控制,控制律表示為

式中,kv、kp分別為恒定對角正定比例矩陣和微分增益矩陣;e為位置誤差,eo=qo-qod;qod為關(guān)節(jié)期望位置。

將式(5)代入式(4)得誤差方程：式(6)表明如果適當(dāng)選擇反饋增益矩陣k v、k p,位置誤差可以漸近收斂到零,即可以實(shí)現(xiàn)被動關(guān)節(jié)的位置跟蹤控制。

當(dāng)被動關(guān)節(jié)到達(dá)期望位置時,鎖定被動關(guān)節(jié),系統(tǒng)的動力學(xué)模型(式(2))轉(zhuǎn)化為

2 非脆弱保性能H∞控制器的設(shè)計(jì)

2.1 T-S模型的建立

系統(tǒng)(式(7))的T-S模糊模型描述如下：

式 中,Nij為 模 糊 集 合,j = 1,2,…,l;X1=為系統(tǒng)的狀態(tài);zj(t)為已知的前件變量;r為模型規(guī)則數(shù);Ai和bi為適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣;ΔAi和Δbi表示系統(tǒng)的不確定性。

對所有的i,用中心平均法解模糊,可得系統(tǒng)模型：

式中,z(t)為向量,其中的元素為已知的前件變量;Nij[zj(t)]為zj(t)對于Nij的隸屬度,并且hi[z(t)]≥0,

將式(10)代入式(9)得

假定式(11)中的 ΔA i和 Δb i有界,且滿足如下約束條件I≤0(文中,矩陣后的符號“＞0、＜0、≥0、≤0”分別表示矩陣正定、負(fù)定、非負(fù)定、非正定),其中,D i、E1i、E2i為反映系統(tǒng)不確定性結(jié)構(gòu)的矩陣;F1i為具有Lebesgue可測元素的未知矩陣。將(A i+ΔA i)Q d看作系統(tǒng)擾動 ω,則系統(tǒng)模型可寫為

2.2 控制器的設(shè)計(jì)

采用PDC結(jié)構(gòu)的模糊控制器,并考慮其脆弱性,有如下模糊控制規(guī)則：

整個系統(tǒng)的反饋控制律為

式中,ki為確定的反饋增益矩陣;Δki為控制器的參數(shù)變化,表示實(shí)現(xiàn)的不確定性。

考慮加法式增益攝動,即Δk i=D fi E fi F f i,其中,D f i、E f i為反映控制器不確定性結(jié)構(gòu)的矩陣;Ffi為具有Lebesgue可測元素的未知矩陣,且滿足FTfiF fi-I≤0。

則閉環(huán)系統(tǒng)全局T-S模型為

選被調(diào)輸出φ(t)=X。

對系統(tǒng)(式(12))定義系統(tǒng)性能指標(biāo)：

式中,Q、R為給定的正定加權(quán)矩陣。

在給出結(jié)論前先給出下列引理。

引理1[12](Schur補(bǔ)引理) 對給定的對稱矩陣其中S11為m ×m維的矩陣。以下3個條件等價(jià)：

引理2[12]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y、D和E,其中Y是對稱的,則有

對所有滿足FTF-I≤0的矩陣F成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)ε＞0,使得

定理1 對于給定的系統(tǒng)(式(12)),式(14)的反饋控制律是一個非脆弱保性能H∞控制律,如果存在公共正定矩陣P和k i,使得下列不等式組成立：

式中,εij1、εji1、εij2、εji2、εi1、εi2、ε′、γ為正常數(shù),

下面給出定理1的證明。

取Lyapunov函數(shù)

則

Aji=Aj+ΔAj+(bj+Δbj)(ki+Δki)

當(dāng) ω(t)為零矩陣時只需保證 Ψ1＜0,Ψ2＜0,則

由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知系統(tǒng)在無外部擾動時全局漸近穩(wěn)定。對式(18)兩邊從t=0到t=T積分,因?yàn)橄到y(tǒng)漸近穩(wěn)定,則X(∞)=0,所以我們可以得到J≤J*=XT(0)PX(0),即該控制律為非脆弱保性能控制律。

當(dāng)ω(t)為非零矩陣時,對于給定常數(shù)γ＞0,有

對式(20)兩端從t=0到 t=T積分,可得

因?yàn)閂(X)≥0,則

即系統(tǒng)為H∞穩(wěn)定的。

因?yàn)镻P＞0則滿足式(22)即可保證 ψ1＜0,ψ2＜0,即滿足式(22)則可保證系統(tǒng)是非脆弱保性能 H∞穩(wěn)定的。令 Φ1= Ψ1+I+PP/γ2,Φ2= Ψ2+2I+2PP/γ2。

下面先求解 Φ1＜0成立的充分條件：

應(yīng)用引理2和Schur補(bǔ)引理我們可以得到Φ1＜0的充分條件為存在常數(shù)εi1＞0,使得式(24)成立：

將式(24)分解,并再次應(yīng)用引理2和Schur補(bǔ)引理可得式(24)成立的充分條件為存在常數(shù)εi2＞0,使得式(25)成立：

將式(25)分解,并應(yīng)用Schur補(bǔ)引理可得式(25)等價(jià)于：

式(26)兩邊分別左右乘diag(P-1,I,I,I,I,I,I,I),并令 θ=P-1,B i=k iθ,即得定理1中的式(16)。

下面求解使 Φ2＜0成立的充分條件。應(yīng)用Petersen引理得

只需保證 Φij＜0且 Φji＜0便可以實(shí)現(xiàn) Φ2＜0。與 Φ1＜0成立條件的求解過程相同,可以求得Φij＜0成立的充分條件為存在常數(shù)εij1＞0和εij 2＞0使得式(28)成立：

Φji＜0成立的充分條件為存在常數(shù)εji1＞0和εji2＞0使得式(29)成立：

式(28)與式(29)相加得到定理 1中的式(17)。定理1得證。

3 仿真研究

為驗(yàn)證上述方案的正確性,本節(jié)對兩連桿串聯(lián)機(jī)械臂中第一關(guān)節(jié)為被動關(guān)節(jié)的情況進(jìn)行仿真試驗(yàn)。兩連桿串聯(lián)機(jī)械臂動力學(xué)方程如下：

式中,m1、m2分別為兩桿的質(zhì)量,m1=m2=1kg;L1、L2分別為兩桿的長度,L1=1m,L2=2m;Lg1、Lg2分別為兩桿的質(zhì)心距,Lg1=0.5m,Lg2=1m;I1、I2分別為兩桿的轉(zhuǎn)動慣量,I1=0.083N?m2,I2=0.330N?m2。

針對此系統(tǒng)在控制的第一階段,采用PD型計(jì)算力矩控制?？刂破鲄?shù)為kv=3,kp=5。

被動關(guān)節(jié)被鎖定后,取z=|q1|/|q2|為前件變量,則可以構(gòu)造如下T-S模型：

假定控制器存在可加性攝動,并且選擇描述不確定性的矩陣為

選取Q為3維單位陣,R取1,應(yīng)用定理1解LMI可以得到非脆弱保性能H∞控制器的參數(shù)

由圖1可以看出,控制的第一階段在PD型計(jì)算力矩控制器的作用下,第一關(guān)節(jié)可以有效實(shí)現(xiàn)位置跟蹤。在t=5s時對其進(jìn)行制動,并采用基于T-S模型的非脆弱保性能H∞控制器,使第二關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)位置跟蹤。由圖2可以看出,控制的第二階段在基于T-S模型的非脆弱保性能H∞控制器的作用下,即使系統(tǒng)具有擾動且控制器參數(shù)發(fā)生攝動,第二關(guān)節(jié)仍然可以在很短的時間內(nèi)有效的實(shí)現(xiàn)位置跟蹤。

圖1 關(guān)節(jié)1位置誤差曲線

圖2 關(guān)節(jié)2位置誤差曲線

4 結(jié)束語

針對欠驅(qū)動機(jī)器人系統(tǒng),將非脆弱控制、保性能控制以及H∞控制結(jié)合,提出了基于T-S模型的欠驅(qū)動機(jī)器人非脆弱保性能H∞控制策略并進(jìn)行了仿真研究。仿真結(jié)果表明被動關(guān)節(jié)鎖定后,當(dāng)系統(tǒng)具有外部擾動和控制器參數(shù)不確定性時,在基于T-S模型的欠驅(qū)動機(jī)器人非脆弱保性能H∞控制律的作用下,第二關(guān)節(jié)能夠?qū)崿F(xiàn)位置跟蹤。

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