白雙梅，杜福洲

（北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191）

基于馬爾可夫鏈的EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化及其實現(xiàn)

白雙梅，杜福洲

（北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191）

0 引言

SPC是一種借助數(shù)理統(tǒng)計理論的過程質量控制方法，通常采用控制圖來達到過程控制的目的。

傳統(tǒng)的休哈特控制圖的統(tǒng)計變量只與當前觀測值相關，而忽略大量過程歷史數(shù)據(jù)中包含的信息，因此，傳統(tǒng)的休哈特控制圖對小偏移過程不敏感，往往會造成漏判情況的出現(xiàn)。為此，研究者們提出了累積和（CUSUM）控制圖和指數(shù)加權滑動平均（EWMA）控制圖來實現(xiàn)對小偏移過程的監(jiān)控。

EWMA控制圖的性能取決于參數(shù)（平滑系數(shù)λ、控制線參數(shù)L）的選取，因此，EWMA控制圖參數(shù)的選取直接影響控制圖對小偏移過程的控制效果。有關控制圖參數(shù)優(yōu)化問題日益引起廣泛關注，相關研究人員曾提出以田口質量損失函數(shù)最小為目標的CUSUM控制圖優(yōu)化設計方法，應用馬爾可夫鏈研究了多元指數(shù)移動平均控制圖及MCUSUM控制圖中ARL計算的數(shù)學模型[1～3]，設計監(jiān)控EWMA控制圖均值和方差的經(jīng)濟控制圖[4]，在文獻[5]中基于馬爾可夫鏈法對EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法進行了研究。

學術界和實際應用中常用平均運行鏈長（average run length，ARL）作為控制圖性能評價指標。運行鏈長（run length，RL）是對給定的質量水平、控制圖從開始應用到發(fā)出報警所抽取的樣本數(shù)，為隨機量，其分布狀況可以作為控制圖應用的決策依據(jù)。ARL是RL的期望值，理想控制圖的特點是：過程受控時，ARL值盡可能大；過程失控時，ARL值盡可能小。目前，常用的ARL計算方法有三種，即蒙特卡羅仿真法、積分法、馬爾可夫鏈法?；隈R爾可夫鏈法的EWMA控制圖ARL計算算法原理是：將EWMA控制圖的上下控制線之間的區(qū)間分成k（k為奇數(shù)）個子區(qū)間，將EWMA控制圖繪制的過程近似看成一個離散的馬爾可夫鏈（k的取值越大，該過程越近似于馬爾可夫鏈，則ARL可以用轉移概率矩陣表示。

本文在現(xiàn)有研究成果的基礎上，系統(tǒng)地研究了基于馬爾可夫鏈的EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化方法，基于matlab進行仿真驗證，總結出具體的EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化步驟，并基于J2EE平臺實現(xiàn)EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)，進而與傳統(tǒng)的控制進行了比較研究。

1 EWMA控制圖

設X，N(μ0,σ02)其中μ0和σ02分別是過程處于受控狀態(tài)時的均值和方差。X1,X2,L,Xn（n為樣本容量），是相互獨立的隨機變量序列，其中Xi為第i個樣本值，則EWMA統(tǒng)計量為：

由式(2)可見，距離當前越遠的數(shù)據(jù)，權重越小，以指數(shù)形式遞減。

根據(jù)上述模型及六西格瑪原則，EWMA控制圖上、下控制限UCL和LCL，分別為[5]：

式中，n為樣本容量，λ為平滑系數(shù)，L為確定控制線的參數(shù)。由此可見，平滑系數(shù)λ及控制線參數(shù)L的選取是影響EWMA控制圖對小偏移控制的重點因素。

2 基于馬爾可夫鏈的ARL計算方法

圖1 馬爾可夫鏈狀態(tài)空間劃分示意圖

將EWMA控制圖繪制的過程近似看成一個離散的馬爾可夫鏈（k的取值越大，該過程越近似于馬爾可夫鏈），用Si(i=1,2,…,k)表示該馬爾可夫鏈的狀態(tài)，且設Si為子區(qū)間的中心點，則

統(tǒng)計量zi落在控制限之外的狀態(tài)表示為Sa，Si假設zi一旦超出控制限不會自動返回，則Sa為一個吸收態(tài)。這樣整個EWMA的監(jiān)控過程就可以描述為帶有一個吸收壁的馬爾可夫鏈。該馬爾可夫鏈的一步轉移概率矩陣P可表示為

式中，R為k×k矩陣，表示從轉移狀態(tài)Si到轉移狀態(tài)Sj的概率Pij(i=1,2,…,k)。I為k×k單位矩陣，1為所有元素均為1的k×1列向量，0為所有元素均為0的k×1列向量。Pij可表示為：

由馬爾可夫鏈的定義，第i步轉移概率矩陣Pi可表示為

則鏈長PL=i的概率可以表示為

式中，Pinitial為初始狀態(tài)概率，為簡單起見設恒從中心點出發(fā)，因此

3 EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法

基于上述計算EWMA控制圖ARL的數(shù)學模型，總結了EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法。

EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法流程如圖2所示：

圖2 EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法流程

對于給定參數(shù)（λ,L）的EWMA檢驗方案來說，對過程的不同質量水平進行檢驗，其效果表現(xiàn)在它的ARL值。反之，對于一個具有不同質量水平的過程來說，其效果表現(xiàn)在給定受控平均運行鏈長值（ARL0）的情況下，能推導出適合的檢驗方案（λ,L）。

在進行EWMA控制圖的設計時，參數(shù)λ和L的選取至關重要?；贏RL的EWMA控制圖參數(shù)（λ,L）優(yōu)化算的一般步驟如下：

1）先確定參數(shù)：置信度α、樣本容量n、欲控過程偏移量δ、標準差σ、馬爾可夫鏈區(qū)間劃分數(shù)k、控制線參數(shù)變化范圍LN，并計算出ARL0；

2）然后，計算滿足ARL0的幾組（λ,L）值對，擬合λ與L的回歸曲線；

3）擬合λ、L的回歸方程，以一定間隔取得（λ,L）值對；

4）根據(jù)（λ,L）值對及給定參數(shù)，計算取該參數(shù)時的ARL值；

5）計算ARL與λ的回歸方程，尋找ARLmin，從而得到優(yōu)化參數(shù)（λ0，λ0）。

基于ARL的EWMA控制圖參數(shù)選取的方法是：在ARL0已定的前提下，即控制圖的置信度已知，選取參數(shù)（λ,L）使得ARL1越小越好。

4 基于matlab的EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化

由前面基于馬爾可夫鏈的EWMA控制圖ARL的計算方法的研究可知，隨著區(qū)間劃分數(shù)k的增加，EWMA控制圖繪制過程越來越趨向于馬爾可夫鏈過程；為驗證算法的穩(wěn)定性，取k從10到190，步長為4（δ=0.2,λ=0.2,L=2.7），基于matlab仿真ARL曲線如圖3所示。

圖3 子區(qū)間劃分數(shù)對ARL計算結果的影響

隨著k的增加，ARL極限存在，由此可知，此過程可收斂。

下面研究EWMA控制圖參數(shù)對其過程控制的影響。

首先，研究不同控制線參數(shù)L(λ=0.23、k=50)下的EWMA控制圖操作特性（operation characteristic，OC）曲線，觀查控制線參數(shù)L對控制效果的影響，如圖4所示。

由曲線圖可見，L越大，ARL0越大，表示過程受控時誤判的概率越低。隨著偏移量δ增大，ARL呈下降趨勢，但L越大，ARL越大，也就意味著當過程失控（δ＞0）時，漏判的概率隨L的增大

圖4 控制線參數(shù) 對EWMA控制圖OC曲線的影響

圖5 不同平滑系數(shù)λ下的EWMA控制圖OC曲線

由圖5可見，取不同平滑系數(shù)λ時， OC曲線存在交點δ?和δ??。δ=0時，λ越小，控制圖性能越優(yōu)。0＜δ＜δ?之間，λ越大，控制圖性能越優(yōu)。δ?＜δ＜δ??時，隨λ的減小控制圖性能變好；δ＞δ??時，控制圖的性能趨同。

5 EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化實例

根據(jù)第4部分的結論，EWMA控制圖的性能與控制線參數(shù)L、平滑系數(shù)λ以及過程均值偏移量δ相關。顯然，需要根據(jù)過程均值波動的不同，選擇不同的參數(shù)。下面根據(jù)具體案例演示控制圖參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)界面及優(yōu)化參數(shù)選取過程。

在軸的車削加工過程當中，由于溫度升高以及磨損等原因導致刀具迸刀，因而軸的直徑發(fā)生了小偏移，假設偏移量為δ=1.0。為此，采用EWMA控制圖對軸的直徑進行過程監(jiān)控，下面研究監(jiān)控軸直徑的EWMA控制圖參數(shù)選取具體步驟：

1）在一定置信度（α=0.005）下，確定受控平均運行鏈長ARL0（200）、馬爾可夫鏈的子區(qū)間劃分數(shù)k(50)以及欲控偏移量δ（本例中為1.0）；

2）設δ=0，采用java計算程序，根據(jù)已知條件，計算出在不同λ下滿足ARL0的L，通常選取λ=0.1,0.2,L,0.9，見表1。然后采用回歸方法求出L與λ之間的關系式，如式15所示。

表1 幾組符合條件的（λ,L）值對計算結果

采用基于J2EE開發(fā)的控制圖參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)演示λ與L的擬合曲線，得到λ與L之間的擬合曲線如圖6所示。

圖6 λ與L擬合曲線圖

3）在λ軸以0.01為間距，在λ、L的關系曲線上獲得（λ,L）值對。

4）計算取不同（λ,L）值對、過程偏移量δ=1.0時的ARL0值。的計算結果曲線如圖7所示。

圖7 δ=1.0時ARL1.0與λ的關系曲線

5）從ARL1.0與λ的關系曲線，計算得到ARL1.0的最小值min(ARL1.0)=8.1341，以及此時對應的平滑系數(shù)λ0=0.17，在圖6上計算λ0=0.17所對應的控制線L0=0.17。此時的λ0=0.17、L0=2.6517即為該條件下EWMA控制圖的優(yōu)化參數(shù)。對于優(yōu)化后的EWMA控制圖，其在不同偏移量下的OC曲線如圖8所示。

圖8 δ=1.0時最優(yōu)參數(shù)下的OC曲線

在相同置信度α=0.9973及偏移量δ=0.17下，用matlab仿真休哈特控制圖和取不同參數(shù)的EWMA控制圖的ARL隨均值漂移的變化情況，表2比較了ARL計算結果：

由上述分析可見，當均值發(fā)生微小偏移δ＞0.5σ時，EWMA控制圖能比休哈特控制圖更即時地檢測出異常，因此對小偏移的控制更為靈敏，且在相同置信度α=0.9973下，參數(shù)取λ0=0.17、L0=2.8912時對偏移量δ=1.0最敏感，參數(shù)（λ0=0.17、L0=2.8912）即為置信度α=0.9973、偏移量δ=1.0下設計出的最優(yōu)參數(shù)組合。

表2 休哈特控制圖與EWMA控制圖不同參數(shù)下的ARL

6 結論

本文研究監(jiān)控小偏移過程的EWMA控制圖參數(shù)（λ、L）優(yōu)化問題，基于馬爾可夫鏈法對EWMA控制圖的參數(shù)優(yōu)化算法進行深入研究，并用matlab對EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法進行仿真驗證，總結出在一定置信度及特定小偏移量下計算最優(yōu)參數(shù)組合的一般步驟，通過比較驗證了優(yōu)化參數(shù)的正確性，在上述研究的基礎上，基于J2EE平臺實現(xiàn)了控制圖參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)界面。

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Parameter optimization and implementation for ewma control chart based on markov chain

BAI Shuang-mei, DU Fu-zhou

EWMA控制圖的性能取決于其參數(shù)的選取，學術界和工業(yè)界常采用平均運行鏈長作為控制圖性能評價指標，本文對基于馬爾可夫鏈的EWMA控制圖的參數(shù)（平滑系數(shù) 、控制線參數(shù) )優(yōu)化問題進行了深入的研究：給出了一種EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化方法及一般步驟；采用matlab平臺對該算法進行研究并基于J2EE平臺實現(xiàn)EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)界面，給出示例計算，并與傳統(tǒng)的控制圖進行了比較研究。

EWMA控制圖；小偏移過程；質量控制；matlab仿真；參數(shù)優(yōu)化；系統(tǒng)實現(xiàn)

白雙梅 (1985－ )，女，內蒙人，碩士研究生，主要從事計算機集成制造、計算機輔助質量管理、過程管理等方面的研究。

TH166;021;0242;TP391

A

1009-0134(2010)06-0064-05

10.3969/j.issn.1009-0134.2010.06.22

2009-08-18

總裝預研項目；國防基礎科研項目