李詠梅

(濟(jì)寧學(xué)院物理系,山東 曲阜 273155)

近年來(lái),出現(xiàn)了不少關(guān)于連通肥皂泡或是球形液膜(以下簡(jiǎn)稱(chēng)液泡,如肥皂泡)動(dòng)態(tài)特性的討論[1-4].有些研究認(rèn)為,當(dāng)大小不同的兩個(gè)液泡連通后,小泡不斷縮小,大泡不斷增大,當(dāng)小泡縮小到半球面形狀后,還要繼續(xù)縮小,但這時(shí)曲率半徑反而增大,當(dāng)它和大泡曲率半徑相同時(shí)便趨于穩(wěn)定[3,4].有些研究直接基于這一理論,對(duì)連通后大小泡的變化進(jìn)行模擬與闡釋[1,2].筆者認(rèn)為這些討論不夠深入,這里擬對(duì)此進(jìn)行深入的討論,并計(jì)算兩球形液膜的動(dòng)態(tài)和平衡態(tài),同時(shí)研究氣體傳輸過(guò)程中液泡的動(dòng)態(tài)規(guī)律,對(duì)于區(qū)分理解兩個(gè)大小不同的連通肺泡在人體呼吸過(guò)程中的變化特性具有一定的參考價(jià)值[4].

圖1

1 兩個(gè)球形液膜理論推導(dǎo)

球形液膜由于受液體表面張力的作用,導(dǎo)致液泡內(nèi)外氣體壓強(qiáng)間存在一定的壓強(qiáng)差,該壓強(qiáng)差通常稱(chēng)為附加壓強(qiáng),其大小為其中α為液體表面張力系數(shù),r為球形液泡的半徑[5].如圖1,用細(xì)短管連通A、B兩大小不等的液泡,設(shè)其初態(tài)半徑為R1、R2,液泡內(nèi)氣體質(zhì)量為m10、m20,液體表面張力系數(shù)為α.由于附加壓強(qiáng)的緣故,A內(nèi)壓強(qiáng)大于B內(nèi)壓強(qiáng),氣體將從小液泡A流向大液泡B.設(shè)其動(dòng)態(tài)半徑為r1、r2,液泡內(nèi)氣體質(zhì)量為m1、m2.因液泡內(nèi)壓強(qiáng)接近大氣壓強(qiáng)p0,溫度是常溫,故可按理想氣體處理.由于A、B兩液泡間的細(xì)短管內(nèi)徑很小,液泡的動(dòng)態(tài)壓強(qiáng)可近似滿(mǎn)足體積分別為將其分別代入理想氣體狀態(tài)方程中,可得動(dòng)態(tài)氣體狀態(tài)方程

(1)、(2)式中,μ為摩爾質(zhì)量,R為氣體普適恒量,T為氣體的熱力學(xué)溫度.將氣體傳輸過(guò)程視為等溫過(guò)程,則初態(tài)氣體狀態(tài)方程為

因系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)過(guò)程中質(zhì)量守恒,則由(1)～(4)式可得

得動(dòng)態(tài)半徑r1與r2的近似函數(shù)式為

設(shè)細(xì)短管截面積為S,則氣體沿管道等溫流動(dòng)時(shí),單位時(shí)間A泡內(nèi)氣體流到B泡內(nèi)的分子數(shù)為

單位時(shí)間B泡內(nèi)氣體通過(guò)細(xì)短管流到A泡內(nèi)的分子數(shù)為

其中M是一個(gè)氣體分子的質(zhì)量.將(8)、(9)式代入(10)式得

由(1)式微分可得,在時(shí)間dt內(nèi),A液泡內(nèi)氣體的質(zhì)量變化量為

顯然dm=-dm′,即有

但此反應(yīng)脂肪酸中的不飽和雙鍵也會(huì)發(fā)生氫化反應(yīng)，常用該反應(yīng)將植物油氫化為長(zhǎng)鏈的脂肪醇，若要避免此類(lèi)還原反應(yīng)的發(fā)生，可用銅、鎘的氧化物或其皂鹽催化。

將(7)式代入(14)式,兩邊積分可得

其中積分下限R1和上限r(nóng)1分別為液泡A的初態(tài)半徑和動(dòng)態(tài)半徑.

同理也可得時(shí)間t與液泡B的半徑r2的關(guān)系式

其中積分下限R2和上限r(nóng)2分別為液泡B的初態(tài)半徑和動(dòng)態(tài)半徑.

則T(r1)、T(r2)就可以反應(yīng)大小泡的動(dòng)態(tài)變化情況.

2 液泡A收縮到球冠形的理論推導(dǎo)

液泡A的半徑r1與細(xì)管的半徑R0相當(dāng)時(shí),此時(shí)液泡A就不能看成球形,而應(yīng)是球冠形,如圖2所示(圖2(a)為球冠形與球形液泡連通模型圖,圖2(b)為液泡A幾何關(guān)系放大圖).其中球冠半徑為r1,冠高h(yuǎn),冠底半徑等于管子半徑R0,液泡B仍為球形,半徑為r2.

圖2

同理由(1)、(2)、(19)、(20)式可得

由圖2(b)的幾何關(guān)系知

同理由(10)～(12)式得

將(21)、(22)式代入(23)式,兩邊積分可得液泡A變化時(shí)間為

同理也可得液泡B的變化時(shí)間t與h的關(guān)系式仍為(24)式.

圖3

圖4

圖5

因r1、r2與h存在關(guān)系式(21)、(22),可作T(r1)、T(r2)關(guān)系曲線反應(yīng)大小泡的動(dòng)態(tài)變化情況.由于T(r1)、T(r2)為不可積函數(shù),可取球形液膜初態(tài)半徑R1=25mm、R2=30mm、R0=2mm,利用Matlab7.0做數(shù)值積分并繪圖,進(jìn)行定性分析,得到T(r1)、T(r2)理論曲線如圖3所示.液泡A變成球冠形后T(r1)理論曲線如圖4所示.液泡A變成球冠形后T(r2)理論曲線如圖5所示.

4 分析與討論

(1)從圖3曲線可見(jiàn),在小液泡A從r1=25mm萎縮到r1=20mm的初始階段,T(r1)隨r1的減小快速增大;當(dāng)r1減小到15mm后,T(r1)隨r1的減小很緩慢地增大.具體解釋見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2].

(2)當(dāng)r1=R0以后,液泡A是球冠,r1的變化如圖4,T(r1)隨r1由小變大,且到r1=34.87mm時(shí)T(r1)變大r1=34.93mm保持一個(gè)定值.r2的變化如圖5,T(r2)隨r2變大而變大,且到r2=34.93mm時(shí)T(r2)變大r2=34.93保持一個(gè)定值,在圖3上交于一點(diǎn),此時(shí)就是平衡狀態(tài).

綜上所述,我們可以得到如下結(jié)論:當(dāng)大小不同的兩個(gè)液泡連通后,由于較小的泡內(nèi)的附加壓強(qiáng)較大,氣體就會(huì)被壓入大泡,因此小泡不斷縮小,大泡不斷增大.隨著小泡的不斷縮小,其表面張力不斷變大,它將加速萎縮.隨著大泡不斷增大,其表面張力不斷變小,當(dāng)達(dá)到一定時(shí)刻,它將有可能發(fā)生破裂.因此,兩液泡能否變到曲率半徑相同的穩(wěn)定狀態(tài),是由表面張力系數(shù),原初始狀等外界條件決定.

5 結(jié)論

本文討論了表面張力系數(shù)相同的液體構(gòu)成的兩球形液膜連通的動(dòng)態(tài)特性,得到兩液泡連通后,小泡不斷縮小,大泡不斷增大;兩液泡變到曲率半徑相同的穩(wěn)定狀態(tài)是在大液泡不發(fā)生破裂時(shí)才成立.由附加壓強(qiáng)公式我們可以推論,若是表面張力系數(shù)分別為α1、α2(α1≠α2)的液體構(gòu)成的半徑分別為r1、r2(r1≠r2)的液泡,滿(mǎn)足條件則產(chǎn)生相同的附加壓強(qiáng).也就是說(shuō)表面活性物質(zhì)濃度不同的液泡相連通,若的值相同,則將會(huì)保持平衡,這也正是肺泡的工作原理[6].

1 唐玄之,王琦等.大小肥皂泡連通后的討論與計(jì)算.大學(xué)物理,2007,26(10):20-23

2 王云創(chuàng),李德堯等.兩個(gè)連通型球形液膜動(dòng)態(tài)特性的研究.大學(xué)物理,2004,23(5):33-36

3 薛萬(wàn)華,劉月成等.物理化學(xué)簡(jiǎn)明教程.北京:地震出版社,2001.305

4 周衍椒,張鏡如.生理學(xué).北京:人民衛(wèi)生出版社,1989.188-229

5 黃淑清,聶宜如等.熱學(xué)教程(第2版).北京:高等教育出版社,1994.255,343

6 王玢,左明雪.人體及動(dòng)物生理學(xué)(第2版).北京:高等教育出版社,2001.250