魏鋒濤， 宋 俐， 李 言， 石 坤， 趙建峰

（西安理工大學(xué)機械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048）

WEI Feng-tao, SONG Li, LI Yan, SHI Kun, ZHAO Jian-feng( School of Mechanical and Instrumental Engineering，Xi’an University of Technology , Xi’an Shaanxi 710048，China )

基于模糊理論的機械多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

魏鋒濤， 宋 俐， 李 言， 石 坤， 趙建峰

（西安理工大學(xué)機械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048）

多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計各分目標(biāo)間的矛盾性和不可公度性增加了解決問題的難度，常規(guī)求解多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法一般只能求出問題的有效解，而得不到設(shè)計的最優(yōu)結(jié)果。該文以蝸桿傳動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計為例，采用改進(jìn)的遺傳算法求得若干有效解后，根據(jù)模糊理論中的相似優(yōu)先比法從中確定出最有效解，即最優(yōu)解，并可排出它們的優(yōu)劣順序。

機械設(shè)計；多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計；模糊理論；相似優(yōu)先比法

工程中常常遇到期望一個設(shè)計方案的多項設(shè)計指標(biāo)均達(dá)到最優(yōu)的問題。例如，設(shè)計一種機械傳動裝置，希望它的重量最輕、承載能力最高，同時它的性能又最可靠；設(shè)計一種高速凸輪機構(gòu)，不僅要求體積最小，而且還要求其柔性誤差最小，動力學(xué)性能最好等。使多于一個設(shè)計指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的問題，就是多目標(biāo)優(yōu)化問題。在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，各分目標(biāo)之間常常是互相矛盾的，一個分目標(biāo)值的最優(yōu)往往會導(dǎo)致另一個或幾個分目標(biāo)值的最劣。要使幾個分目標(biāo)同時達(dá)到最優(yōu)，一般來說是非常困難的，有時甚至是不可能的。因此，用常規(guī)的方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，得到的是問題的若干個有效解。如何從這些有效解中選擇出最有效解作為最優(yōu)設(shè)計方案，是實際應(yīng)用必須解決的問題[1]。

文中采用改進(jìn)遺傳算法求得機械多目標(biāo)優(yōu)化問題的理想解和若干有效解，然后根據(jù)模糊數(shù)學(xué)中的相似優(yōu)先比法確定最有效解，即問題的最優(yōu)設(shè)計方案，并可同時排列出有效解的優(yōu)劣次序。

1 模糊相似優(yōu)先比法

應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)中的相似優(yōu)先比法[2]確定多目標(biāo)最優(yōu)解的基本思想是：首先求出各單目標(biāo)的最優(yōu)解，以此構(gòu)成多目標(biāo)的理想解；再根據(jù)相似優(yōu)先比法找出各種有效解與理想解的相似（或接近）的程度；與理想解相似（或接近）的程度最高的有效解即為多目標(biāo)優(yōu)化的最優(yōu)解。

1.1 建立相似優(yōu)先矩陣

（3） 建立每一個目標(biāo)的相似優(yōu)先矩陣 Rj

以相似優(yōu)先比 rjst為元素組成的矩陣 Rj叫相似優(yōu)先矩陣，其中

1.2 作 Rj (j= 1,2)的λ截矩陣，確定優(yōu)先序號和最優(yōu)解

（3） 確定所有目標(biāo)的絕對優(yōu)先序號，得出最優(yōu)解。對所有 Rj( j =1,2)作完 Njr后，按每行所得的序號 Njr( j = 1 ,2; r = 1 ,2,3)，按行求和，便得所有目標(biāo)的絕對優(yōu)先序號 Nr(r = 1 ,2,3)，序號和最小的一個（即min Nr）所對應(yīng)的有效解便是多目標(biāo)的最優(yōu)解。

2 機械多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計實例及計算過程

2.1 蝸桿傳動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型[3-4]

2.1.1 選擇設(shè)計變量

選擇蝸桿頭數(shù) z1、模數(shù)m和蝸桿特性系數(shù)q為蝸桿傳動的設(shè)計變量，即

2.1.2 建立目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)蝸桿傳動的工作特點、結(jié)構(gòu)要求和生產(chǎn)成本，將蝸輪齒冠體積最小、傳動效率最高、中心距最小作為該優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)。

（1） 蝸輪齒冠體積最小

為了降低生產(chǎn)成本，節(jié)省較貴重的有色金屬材料，以蝸輪有色合金齒冠體積最小為優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)之一，即

式中 i為傳動比；m為模數(shù)；q為蝸桿特性系數(shù)；當(dāng)蝸桿頭數(shù) z1= 1 或 z1= 2 時， φ = 0 .75；當(dāng)蝸桿頭數(shù) z1= 3 或 z1= 4 時， φ = 0 .67。

（2） 蝸桿傳動效率最高

分析蝸桿傳動的工作情況可知，其總效率主要取決于嚙合摩擦損耗效率η1，而嚙合面間的相對滑動速度 vs則對η1影響很大，成反比關(guān)系。為了提高蝸桿傳動效率，就應(yīng)減小相對滑動速度 vs，即

式中 n1為蝸桿轉(zhuǎn)速。

（3） 中心距最小

為了使蝸桿傳動結(jié)構(gòu)更湊緊，在滿足使用要求的前提下，應(yīng)使中心距趨于最小，即

2.1.3 確定約束條件

蝸桿傳動的優(yōu)化設(shè)計應(yīng)滿足下列限制條件：

（1） 蝸桿頭數(shù) z1的限制

對于動力傳動，一般取 z1= 2 ～4，即

（2） 蝸輪齒數(shù) z2的限制

常取 z2= i z1= 3 0～80，即

（3） 模數(shù)m的限制

常取2 ≤ m ≤ 1 8，即

（4） 蝸桿特性系數(shù)q的限制

常取 8 ≤ q ≤ 1 6，即

（5） 蝸輪齒面接觸強度的限制

式中 K為載荷系數(shù)。

（6） 蝸輪齒根彎曲強度的限制

式中 YF2為齒形系數(shù)；K為載荷系數(shù)。

（7） 蝸桿剛度的限制

2.1.4 數(shù)學(xué)模型

綜上所述，蝸桿傳動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型表示為

s.t. gi(X ) ≥ 0 (i = 1 ,2,L ,11)

2.2 設(shè)計實例

某減速器中的蝸桿傳動，輸入功率 P = 1 0kW，蝸桿轉(zhuǎn)速n1= 1 460min，兩班工作，載荷平穩(wěn)，傳動比 i = 2 0，蝸輪齒冠材料為ZCuSn10P1。最優(yōu)地設(shè)計該蝸桿傳動，使蝸桿傳動在滿足承載能力及強度要求條件下，蝸輪齒冠體積最小、傳動效率最高和中心距最小。

2.2.1 優(yōu)化設(shè)計問題的理想解和有效解

文中采用改進(jìn)遺傳算法求解得到該優(yōu)化問題的理想解和有效解。該算法在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了實數(shù)編碼策略、聯(lián)賽選擇機制及動態(tài)調(diào)整交叉概率和變異概率引入自適應(yīng)算子等方面的改進(jìn)，參數(shù)設(shè)置為：群體規(guī)模 N = 8 0，采用終止代數(shù)為200代與連續(xù)10代平均目標(biāo)函數(shù)值不大于最小目標(biāo)函數(shù)值的0.001相結(jié)合的方法來判斷是否結(jié)束程序運行[5-7]。

（1） 理想解

用改進(jìn)遺傳算法分別求出該問題中各單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，即理想解及相應(yīng)的函數(shù)值為

（2） 有效解

用改進(jìn)遺傳算法分別根據(jù)理想點法、線性加權(quán)法和平方加權(quán)法三種多目標(biāo)優(yōu)化問題的處理方法進(jìn)行求解得到三組有效解

2.2.2 用模糊相似優(yōu)先比法求最有效解

（1） 建立相似優(yōu)先矩陣

該優(yōu)化問題有3個目標(biāo)和3個有效解，即可得到3個相似優(yōu)先矩陣

（2） 作λ截矩陣，確定優(yōu)先序號和最優(yōu)解

各 有 效 解 的 優(yōu) 先 序 號 Njr( j =1,2; r= 1 ,2,3)和序號 Nr(r = 1 ,2,3)如表 1所示。

表1 有效解的行序號和絕對優(yōu)先序號

由表1知，序號和最小的有效解是 F2。因此，F(xiàn)2是該多目標(biāo)優(yōu)化問題的最有效解，即其次為F1、 F3。

與常規(guī)設(shè)計方案（ Z1= 2 , m = 9 , q = 1 0）比較，蝸輪齒冠體積減少了33.8%，傳動效率提高了26.1%、傳動中心距減少了6.7%?？梢姡捎枚嗄繕?biāo)優(yōu)化設(shè)計方法進(jìn)行設(shè)計，得到了比傳統(tǒng)設(shè)計更為合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計方案，使蝸輪和蝸桿傳動在滿足承載能力及強度要求的條件下，蝸輪齒冠體積最小、傳動效率最高、中心距最小，從而使整體設(shè)計結(jié)構(gòu)更為緊湊。與蝸桿傳動的單目標(biāo)設(shè)計相比，運用多目標(biāo)優(yōu)化方法使蝸桿傳動設(shè)計得到了整體最優(yōu)的設(shè)計方案，結(jié)果合理、符合工程實際。

3 結(jié) 論

本文利用改進(jìn)遺傳算法對機械多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題的理想解和有效解進(jìn)行了求解，并根據(jù)模糊數(shù)學(xué)中的相似優(yōu)先比法，從若干個有效解中選擇出最有效解并排列出它們的優(yōu)劣次序。整個求解過程表明，這種方法大大降低了人為因素對解決此類優(yōu)化問題的影響，使最終得到的優(yōu)化結(jié)果更科學(xué)、更符合實際情況。由于這種多目標(biāo)優(yōu)化問題的處理方法不受目標(biāo)函數(shù)個數(shù)的限制，因此隨著目標(biāo)函數(shù)個數(shù)的增加且有效解的個數(shù)增多時，更能顯出該方法的優(yōu)越性。

[1] 劉惟信. 機械最優(yōu)化設(shè)計[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 1994. 230-236.

[2] 王彩華, 宋連天. 模糊論方法學(xué)[M]. 北京: 中國建筑工業(yè)出版社, 1988. 304-309.

[3] 濮良貴, 紀(jì)名剛. 機械設(shè)計[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001. 239-259.

[4] 王文博. 機構(gòu)和機械零部件優(yōu)化設(shè)計[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 1990. 240-244.

[5] 王小平, 曹立顯. 遺傳算法——理論、應(yīng)用與軟件實現(xiàn)[M]. 西安: 西安交通大學(xué)出版社, 2002. 73-74.

[6] 崔艷梅, 王麗萍, 等. 基于遺傳算法的四桿機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計[J]. 機械傳動, 2004, 28(4): 22-24.

[7] 李 斌, 朱如鵬. 基于遺傳算法的行星齒輪傳動優(yōu)化及 MATLAB實現(xiàn)[J]. 機械設(shè)計, 2004, 21(10): 29-31.

Mechanical Multi-Object Optimization Design Based on Fuzzy Theory

It is difficult to solve multi-objective optimization for inconsistency and incomparability among each single object. Multi-objective mathematical model of worm transmission is established. Effective solutions are obtained by general optimal arithmetic, such as improved genetic algorithm. The optimal solution is chosen from these available effective solutions and then ranked by the similarity priority ratio method of fuzzy theory.

machine design; multi-objective optimization design; fuzzy theory; similarity priority ratio method

TH 122

A

1003-0158(2010)02-0009-04

WEI Feng-tao, SONG Li, LI Yan, SHI Kun, ZHAO Jian-feng
( School of Mechanical and Instrumental Engineering，Xi’an University of Technology , Xi’an Shaanxi 710048，China )

2008-09-09

陜西省自然科學(xué)基金資助項目（2006E108）；西安理工大學(xué)科學(xué)研究基金資助項目（102-210710）

魏鋒濤（1976-），男，陜西合陽人，講師，博士研究生，主要研究方向為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。