陳 亮，楊 寧，杜亞勤，郭 雷

(西北工業(yè)大學自動化學院，西安710129，lionbright@gmail.com)

邊緣提取是圖像處理和計算機視覺領(lǐng)域中重要的研究內(nèi)容，由于物理和光照等原因，通常形成不同類型的邊緣(如緩變和非緩變邊緣)，或者圖像中還常常伴有未知噪聲.因此，根據(jù)圖像特性自適應地正確檢測出邊緣是很困難的.邊緣提取算法已有很多［1］，算法的基礎(chǔ)有統(tǒng)計方法，差分，曲線擬合，多尺度分析等［2－7］.邊緣檢測方法的過程一般為:1)計算特征圖(通常與梯度模有關(guān));2)通過閾值化特征圖得到邊緣［8－9］.最常用的方法一般是用平滑圖像的一階微分找到局部最大值(或零交叉點)來檢測邊緣，其中，Canny算法是具有濾波、增強和檢測的多階段的優(yōu)化算子，可以有效地確定信號突變位置，是目前公認的效果最好的方法.

Bilateral濾波［10］結(jié)合空域中的鄰近關(guān)系和灰度(亮度)上的相似性，對二者進行非線性組合，自適應地處理相鄰各像素值的灰度值或彩色信息，進行濾波而實現(xiàn)平滑圖像的效果.該濾波是非線性的、非迭代的、局部的和簡單的，而圖像平滑結(jié)果在濾除噪聲的同時，很好地保持圖像的邊緣特征［11］.鑒于Bilateral濾波器的優(yōu)勢，本文分析了其原理，提出一種Bilateral濾波的逆操作，進而提取圖像邊緣的算法.

1 Bilateral濾波器

對于普通的空域濾波方法，可表示為

式中:f為原圖像，h為平滑濾波后的輸出圖像，c(ξ，q)為中心點像素與鄰域像素點的空間鄰近度關(guān)系，k(q)為c(ξ，q)的歸一化函數(shù).空域濾波考慮了像素領(lǐng)域的影響，能夠抑制噪聲，對變化幅度小的區(qū)域起到了很好的平滑作用，但同樣也平滑了邊緣，使其變得很模糊.基于此，在進行圖像平滑時，Bilateral濾波不僅考慮到了像素位置在幾何上的鄰近距離影響關(guān)系，也考慮到了圖像像素本身在亮度上的相似性，通過對二者的非線性組合，自適應濾波后得到平滑圖像.如此處理過的圖像在濾除噪聲的同時還能夠很好地保持圖像的邊緣信息.其定義為

其中，k(q)的表達式變?yōu)?/p>

s(f(ξ)，f(q))為圖像強度的相似性，一般二者都采用高斯函數(shù):

可以看出圖像中像素q處的值即受到空域中像素之間的鄰近性影響，也受到強度域中像素之間的相似性影響.

Bilateral濾波器綜合考慮到了中心像素點和周圍像素點在空間的鄰近關(guān)系和亮度的相似關(guān)系，這樣更符合人眼視覺習慣.Bilateral濾波器的特點是圖像的每一點q用空間相鄰且灰度相近的像素的平均值代替原來的值.在圖像變化平緩的區(qū)域，一個小的鄰域內(nèi)圖像的灰度可近似為常數(shù)，這時Bilateral濾波器計算的對象是整個塊內(nèi)所有像素值，是一個標準的低通空域濾波器;而在圖像變化劇烈的區(qū)域，鄰域內(nèi)差別大的像素值的影響驟減，只有與邊緣相似的灰度才起到作用，其平均值代替原灰度，即邊緣被單獨地進行處理.

高頻信息——“邊緣”被單獨處理而保存下來，其它區(qū)域則被低通濾波器平滑.基于此，若進行逆操作，結(jié)果將會是變化平緩的區(qū)域沒有響應，而在邊緣處將會有很大的響應，本文的算法就是源自于逆向思維.

2 算法設(shè)計

2.1 圖像預處理——逆Bilateral濾波

從逆向思維出發(fā)，所產(chǎn)生的圖像結(jié)果為

式中:d(f(ξ)，f(q))為鄰域中的ξ處與中心q處的像素強度值的差異性，差異越大則表明高頻信息越明顯.高通濾波的目的是對圖像中特定頻率范圍內(nèi)的低頻成分進行衰減或截斷，即增強圖像細節(jié)、突變等的高頻成分，因此采用高通濾波器代替Bilateral濾波的低通濾波器，這樣能使圖像邊緣更加清晰.定義為

此處不需要類似式(3)的單位化過程，因為后續(xù)算法對此具有自適應的過程.另外，選擇“1－”是因為算法前提為原始圖像經(jīng)過單位化處理.

緩變邊緣的現(xiàn)象表明遠距離的梯度差分可以增強邊緣響應，而且對噪聲還具有抑制的作用，因此，可以結(jié)合這個思想，盡量判斷遠距離位置上的元素差別，為了能夠突顯其影響力，則采用一個由遠及近遞減的函數(shù)，遠處權(quán)值大，而近處仍有操作，這樣全面地綜合了鄰域?qū)χ行奈恢卯a(chǎn)生的響應.

c(ξ，q)在此的含義為距離權(quán)值函數(shù)，表示為

最終的輸出圖像為

這樣，在變化幅度很小的平滑區(qū)域內(nèi)，因為d(f(ξ)，f(q))的值很小，h(q)的最終結(jié)果不會太大;而在邊緣區(qū)域，d(f(ξ)，f(q))的值很大，但由于w(ξ，q)鼓勵結(jié)合距離中心處更遠位置的響應，保證了緩變邊緣仍能被定位.

圖1給出逆Bilateral濾波在2D圖像上的響應，其中，黑白對比明顯的位置即為邊緣位置，可以看出邊緣被很好地增強出來，使得弱邊緣提取變成可能.

2.2 邊緣提取

從圖1的響應結(jié)果來看，逆Bilateral濾波將會在劇烈變化的區(qū)域附近產(chǎn)生具有明顯對比的相反值，邊緣被顯著標記出來.梯度是檢測邊緣的常用手段，如圖2(a)所示，梯度模的映射圖可以看出，邊緣位置很好地顯現(xiàn)出來，但同時會在距離塊模板大小的位置附近形成干擾梯度，然而這些位置在原始圖像上是平滑過渡的區(qū)域，因此將這兩個信息結(jié)合起來可以提取出真正的邊緣.本文的做法是:通過NMS(非最大抑制)先確定所有可能候選邊緣的位置，然后通過驗證過程確認——沿候選邊緣的方向，在原始圖像上檢測其兩側(cè)是否具有足夠大的差值，即通過閾值th來確定是否為真正的邊緣，為了讓邊緣提取算法更具適用性，判斷所需的th應具有自適應能力.

圖1 逆Bilateral濾波在Lena圖像上的響應

由于算法基于塊模板實現(xiàn)，因此在邊緣附近的塊大小范圍內(nèi)將明顯大于其鄰域的響應值，進而在真正的邊緣上和塊模板邊緣上都將產(chǎn)生很大的差別.通過NMS操作后，也將會在真實邊緣兩側(cè)產(chǎn)生兩條偽邊緣響應，但其響應值明顯會小于真正邊緣的響應值，并且在原始圖像上偽邊緣兩側(cè)是近乎平坦的，因此本算法在所有NMS獲得的候選邊緣兩側(cè)通過判斷是否存在很大的差別來確定真正的邊緣.另一方面，為了讓算法具有魯棒性，不能僅依賴相鄰的2個像素進行判斷，而應參考候選邊緣兩側(cè)多個像素進行加權(quán)判斷，關(guān)注更遠的位置.本文中，每側(cè)取2個，近遠權(quán)值分配為0.8和1.2.

對逆Bilateral濾波的結(jié)果做梯度運算，通過對梯度模的直方圖的觀察得出，非邊緣處的梯度模通常接近0，因此梯度模直方圖分布集中在很小的左側(cè)，如圖2(b)所示.從理論上來說，統(tǒng)計量能夠?qū)颖局嘘P(guān)于總體分布的未知信息盡可能地集中起來，其中，均值m是對統(tǒng)計量的中心的統(tǒng)計，標準差v是對所有統(tǒng)計量對均值的離散程度的統(tǒng)計.結(jié)合m和v確定的th，在不同的樣本(具體一幅圖像的梯度模直方圖)中，可以恰當?shù)伢w現(xiàn)出這種總體分布所蘊含的信息:即自適應地分割邊界區(qū)域梯度模值與非邊界區(qū)域梯度模值.鑒于逆Bilateral濾波的增強作用，使得直方圖分布更加趨近0，因此，選擇g＞th作為邊緣區(qū)域的梯度模值為

有時由于圖像復雜，邊緣太多，所以分布函數(shù)顯得“胖”，以很緩慢的趨勢趨近于0.這意味著，g＞th的像素較多，即高梯度模值的像素較多，正好與邊界多相符合.圖2中，圖像相對簡單，邊界較少，所以分布函數(shù)很“瘦”，函數(shù)以比較陡峭的趨勢趨近于0，式(10)可以隨著m和v的變化自適應地得到th.從實驗得出，文中α?［0.08，0.2］，后續(xù)實驗采用0.1.

圖2 逆Bilateral濾波響應的梯度模圖及其直方圖

2.3 算法流程

綜上所述，算法流程歸納為:先對輸入圖像進行單位化處理，以適用于逆Bilateral濾波公式，然后根據(jù)圖像預處理所述的逆Bilateral濾波進行圖像增強處理，將圖像的高頻部分進行增強，得到邊緣的顯著表示，接下來獲得結(jié)果圖像的梯度模圖像，基于此圖像進行NMS，得到所有可能的候選邊緣，以及通過梯度模直方圖得到閾值th，最后在原始單位化圖像上的候選邊緣兩側(cè)位置進行差分驗證確認最終的邊緣結(jié)果，流程圖如圖3所示.

圖3 算法流程圖

3 實驗設(shè)計

實驗采用4幅圖片，來說明算法的性能.提出算法的參數(shù)主要是式(7)、式(8)用的高斯模板參數(shù)，在此采用了原始Bilateral濾波的參數(shù)，窗口大小為11，式(7)中方差為0.1，式(8)中方差為3.為了更好地說明本方法，先用清晰的圖片進行實驗，之后再添加高斯噪聲來說明算法的適應性.因為算法的基礎(chǔ)是梯度差分，而在這類方法中，Sobel算子被認為是經(jīng)典邊緣提取算法中最佳的方法.Canny算子則通過添加一些機制，是目前提取結(jié)果最好的算法.

圖4為清晰圖像的實驗，可以看出Sobel算子能將顯著性的邊緣提取出來，而這種簡單地提取有時會得到很好的結(jié)果，但其適應能力有限，在Lena圖片中很多邊緣無法提取出來.本文方法在測試圖1和圖2中，雖不及Canny算子，但相比Sobel算子，能夠提取出很多的弱邊緣.在測試圖3和測試圖4中，光照條件不是一致的，測試圖3的Sobel算子有部分未能檢測出來，而本文方法檢測出的偽邊緣明顯少于Canny算子，圓圈為兩者主要差別，所提出的邊緣是很理想的，這也說明本方文法對可變光照的敏感度小于其他兩種方法.

圖4 清晰圖像實驗

在噪聲圖像的邊緣提取中，實驗中向原始清晰圖像上加入了σ=0.01的高斯噪聲.因為所有算法都是直接基于梯度的，所以均值濾波可以適度增強檢測結(jié)果，因此在噪聲圖像上采用5×5的均值平滑模板進行簡單的去噪濾波.如圖5所示，可以看出Sobel算子比較弱的適應能力，此時丟失的邊緣更多了.本文算法稍微劣于Canny算子，但效果很接近，兩者都有很好的提取效果.另一方面由于噪聲的影響，算法都將檢測出一些干擾的偽邊緣，Canny算子的結(jié)果在測試圖3和測試圖4中偽邊緣明顯多于本文方法，綜合說明了本文方法具有較強的性能和適應能力.

4 結(jié)論

1)提出逆Bilateral濾波的概念，以及在圖像處理中所起到的增強作用，并基于此添加策略進行邊緣提取.

2)實驗證明，本文提出的方法效果不錯，同時也具有很強的抗噪聲影響能力，算法及實驗證明了逆向思維在解決問題過程中能夠提供一種可行的選擇.

圖5 噪聲圖像實驗

［1］GONZALEZ R C，WOODS R E.數(shù)字圖像處理［M］.2版.北京:電子工業(yè)出版社，2003.

［2］HUANG J S，TSENG D H.Statistical theory of edge detection［J］.Computer Vision，Graphics，and Image Processing，1988，43(3):337－346.

［3］CANNY J.A computational approach to edge detection［J］.IEEE Transactions Analysis and Machine Intelligence，1986，8(6):679－698.

［4］段瑞玲，李慶祥，李玉和.圖像邊緣檢測方法研究綜述［J］.光學技術(shù)，2005，31(3):415－419.

［5］HEATH M，SARKAR S，SANOCKI T，et al.Comparison of edge detectors:A methodology and initial study［C］//Proceedings of the 1996 Conference on Computer Vision and Pattern Recognition.Washington，DC:IEEE Computer Society，1996:143－148.

［6］NALWA V，BINFORD T O.On detecting edges［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1986，8(6):699－714.

［7］LE K N，DABKE K P，EGAN G K.The hyperbolic wavelet power spectra of non-stationary signals［J］.Optical Engineering，2003，42(10):3017－3037.

［8］ROSIN P L.Comments on ground from figure discrimination［J］.Pattern Recognition Letters，2003.24 (15):2761－2766.

［9］MARTIN D R，F(xiàn)OWLKES C C，MALIK J.Learning to detect natural image boundaries using local brightness，color，and texture cues［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，2004，26(5): 1－20.

［10］AURICH V，WEULE J.Non-linear gaussian filters performing edge preserving diffusion［C］//Mustererkennung 1995，17.DAGM-Symposium.London，UK: Springer-Verlag，1995:538－545.

［11］TOMASI C，MANDUCHI R.Bilateral filtering for gray and color images［C］//oceedings of the International Conference on Computer Vision.Washington，DC: IEEE Computer Society，1998:839－846.