■馮勝 邵承民

對(duì)“雞兔同籠”問題教學(xué)的認(rèn)識(shí)和實(shí)踐

■馮勝 邵承民

如何準(zhǔn)確理解和把握課改新增加內(nèi)容，從而進(jìn)行有效的教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中更好的理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，建立數(shù)學(xué)模型，感悟數(shù)學(xué)文化，已成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的課題?！半u兔同籠”問題就是伴隨著數(shù)學(xué)課程改革出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中“數(shù)學(xué)廣角”學(xué)習(xí)板塊的“新”內(nèi)容。其實(shí)，“雞兔同籠”問題是我國民間流傳下來的一類數(shù)學(xué)妙題，是前人探究出來的知識(shí)成果，它集題型的趣味性、解法的多樣性、應(yīng)用的廣泛性于一體，堪稱歷史經(jīng)典，以往僅出現(xiàn)在“奧數(shù)”作為對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的素材。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的這一新增內(nèi)容，其教育功能與價(jià)值并不完全是要求學(xué)生解決“雞兔同籠”這個(gè)數(shù)學(xué)問題，更重要的是讓學(xué)生在解決問題的過程中建立解決這類數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)思考中逐步感悟數(shù)學(xué)思想。筆者曾參與“雞兔同籠”一課的教學(xué)研究，在此與大家分享對(duì)這節(jié)課的教學(xué)認(rèn)識(shí)和實(shí)踐。

1.充分尊重學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在自主探討中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)樂趣

建構(gòu)主義教學(xué)論認(rèn)為：知識(shí)是不能被傳遞的，而是基于主體經(jīng)驗(yàn)的主動(dòng)建構(gòu)，應(yīng)針對(duì)學(xué)習(xí)者已有的經(jīng)驗(yàn)和興趣，發(fā)揮學(xué)習(xí)者的主動(dòng)作用。因此，在教學(xué)中必須充分尊重學(xué)生的已有基礎(chǔ)，發(fā)揮他們的主動(dòng)性，賦予他們有話說、有事做的權(quán)力，參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。

雞兔同籠這一數(shù)學(xué)問題對(duì)于學(xué)生來說并不陌生，有的學(xué)生在數(shù)學(xué)讀物上看過，有的學(xué)生在數(shù)學(xué)興趣小組中學(xué)習(xí)過，甚至有的學(xué)生能還能運(yùn)用多種方法解答。但是，還有許多學(xué)生不會(huì)解決或會(huì)解決卻不知其所以然。所以，在教學(xué)中既要讓學(xué)生運(yùn)用各種途徑大膽地嘗試解決，體驗(yàn)在解決問題中帶來的成功與樂趣，又要讓學(xué)生明確本節(jié)課的目的。為此，我們進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)：

播放關(guān)于古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》和《孫子算經(jīng)》的短片，引出雞兔同籠問題。讓學(xué)生對(duì)問題解釋后，將問題“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？”簡化成例1：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”。在學(xué)生理解題目的基礎(chǔ)上，運(yùn)用自己的方法嘗試解決。

在這個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生在觀看短片的過程中感受到我國古代數(shù)學(xué)文化的博大精深，同時(shí)也在將原問題簡化成例1的過程中，體會(huì)到“化繁為簡”這一重要的數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)于例1來說，學(xué)生現(xiàn)階段的知識(shí)水平，是完全有能力解決的。

【課堂再現(xiàn)】

生1：我是先猜雞有4只，兔也有4只，但是4×4＋4×2=24只腳，不滿足條件，我接著猜雞有3只，兔有5只，3×2＋5×4剛好等于26只腳，說明我猜的是正確的。

生2：我是把雞和兔只數(shù)的每種情況列舉出來，就找到滿足條件的情況。

雞/只8 7 6 5 4 3 2 1 0兔/只0 1 2 3 4 5 6 7 8腳/只16 18 20 22 24 26 28 30 32

生3：我是運(yùn)用假設(shè)法解決的?！?/p>

可以看出，學(xué)生對(duì)問題的解決方法是多樣的，思維水平也是不同層次的，學(xué)生1的方法是運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)法，學(xué)生2的方法是列舉法，學(xué)生3的方法是假設(shè)法。

2.有效把握課堂合理的生成資源，在啟發(fā)引導(dǎo)下，建立數(shù)學(xué)模型

雖然“假設(shè)檢驗(yàn)法”和“列表法”非常直觀、易懂，學(xué)生容易接受，但是兩種方法的缺點(diǎn)也很明顯，如果題目的數(shù)據(jù)較大，則不宜采用。因此，我們將這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為理解“假設(shè)法”這一數(shù)學(xué)思想方法。如何利用現(xiàn)有的課堂生成資源，幫助學(xué)生建立“假設(shè)法”解決這類問題的數(shù)學(xué)模型，并讓學(xué)生在解決問題的過程中，獲得數(shù)學(xué)思維的提升呢？

首先，我們利用學(xué)生呈現(xiàn)的運(yùn)用列表法解決例1的表格，請(qǐng)學(xué)生思考：觀察表格，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？學(xué)生觀察交流后，幫助學(xué)生歸納出：在雞與兔總只數(shù)不變的情況下，雞每減少一只，兔就增加一只，總腳數(shù)增加兩只，反之，雞每增加一只，兔就減少一只，總腳數(shù)減少兩只。

還要讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)假設(shè)檢驗(yàn)法和列表法的局限性，通過讓學(xué)生思考后明白，采用這種假設(shè)檢驗(yàn)的方法或者列舉的方法是可以找到答案的。然后，教師再提問：你能用這兩種方法解決前面的“雞兔同籠”問題嗎？顯然，學(xué)生在比較中對(duì)幾種解答方法進(jìn)行了適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)。

要通過教師的有效教學(xué)幫助學(xué)生理解假設(shè)法并能正確運(yùn)用，就必須回答假設(shè)法是什么。我們認(rèn)為是運(yùn)用極端假設(shè)進(jìn)行的消元。正因?yàn)閮蓚€(gè)事物能夠轉(zhuǎn)化成一個(gè)，所以才“全假設(shè)成雞”或“全假設(shè)成兔”。我們進(jìn)一步思考：如果不“全假設(shè)成雞”或“全假設(shè)成兔”，而是“任意假設(shè)雞兔”，可以嗎？答案也是肯定的。

比如例1中，我么們假設(shè)有4只雞，4只兔，此時(shí)腳數(shù)為4×2＋4×4=24（只），比實(shí)際26只腳多了26-24=2（只），說明兔假設(shè)少了，而雞假設(shè)多了。兔少了多少呢？（26-24）÷（4-2）=1（只），所以，雞有4-1=3（只），而兔有4＋1=5（只）。

我們不是讓學(xué)生直接的從我們這里獲得假設(shè)法解題的模式和步驟，而是讓學(xué)生經(jīng)歷假設(shè)法的產(chǎn)生過程，只有這樣學(xué)生才不拘泥于“模型”，為學(xué)生的思維發(fā)展留下足夠的空間。

【課堂再現(xiàn)】

師：我們來大膽猜測一下這道題的結(jié)果吧。誰愿意來猜一猜？

（相機(jī)板書，如：雞16只，兔19只；雞30只，兔5只）

師：第一個(gè)同學(xué)猜對(duì)了嗎？怎樣來驗(yàn)證？（列式：16×2＋19×4=108）算出來是108只腳，腳多了說明了什么？

如果要你們在這個(gè)基礎(chǔ)上接著猜，你們會(huì)怎樣猜呢？（指2～3名學(xué)生回答）為什么你們都減少兔增加雞呢？

學(xué)生回答后，教師小結(jié)：因?yàn)橐恢煌帽纫恢浑u多兩只腳，所以腳多了的時(shí)候應(yīng)該減少兔增加雞。教師引導(dǎo)學(xué)生朝著這個(gè)方向再猜，（如：雞20只，兔15只。列式：20×2＋15×4=100）腳還是多了，還要減少兔增加雞。

師：看來，只要找對(duì)了方向，像這樣繼續(xù)猜下去，我們也可以找到答案。接下來請(qǐng)大家像剛才這樣驗(yàn)證第二組猜測，如果不對(duì)，請(qǐng)?jiān)囍M(jìn)行調(diào)整并找到答案，數(shù)一數(shù)，你做了幾次調(diào)整。

（學(xué)生活動(dòng)，教師巡視，參與討論并及時(shí)給予輔導(dǎo)。指名學(xué)生展示自己的猜測過程，教師引導(dǎo)其他學(xué)生及時(shí)作出評(píng)議）

師：剛才老師發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)調(diào)整了5次找到了答案，有的同學(xué)只調(diào)整了2次就找出答案了。想一想，能一次就調(diào)整出答案嗎？

（學(xué)生回答，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確增加a只兔，就減少a只雞，相應(yīng)的就增加2a只腳；反之，增加a只雞，就減少a只兔，相應(yīng)的就減少2a只腳）

師：多么有智慧的調(diào)整?。∵@個(gè)調(diào)整的過程怎樣用算式表示呢？

學(xué)生思考后，指名板演：

雞30只，兔5只

30×2＋5×4=80（只）

94-80=14（只）

14÷（4-2）=7（只）

30-7=23（只）……雞

5＋7=12（只）……兔

學(xué)生列式后，引導(dǎo)其他學(xué)生評(píng)議并提出問題，明確“4-2”表示什么，求出的“7”又表示什么？教師再將前面的“雞30只，兔5只”改為“假設(shè)雞有30只，兔有5只”。

師：其實(shí)，我們也可以首先假設(shè)雞是0只，兔是35只，也就是假設(shè)籠子里全是兔；或者首先假設(shè)雞35只，兔是0只，也就是假設(shè)籠子里全是雞。請(qǐng)你選擇一種，列出算式，解決問題。

指名板書計(jì)算過程：假設(shè)籠子里全是雞。

35×2＋0×4=70（只）

94-70=24（只）

24÷（4-2）=12（只）

0＋12=12（只）……雞

35-12=23（只）……兔

師：像這樣首先假設(shè)一種情況，再根據(jù)題目中的條件進(jìn)行分析調(diào)整，直到找出答案的方法就是假設(shè)法。比較這兩種假設(shè)方法，你認(rèn)為哪種更簡便？（學(xué)生自由評(píng)議）所以在解答類似的問題時(shí)，我們一般都采用后面的這種假設(shè)情況。

贈(zèng)人以金，何如授人點(diǎn)金之術(shù)？授人以漁，可以漁盡天下之魚！

3.及時(shí)豐富多樣的教學(xué)素材，在應(yīng)用拓展中，感悟數(shù)學(xué)魅力

由于“雞兔同籠”問題解題方法的特殊性（假設(shè)法），許多應(yīng)用問題都可以化為“雞兔同籠”問題。因此，我們以問題解決和生活應(yīng)用強(qiáng)化、拓展新知，把“假設(shè)法”運(yùn)用到具體的生活問題中，將學(xué)生的思維向縱深發(fā)展，感悟數(shù)學(xué)魅力。

于是在學(xué)生學(xué)習(xí)假設(shè)法之后，呈現(xiàn)了下面的兩個(gè)問題：

（1）有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112條。龜和鶴各有幾只？

（2）全班一共有58人，共租了12條船。每條大船坐6人，每條小船坐4人，恰好全都坐滿。大小船各租了幾條？

讓學(xué)生思考，這兩個(gè)問題與“雞兔同籠”問題有聯(lián)系嗎？有怎樣的聯(lián)系？讓學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)：“雞兔同籠”問題不僅僅是單純是指雞和兔的問題，還有許多數(shù)學(xué)問題可以化歸成這類問題，運(yùn)用假設(shè)法去解答。最后，讓學(xué)生獨(dú)立地解答這兩個(gè)問題。

由此可見，掌握“雞兔同籠”問題的基本解法，經(jīng)過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化和遷移，可以解決更加廣泛的數(shù)學(xué)問題。與此同時(shí)，通過日本民間流傳的“龜鶴算”與身邊的現(xiàn)實(shí)問題，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模。這樣一個(gè)首尾呼應(yīng)的課堂結(jié)構(gòu)，使學(xué)生更深刻地感受數(shù)學(xué)課堂的完整性，同時(shí)又讓學(xué)生浸染在古今中外數(shù)學(xué)文化交融的氛圍中，使數(shù)學(xué)課堂也沐浴著深厚的人文氣息。

（作者單位：馮勝華中科技大學(xué)附屬小學(xué)邵承民武漢市硚口區(qū)武藥小學(xué)）

責(zé)任編輯 廖林