金 瑾

(畢節(jié)學(xué)院數(shù)學(xué)系,貴州畢節(jié)551700)

1 定義

假設(shè)熟悉單位圓 Δ={z∶｜z｜＜1} 和全平面 C 上亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論的基本結(jié)果[1－18],采用單位圓上的Nevanlinna理論研究單位圓上的一類高階高階齊次線性微分方程的解析性質(zhì)并得到進(jìn)一步的結(jié)果．本文采用m(r,f),N(r,f),T(r,f)等Nevanlinna理論的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)[3,5,6,11]．

定義1[4]單位圓Δ內(nèi)的亞純函數(shù)f(z)的級(jí)定義為

對(duì)于單位圓Δ內(nèi)的解析函數(shù)f(z),定義

其中M(r,f)是f(z)在單位圓Δ內(nèi)的最大模．

定義2單位圓Δ內(nèi)的亞純函數(shù)f(z)的超級(jí)定義為

定義3對(duì)單位圓Δ內(nèi)的亞純函數(shù)f(z),如果

則稱單位圓Δ內(nèi)的亞純函數(shù)f(z)為可允許的．

定義 4 對(duì)于圓盤(pán) U(R)={z∶｜z｜＜R}內(nèi)的亞純函數(shù)f(z),我們定義

如果U=U(r)=Δ時(shí),記為A(r,f)．

2 證明定理所需的引理

引理 1 設(shè) f(z)是單位圓盤(pán) Δ={z∶｜z｜＜1}內(nèi)的亞純函數(shù),并且ρM(f)=ρ<∞,則對(duì)?ε＞0,存在集合

使得對(duì)?r∈E有

令

如果 r∈E,則

并且

所以由(1)和(2)式可知引理1成立．

引理2設(shè)f(z)是單位圓Δ內(nèi)可允許的亞純解析函數(shù),ε＞0,k,j是滿足 k＞j≥0 的整數(shù)．則至多除去一r值集

使得對(duì)?z∈Δ,｜z｜?E 有

其中C為正常數(shù)．

證明 根據(jù)文獻(xiàn)[18]的引理 5．1．5 及定理 5．1 的證明可知,存在一個(gè)常數(shù)C1∈（0，＋∞)和一個(gè)r值集

使得對(duì)?z∈Δ, ｜z｜=r?E,有

其中

顯然s1(r)＜s(r)＜r,又因?yàn)閒(z)是單位圓盤(pán)Δ內(nèi)可允許的亞純解析函數(shù),故由(3)式可得

引理 3 設(shè) f(z)是圓盤(pán) U(R)(z∶｜z｜＜R＜＋∞)內(nèi)的亞純函數(shù),a1,a2,a3是復(fù)球面上三個(gè)兩兩不同的數(shù),若f(z)在圓盤(pán) U(R)內(nèi)取值 a1,a2,a3的次數(shù)(不計(jì)重?cái)?shù))分別為n1,n2,n3．

則 A(r,f)＜n1+n2+n3+

其中H為一個(gè)正絕對(duì)常數(shù)．

證明(1)當(dāng)a1,a2,a3中沒(méi)有一個(gè)為零或∞時(shí)．

① ｜a1｜,｜a2｜,｜a3｜中有兩個(gè)不超過(guò) 1 時(shí)．不失一般性,設(shè)｜a1｜≤1,｜a2｜≤1,｜a3－a2｜≤｜a3－a1｜．

再設(shè)

則｜h｜≤1,且 F(z)在圓盤(pán) U(R)內(nèi)取值 0,1,∞ 的次數(shù)分別為 n1,n2,n3(不計(jì)重?cái)?shù))．從(5)可知

因此對(duì)任意的 r和 ρ(0＜r＜ρ＜R)有

又

故由(6)(7)和(8)式可得

設(shè) T0(r,f)為 f(z)的 Ahlfors－Shimizu特征函數(shù)．

則

由(9)和(10)可得

因此

由Ahfors不等式[17]可知

其中 H=28ed．

② (1)｜a1｜,｜a2｜,｜a3｜中有兩個(gè)大于 1．不失一般性,設(shè)｜a1｜＞1,｜a2｜＞1．再設(shè)和類似于(1)的論證可得,如果把f(z)和ai(i=1,2,3)用f1(z)和bi(i=1,2,3)來(lái)代替,仍然可得到

(2)當(dāng)a1,a2,a3中有一個(gè)為∞時(shí)．不失一般性,假設(shè)｜a1｜≤｜a2｜,a3=∞．再設(shè)則有f(z)=類似于(6)(7)(9)的證明可得

其中H=28ed,d為一個(gè)正絕對(duì)常數(shù)．

(3)a1,a2,a3都是有窮復(fù)數(shù)時(shí),且有一個(gè)為零時(shí)．不失一般性,假設(shè)a3=0．再設(shè)和類似于(二)的論證可得

其中H=28ed,d為一個(gè)正絕對(duì)常數(shù)．

綜上所述引理3成立．

引理 4 設(shè) f(z)是圓盤(pán) U(R)={(z∶｜z｜＜R}內(nèi)的亞純函數(shù),若存在一個(gè) r0(0＜r0＜R),使得 A(r0,f)＞m≥2,那么對(duì)任意使得m≥4(7r-r0)(logH+1)/(r-r0)的r,圓盤(pán){(z∶｜z｜＜r}為 f(z)的以(r-r0)m/4(7r-r0)－logH 為指數(shù)的充滿圓(其中H為大于1的正常數(shù))．

證明 若存在一個(gè) r(0＜r＜R),使得 U(r)={z∶｜z｜＜r}不是 f(z)以

為指數(shù)的充滿圓．其中H為引理3中的正絕對(duì)常數(shù)．則存在復(fù)數(shù)a1,a2,a3,他們間的球面距離超過(guò)e-m,f(z)在圓盤(pán) U(r)={z∶｜z｜＜r}中取這些值至多 d 次．由引理3可知

又由于 A(r,f)＞A(r0,f)＞m,故

這與m≥2矛盾．因此引理4成立．

3 定理及其證明

定理 設(shè)Aj(z)(j=1,2,…,n－1)在 Δ 內(nèi)解析,且σ0=max{ρM(Aj),j=1,2,…,k－1}＜ρM(A0)．

則微分方程

的不恒等于零的解f(z)滿足

進(jìn)一步,若f(z)是微分方程(14)在單位圓盤(pán)Δ內(nèi)可允許的亞純解,則在單位圓盤(pán)Δ內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)列{zn},使得每個(gè)圓盤(pán)

證明 設(shè)實(shí)數(shù) α 和β滿足 σ0＜α<β<ρM(A0),如果f(z)是微分方程(14)的不恒等于零的解，則有

由引理2可知,存在一個(gè)r值集

使得對(duì)?z∈Δ, ｜z｜?E1有

其中C為正常數(shù).

又由引理1可知,存在一對(duì)數(shù)測(cè)度為無(wú)窮的r值集 E2,使得對(duì)?r∈E2, ｜z｜?E1,有

將(16)式和(17)式代入(15)式可得:存在一對(duì)數(shù)測(cè)度為無(wú)窮的r值集E?[0,1],使得當(dāng)r∈E,且r→1-時(shí)有

即

從而可得

由β的任意性可知

進(jìn)一步,若f(z)是微分方程(14)在單位圓盤(pán)Δ內(nèi)可允許的亞純解,則

即

設(shè)

則對(duì)?a∈(0,1)有

否則,存在正數(shù)M和a∈(0,1),使得

則有

其中rn=1-an及rn+1=1-a(1-rn).

故

對(duì)?r∈(0,1),存在一個(gè)n,使得rn≤r

這與(18)式矛盾,故(19)式成立.

其中H是引理3中的絕對(duì)常數(shù).

將 Γ(an,ρn)分成

個(gè)區(qū)域Dnj(j=1,2,…,Kn),這里

從(20)式至少可得一個(gè)j0(1≤j0≤Kn),使得

但

其中

為指數(shù)的充滿圓.

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Where the coefficients are analytic functions in the unit disc Aj(z)(j=0,1,2,…,k-1),and relations between the growthes of the solution and the coefficeient of higher order homogeneous linear differential equations are given out,and exist of the filling circle alignment of meromorphic permissble solution of higher order homogeneous linear differential equations are proved in the unit disc.

Key wods:unit disc;order;filling circle;permissble solution