呂品，王成明，趙熙，徐國強(qiáng)

（北京航空航天大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，北京100191）

1 引言

自由盤是指在無限大空間里以一定角速度旋轉(zhuǎn)的圓盤，遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤的流體靜止，研究自由盤的流動和換熱是研究實際發(fā)動機(jī)中復(fù)雜盤腔內(nèi)流動和換熱的基礎(chǔ)，如在某些情況下，轉(zhuǎn)靜系旋轉(zhuǎn)盤腔可簡化成自由盤[1]。

對自由盤層流流動，Von karman[2]通過相似變換，將控制自由盤附近流體流動的偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程并求解，得到自由盤的局部流量系數(shù)和盤面單側(cè)力矩系數(shù)；對盤面換熱，給定盤面過余溫度n（Tw為盤面溫度、Tf為主流溫度）的情況下，Dorfman[3]、Owen[4]通過積分求解能量方程分別得到盤面局部努賽爾數(shù)。對自由盤的湍流流動，Von karman[2]、Dorfman[5]、Owen[4]分別采用理論推導(dǎo)和實驗測量的方法，得到了盤面的流量系數(shù)和力矩系數(shù)；對盤面換熱而言，給定盤面溫度邊界條件Tw-Tf=Crn，Dorfman[6]基于對數(shù)律所求出的速度場來求解能量積分方程，得到自由盤盤面的局部和平均努賽爾數(shù)。

根據(jù)以上經(jīng)典研究結(jié)果可知，自由盤盤面的換熱在一定程度上受溫度邊界條件的影響，如當(dāng)盤面過余溫度按n次單項式Tw-Tf=Crn分布時，盤面局部和平均努賽爾數(shù)要受到指數(shù)n的影響。對于盤面過余溫度按一般化的n次多項式Tw-Tf=a0+a1r+a2r2+…+anrn分布時，盤面換熱結(jié)果在以上研究中沒有給出，本文通過數(shù)值方法對此進(jìn)行了探討。

2 計算方法簡介

采用靜止坐標(biāo)系下不可壓縮流的控制方程描述問題[7]，能量方程中忽略了壓力功及耗散項；各方程的離散采用2階迎風(fēng)格式，壓力與速度的耦合采用SIMPLE算法。

2.1 計算模型及網(wǎng)格

計算模型為Tw-Tf=Cf(x)，C=0.2 m的自由盤，僅計算自由盤單側(cè)的流體域，如圖1所示。旋轉(zhuǎn)軸為z軸，計算域沿軸向范圍為10 R，沿徑向范圍為5 R；由于流體域的軸對稱特性，為節(jié)省計算資源可僅計算r-z截面的2維區(qū)域。計算網(wǎng)格采用正交4邊形網(wǎng)格，2坐標(biāo)方向的網(wǎng)格數(shù)目r×z約為140×200；由于自由盤附近流體速度及溫度梯度較大，故對盤面附近網(wǎng)格進(jìn)行加密。

2.2 物性及邊界條件

物性條件：流體為不可壓縮空氣，在開放邊處（如圖1所示），流體溫度Tf=300 K，并取此溫度下的物性參數(shù)，密度ρ=1.185 kg/m3、定壓比熱容Cp=1004.4 J/(kg·K)、黏度μ=1.831×10-5kg/(m·s)、導(dǎo)熱系數(shù)λ=0.0261 W/(m·K)。

邊界條件：（1）自由盤，盤面為無滑移條件并給定盤面轉(zhuǎn)速，自由盤層流向湍流過渡的臨界旋轉(zhuǎn)雷諾數(shù)Reω,c=ρπωR2/(30μ)=2×105[1]，R=0.2 m時對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速ωc≈740 r/min，故設(shè)置層流自由盤轉(zhuǎn)速ω=300、500、700 r/min，對應(yīng)旋轉(zhuǎn)雷諾數(shù)分別為Reω≈0.813×105、1.355×105、1.898×105；盤面溫度為Tw，盤面過余溫度Tw-Tf=Crn或Tw-Tf=a0+a1r+a2r2+…+anrn，其中Tf為開放邊流體溫度，C為常數(shù)，指數(shù)n=0、1、2、3。（2）滑移邊，邊界上為無穿透、自由滑移、絕熱條件。（3）開放邊，給定壓力Pf=1.01×105

盤面過余溫度Tw-Tf=Cr2（n=2）時

而對于任意Pr，當(dāng)盤面過余溫度為半徑的n次曲線分布Tw-Tf=Crn時，Owen[4]得到的結(jié)果為

式中:局部努賽爾數(shù)Nur=hrr/λ;hr=qw/(Tw-Tf)為盤面局部對流換熱系數(shù);qw為盤面局部熱流密度；局部旋轉(zhuǎn)雷諾數(shù)Reω,r=ρπωr2/(30μ)。

由理論解可以看到，盤面的換熱只受到指數(shù)n影響而與系數(shù)C沒有關(guān)系。需要注意的是，式（1）、（2）為精確解；式（3）則為綜合值，在0.71＜Pr＜2和0＜n＜3時，與精確解相比,最大誤差為12.6%。

同樣采用不可壓縮、常物性假設(shè)和相同的邊界條件后，利用此計算程序?qū)η笆龅淖杂杀P進(jìn)行數(shù)值計算，得到了盤面局部努賽爾數(shù)Nur隨無量綱半徑r/R的分布，如圖2所示。由圖中可見，計算結(jié)果在n=0、2時與Dorfman的Pa（Pf在開放邊入流時為總壓，出流時為靜壓）；給定溫度Tf=300K。（4）旋轉(zhuǎn)軸，z軸為旋轉(zhuǎn)軸，該軸上徑向、切向速度均為0，軸向速度和溫度沿半徑的梯度也為0。

2.3 計算程序驗證

對于自由盤盤面的換熱，1963年Dorfman[3]通過積分求解不可壓縮、常物性能量方程得到盤面局部努賽爾數(shù)的理論解。給定普朗特數(shù)Pr=0.72，盤面溫度為常數(shù)C（n=0）時精確理論解符合很好，最大誤差約為1%；而n=1、3時與Owen的綜合解偏差稍大，最大在5%左右，這是由于Owen的結(jié)果為綜合近似解而并非精確解所致。

3 計算結(jié)果分析

Tw-Tf=Cr2時系數(shù)C對盤面換熱的影響如圖3所示。從圖中可見，局部努賽爾數(shù)Nur不隨系數(shù)C改變，這與理論解的結(jié)論一致。圖4、5給出了2個轉(zhuǎn)速下盤面局部努賽爾數(shù)隨盤面溫度分布的變化情況，并與理論解進(jìn)行了對比，二者符合較好。圖中n=0、2時的Dorfman理論解分別由式（1）、（2）得到，而n=1、3時的Owen理論解則皆由式（3）得到。很明顯，局部努賽爾數(shù)均隨半徑呈直線分布，這說明此時盤面的換熱系數(shù)為常數(shù)，不隨半徑變化。理論解和數(shù)值結(jié)果均表明，n=2時的局部努賽爾數(shù)比n=0時的約大59%；計算結(jié)果中，n=1時的局部努賽爾數(shù)比n=0時的約大32%，n=3時的局部努賽爾數(shù)比n=0時的約大81%。

自由盤面溫度分布為Tw-Tf=a+br時系數(shù)a、b分別對自由盤面局部努賽爾數(shù)的影響如圖6所示。從圖中可見，局部努賽爾數(shù)Nur隨系數(shù)a的增大而減小，隨b的增大而增大。值得注意的是，所得的局部努賽爾數(shù)，數(shù)值上位于盤面分別按最高1次（Tw-Tf=br）和最低0次（Tw-Tf=a）分布時所得的局部努賽爾數(shù)之間。

自由盤面溫度分布為Tw-Tf=br+cr2時的自由盤面局部努賽爾數(shù)如圖7、8所示。從2圖中可見，局部努賽爾數(shù)b隨最低1次系數(shù)b增大而減小，隨最高2次系數(shù)c增大而增大；同樣，所得局部努賽爾數(shù)數(shù)值上介于自由盤面分別按最高次（Tw-Tf=Cr2）和最低次cr2分布時所得的局部努賽爾數(shù)之間。

自由盤面溫度分布為Tw-Tf=a+cr2時的盤面局部努賽爾數(shù)如圖9所示。局部努賽爾數(shù)Nur隨最低0次系數(shù)a的增大而減小，隨最高2次系數(shù)c的增大而增大；計算所得的局部努賽爾數(shù)介于自由盤面分別按最高次Tw-Tf=cr2和最低次（Tw-Tf=a）分布時所得的局部努賽爾數(shù)之間。從圖中可見，此時的局部努賽爾數(shù)曲線的形狀發(fā)生改變，不再是直線，說明此時自由盤面的換熱關(guān)系式不再滿足成比例的關(guān)系，也即盤面換熱系數(shù)不再為常數(shù)。

自由盤面溫度分布為Tw-Tf=a+brcr2時系數(shù)a、b、c對自由盤面局部努賽爾數(shù)的影響如圖10～12所示。從圖中可見與前面相似的情形，盤面局部努賽爾數(shù)Nur隨最低0次系數(shù)a的增大而減小，隨最高2次系數(shù)c的增大而增大。系數(shù)b對局部努賽爾數(shù)的影響則分為2個區(qū)域，r較小時2次項cr2的影響較小，隨著1次項系數(shù)b的增大，1次項在溫度分布中占主導(dǎo)地位，b可近似認(rèn)為是最高次項系數(shù)，故隨著b的增大，自由盤面局部努賽爾數(shù)增大；另外，在r值較大區(qū)域，由于2次項在溫度分布中的影響增大，1次項影響減小，故隨著b的增大，局部努賽爾數(shù)減小。計算所得局部努賽爾數(shù)介于自由盤面分別按最高次（Tw-Tf=cr2）和最低次（Tw-Tf=a）分布時所得的局部努賽爾數(shù)之間，不再滿足與成比例的關(guān)系。

在不同溫度分布下，當(dāng)過余溫度Tw-Tf成倍變化（即Tw-Tf=Cf(x)，C任意變化）時對自由盤面局部努賽爾數(shù)分布的影響如圖13所示。由圖中可以明顯看出，溫差Tw-Tf成倍變化時，自由盤面局部努賽爾數(shù)不發(fā)生改變（即不隨C的改變而改變）。事實上這與自由盤面溫度分布為Tw-Tf=C、Tw-Tf=Crn時自由盤面局部努賽爾數(shù)不隨常數(shù)C改變而改變的結(jié)論相一致。

設(shè)盤面過余溫度為n次單項式Tw-Tf=Crn分布，且當(dāng)n為0、1、2、…、n時，盤面所得的局部努賽爾數(shù)分別為Nur,0、Nur,1、Nur,2、…、Nur,n定義局部努賽爾數(shù)之比

通過對以上數(shù)據(jù)綜合分析發(fā)現(xiàn)：對自由盤層流換熱，當(dāng)盤面過余溫度按任意多項式分布時，即

與流體外掠平板時表面換熱的結(jié)果類似[8]，自由盤面局部努賽爾數(shù)Nur可由下式計算

圖14給出了過余溫度按2次多項式分布時，盤面局部努賽爾數(shù)由式（6）計算的結(jié)果與數(shù)值模擬所得結(jié)果的比較。由圖中可以看到，二者符合極好，表明了使用式（6）計算盤面過余溫度按n次多項式分布時的局部努賽爾數(shù)的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

對不可壓縮、常物性層流流動的自由盤:（1）當(dāng)盤面過余溫度Tw-Tf=a0+a1r+a2r2+…+anrn按任意多項式分布時，盤面局部努賽爾數(shù)數(shù)值上介于過余溫度單獨按多項式的最高次和最低次分布所得到的局部努賽爾數(shù)之間，且隨最高次項系數(shù)的增大而增大、隨最低次項系數(shù)的增大而減小、隨著中間次數(shù)項的系數(shù)在低半徑區(qū)域增大而增大在高半徑區(qū)域增大而減?。唬?）當(dāng)Tw-Tf=Cf(r)時，盤面的換熱不受系數(shù)C的影響；（3）當(dāng)Tw-Tf=Crn時，局部努賽爾數(shù)在所有同次多項式溫度分布下所得局部努賽爾數(shù)中為最大值；（4）當(dāng)過余溫度為半徑的任意多項式分布Tw-Tf=a0+a1r+a2r2+…+anrn時，盤面局部努賽爾數(shù)可由式（6）計算得到。

[1] 曹玉璋,陶智,徐國強(qiáng),等.航空發(fā)動機(jī)傳熱學(xué)[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社,2005.

[2] Karman Th,Von..Uber Laminare and Turbulence Rei-bung[M].Z angew.Math.Mech.,1921,1:233-252.

[3] Dorfman L,A,Translated by Kemmer N.Hydrody-namic Resistance and the Heat Loss of Rotating Solids[M].Oliver and Boyd Ltd.,1963.

[4] Owen J M,Rogers R H.Flow and Heat Transfer in Rotating-Disc Systems Rotor-Stator Systems[M].Research Studies Press,Taunton,UK,1989.

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[6] Dorfman L A.Heat Transfer from Rotating Disc[J].Inzh.-fiz.Zh.,1958,1(6):3-11.

[7] 陳懋章.粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社,2002.

[8] Eckert E R G,Drake R M.Analysis of Heat and Mass Transfer[M].McGraw-Hill,1972.