陳 濱 ，劉光祜，唐 軍，張 勇，蔡 鵬，黃 堅(jiān)，吳云松

(1. 江西財(cái)經(jīng)大學(xué)軟件與通信工程學(xué)院 南昌 330013; 2. 電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 成都 610054)

相空間法對(duì)混沌序列的自相關(guān)特性研究

陳 濱1，劉光祜2，唐 軍1，張 勇1，蔡 鵬1，黃 堅(jiān)1，吳云松1

(1. 江西財(cái)經(jīng)大學(xué)軟件與通信工程學(xué)院 南昌 330013; 2. 電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 成都 610054)

混沌序列已作為偽隨機(jī)序列得到廣泛應(yīng)用，但如何判斷混沌序列的相關(guān)特性、調(diào)制后相關(guān)特性的好壞，以及其理論依據(jù)，至今尚無(wú)定論，使其應(yīng)用受到限制。該文給出了判斷混沌序列自相關(guān)特性好壞的一個(gè)簡(jiǎn)單有效的方法。用相空間法對(duì)混沌序列的自相關(guān)特性作了研究，發(fā)現(xiàn)相空間軌跡是否具有軸對(duì)稱性與其自相關(guān)函數(shù)好壞相對(duì)應(yīng)，證明了相空間軌跡具有軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的序列有好的自相關(guān)函數(shù)，并通過(guò)仿真予以了證實(shí)。

自相關(guān); 混沌映射; 相空間; 偽隨機(jī)序列; Tent映射

混沌序列具有類隨機(jī)性[1-6]，近來(lái)已作為偽隨機(jī)序列在保密通信、雷達(dá)等方面得到廣泛應(yīng)用[3-18]。但混沌序列的自相關(guān)問(wèn)題，以及在各種調(diào)制方式下的調(diào)制后信號(hào)自相關(guān)問(wèn)題，長(zhǎng)久以來(lái)沒有得到解決，導(dǎo)致混沌序列在應(yīng)用中受到諸多限制。

近來(lái)大量文獻(xiàn)[1-11,18]欲將混沌序列作為噪聲源用于噪聲雷達(dá)。但有一些混沌序列，本身自相關(guān)特性差；還有一些混沌序列，雖然本身自相關(guān)特性好，但經(jīng)過(guò)調(diào)制后，自相關(guān)性能大幅下降[3-6]，對(duì)雷達(dá)信號(hào)的準(zhǔn)確檢測(cè)和識(shí)別很不利，引起學(xué)術(shù)界對(duì)混沌序列自相關(guān)特性及調(diào)制后自相關(guān)特性的關(guān)注[2-7]。

本文就混沌序列的自相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行探討。利用相空間方法，證明了相圖軌跡具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的混沌序列具有好的自相關(guān)函數(shù)。

1 混沌序列的相關(guān)性問(wèn)題

性能良好序列的自相關(guān)函數(shù)的波形應(yīng)為一根尖細(xì)的針形，沒有突出的副瓣，實(shí)際運(yùn)用起來(lái)才有利于信號(hào)的準(zhǔn)確檢測(cè)和識(shí)別。如圖1所示的Tent序列的自相關(guān)函數(shù)，主峰尖細(xì)，副瓣很低，以至于在圖上看不到，性能很好。Tent序列自相關(guān)函數(shù)性能雖然很好，但經(jīng)過(guò)隨機(jī)頻率調(diào)制(random frequency modulation，RFM)后，自相關(guān)函數(shù)變差，如圖2所示，副瓣很多很高，性能變差。Bernoulli序列的自相關(guān)函數(shù)曲線如圖3所示，其主峰比較粗，性能較差。因此，不僅混沌序列的自相關(guān)特性有差異，經(jīng)過(guò)調(diào)制后自相關(guān)特性也可能出現(xiàn)差異。

圖1 Tent序列調(diào)制前的歸一化自相關(guān)函數(shù)

圖2 Tent 序列調(diào)制后的歸一化自相關(guān)函數(shù)

圖3 Bernoulli序列歸一化自相關(guān)函數(shù)

2 混沌序列的二維相空間及自相關(guān)函數(shù)

對(duì)于長(zhǎng)度為N平穩(wěn)且遍歷的序列{x(n)}，其自相關(guān)函數(shù)r(m)為：

Tent序列的歸一化自相關(guān)函數(shù)性能好，即自相關(guān)函數(shù)的波形為一根尖細(xì)的針形，沒有突出的副瓣；Bernoulli序列的自相關(guān)函數(shù)主峰比較粗大，性能較差，不利于信號(hào)檢測(cè)。下面通過(guò)證明4個(gè)定理，研究它們自相關(guān)函數(shù)性能差異的原因。

3 序列二維相圖與自相關(guān)特性的聯(lián)系

圖4 Tent序列延遲1相圖

證明 因?yàn)樾蛄衅椒€(wěn)遍歷，均值為0，且延遲1的相圖軌跡依縱坐標(biāo)軸對(duì)稱，圖4為Tent序列延遲為1的相圖。因此可在延遲1相圖軌跡上任取關(guān)于縱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)D(k)、D(j)，其中D(k)的坐標(biāo)為[x1(k),x1(k+1)]，D(j)的坐標(biāo)為[x1(j),x1(j+1)]，且有x1(j)=?x1(k)，x1(k+1)=x1(j+1)。

原命題得證。

如圖4所示，Tent序列延遲1的相圖。其吸引子軌跡對(duì)縱坐標(biāo)軸x(n)=0對(duì)稱，則由定理1，其歸一化自相關(guān)函數(shù)R(1)應(yīng)趨近于0。圖5表示N=2 000的Tent序列的歸一化自相關(guān)函數(shù)，R(1)趨近于0，與定理1相符。用Logistic序列等其他序列檢驗(yàn)，可得同樣結(jié)論。

圖5 Tent序列的歸一化自相關(guān)函數(shù)

對(duì)于延遲1的相圖軌跡，依橫坐標(biāo)軸對(duì)稱的情況，有定理2。

定理2的證明與定理1的證明類似，不在此贅述。定理2中對(duì)橫坐標(biāo)軸對(duì)稱的動(dòng)力系統(tǒng)，可以用動(dòng)力系統(tǒng)的每步演化值，由概率0.5乘以(?1)得到。對(duì)Bernoulli序列作上述處理，處理后序列的歸一化自相關(guān)函數(shù)R(1)趨近于0，與定理2相符。

綜上所述，離散動(dòng)力系統(tǒng)延遲為1的相圖，無(wú)論對(duì)橫軸，或縱軸，亦或是同時(shí)對(duì)橫、縱坐標(biāo)軸統(tǒng)計(jì)對(duì)稱，都可得其歸一化自相關(guān)函數(shù)R(1)趨近于0。因此，有以下結(jié)論成立。

結(jié)論 對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)遍歷的離散實(shí)動(dòng)力系統(tǒng)：

其值域?yàn)閇?a,a]，a為正實(shí)數(shù)；{x(n)}的均值0，且取值的正負(fù)具有統(tǒng)計(jì)平衡性。

其值域?yàn)閇?a,a]，a為正實(shí)數(shù)；{x(n)}的均值為0，且取值的正負(fù)具有統(tǒng)計(jì)平衡性。

若{x(n)}的延遲為1的相圖軌跡在統(tǒng)計(jì)意義上對(duì)橫坐標(biāo)軸；或?qū)v坐標(biāo)軸對(duì)稱，或?qū)M、縱坐標(biāo)軸都對(duì)稱。

則{x(n)}除0外的任意延遲的相圖軌跡，在統(tǒng)計(jì)意義上也對(duì)該坐標(biāo)軸對(duì)稱。

證明先證明延遲1相圖軌跡對(duì)縱軸統(tǒng)計(jì)對(duì)稱的條件下，延遲為2的相圖軌跡依然對(duì)縱軸統(tǒng)計(jì)對(duì)稱。

即g[D(k)]= g[D(j)]，關(guān)于D(k)、D(j)分布的概率密度依然相等。因此，延遲2相圖軌跡依然對(duì)縱軸統(tǒng)計(jì)對(duì)稱。

同理可得，除0外的任意延遲的相圖軌跡，在統(tǒng)計(jì)意義上也對(duì)縱坐標(biāo)軸對(duì)稱。

對(duì)延遲1相圖軌跡對(duì)橫坐標(biāo)軸對(duì)稱的情況，同理可得，除0外的任意延遲的相圖軌跡，在統(tǒng)計(jì)意義上也對(duì)橫坐標(biāo)軸對(duì)稱。

綜上所述，延遲為1的相圖軌跡，在統(tǒng)計(jì)意義上對(duì)橫坐標(biāo)軸，或?qū)v坐標(biāo)軸對(duì)稱，或同時(shí)對(duì)橫、縱坐標(biāo)軸對(duì)稱的條件下，可得除0外的任意延遲的相圖軌跡，在統(tǒng)計(jì)意義上也對(duì)橫坐標(biāo)軸，或?qū)v坐標(biāo)軸對(duì)稱，或同時(shí)對(duì)橫、縱坐標(biāo)軸對(duì)稱。

原命題得證。

綜合前述結(jié)論及定理3，定理4得證。

從前述的Tent序列，可以檢驗(yàn)定理4的正確性。Tent序列滿足定理4的條件，則除m=0外的歸一化自相關(guān)函數(shù)R(m)都趨近于0，如圖5所示，與定理4相符?？疾霯ogistic序列等其他滿足定理4條件的序列，可得同樣的結(jié)論。

考察不滿足定理4條件的序列，如圖6所示N=2 000的Bernoulli序列的延遲1相圖，其軌跡既不關(guān)于橫坐標(biāo)軸對(duì)稱，也不關(guān)于縱坐標(biāo)軸對(duì)稱，圖3表示其歸一化自相關(guān)函數(shù)，可見當(dāng)|m|=1,2,3,4,5時(shí)，R(m)都較大，不趨近于0，自相關(guān)函數(shù)性能差。

至此，找到了Tent、Bernoulli序列自相關(guān)函數(shù)性能差異的原因。

定理4是針對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)而言，但可以推廣到其他序列，如噪聲序列等。

圖6 Bernoulli序列延遲1相圖

4 定理4的實(shí)質(zhì)

由定理4可知，判斷一個(gè)取值平衡的序列自相關(guān)特性，只需要在其延遲1的二維相圖上，檢驗(yàn)軌跡對(duì)坐標(biāo)軸的統(tǒng)計(jì)對(duì)稱性，若其對(duì)橫或縱坐標(biāo)軸統(tǒng)計(jì)對(duì)稱，或?qū)M、縱兩坐標(biāo)軸都統(tǒng)計(jì)對(duì)稱，則其自相關(guān)特性較好，即具有突出的主峰，沒有高的旁瓣。前面用Tent序列和Bernoulli序列檢驗(yàn)了定理4的正確性。此外，本文還檢驗(yàn)了很多其他序列，都與定理4相符。

相圖是反映一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)內(nèi)在本質(zhì)的一種工具，由它可以得知?jiǎng)恿ο到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)。一般來(lái)說(shuō)，延遲1的二維相圖，相對(duì)于其他更大延遲相圖而言，結(jié)構(gòu)最為簡(jiǎn)單、清晰。通過(guò)判斷延遲1相圖軌跡的對(duì)稱性辨別序列相關(guān)性的方法，是簡(jiǎn)單和實(shí)用的方法。

使序列取值正負(fù)平衡，是比較容易的。常見的混沌序列，如Tent序列、Bernoulli序列、Logistic序列、Chua序列、MSPL(multi-segment piecewise linear)序列[5]等，都可以滿足，或簡(jiǎn)單處理后滿足取值正負(fù)平衡。

5 結(jié)論及展望

本文利用相空間方法證明了一個(gè)取值平衡序列，若其延遲1的相圖軌跡具有坐標(biāo)軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，則其自相關(guān)函數(shù)具有較好的特性。該結(jié)論以定理4的形式給出。在后續(xù)研究中，將對(duì)本文結(jié)論(即定理4)的更多運(yùn)用和序列的調(diào)制相關(guān)性進(jìn)行探討。

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編 輯 張 俊

Research on Chaotic Sequence Autocorrelation by Phase Space Method

CHEN Bin1, LIU Guang-hu2, TANG Jun1, ZHANG Yong1, CAI Peng1, HUANG Jian1, and WU Yun-song1

(1. School of Software and Communication Engineering, Jiangxi University of Finance and Economy Nanchang 330013;2. School of Electronic Engineering , University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 610054)

Chaotic sequences have been widely used as pseudorandom sequences. But the problem of how to judge the performances of their autocorrelation functions, up to now, has not yet been solved completely. Because of this, the applications of chaotic sequences are limited. In the paper, by method of phase space, we prove that the autocorrelation performance of a chaotic sequence is determined by whether its phase space trajectory is axis symmetrical, and we deduce a theorem that a sequence which phase space trajectory is axis symmetrical has good autocorrelation performance. The theorem is verified by simulations.

autocorrelation; chaotic map; phase space; pseudorandom sequence; Tent map

TN958

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2010.06.012

2009- 05- 04;

2010- 01- 18

江西省教育廳科技基金(GJJ09286, GJJ09553, GJJ09554)

陳 濱(1971- )，男，博士生，主要從事混沌及其在雷達(dá)和通信中應(yīng)用的研究.