胡健，馬大為，程向紅，周百令

(1.南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 南京210094;2.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京210096)

在機翼撓曲變形不可忽略的情況下，采用速度加姿態(tài)匹配的方法可進(jìn)行快速傳遞對準(zhǔn)［1-2］。但用于快速傳遞對準(zhǔn)的Kalman 濾波器的階數(shù)將高達(dá)21維，故需要進(jìn)行大處理量的濾波計算，這將導(dǎo)致快速傳遞對準(zhǔn)所要求的快速濾波更新率得不到滿足。文獻(xiàn)［3］采用聯(lián)合Kalman 濾波器解決這一問題。但在聯(lián)合濾波器中，對應(yīng)于各子濾波器和主濾波器的信息分配系數(shù)β1，…，βm的取值決定了聯(lián)合濾波器的性能，而文獻(xiàn)［3］并未對信息分配系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。此外，Kalman 濾波器對系統(tǒng)模型和噪聲等不確定性因素的魯棒性能較差。文獻(xiàn)［4］采用強跟蹤Kalman濾波器來提高系統(tǒng)魯棒性，但是該方法在克服濾波發(fā)散的過程中，破壞了濾波器的最優(yōu)條件，導(dǎo)致濾波精度降低。文獻(xiàn)［5］推導(dǎo)了一種能根據(jù)每個狀態(tài)噪聲的變化來調(diào)節(jié)誤差協(xié)方差陣中相應(yīng)的漸消因子的強跟蹤濾波算法，進(jìn)一步提高了強跟蹤Kalman 濾波器的自適應(yīng)能力，但濾波精度并未得到明顯改善。

本文綜合考慮以上各因素，提出采用聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器進(jìn)行快速傳遞對準(zhǔn)。提出了一種基于模糊加權(quán)系數(shù)的誤差方差陣估計方法，以提高傳統(tǒng)強跟蹤Kalman 濾波算法的精度，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計了聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器的結(jié)構(gòu)和算法，并利用改進(jìn)的Elman 網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行信息分配系數(shù)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)。仿真結(jié)果表明，在載機進(jìn)行搖翼機動的情況下，應(yīng)用聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器進(jìn)行快速傳遞對準(zhǔn)，不僅大大減小了計算量，提高了濾波器的解算速度，而且實現(xiàn)了融合信息在各子系統(tǒng)中的自適應(yīng)分配，提高了系統(tǒng)故障魯棒性和狀態(tài)估計精度。

1 改進(jìn)的強跟蹤Kalman 濾波算法

1.1 模糊加權(quán)系數(shù)的引入

在強跟蹤Kalman 濾波算法中，誤差方差陣的估計公式［4］為

取歷史均方誤差信息矩陣V0(k)的對角線元素構(gòu)成向量Vs(k)，簡記為Vs(k)=diag［V0(k)］.同理，取當(dāng)前殘差信息矩陣εkεTk的對角線元素構(gòu)成向量Vε(k)，簡記為Vε(k)=diag［εkεTk］.相似系數(shù)rij表示2個樣本xi與xj之間的相似程度，它可以用數(shù)量積分法、夾角余弦法、距離法等確定。本文采用夾角余弦法計算向量Vs(k-1)和Vε(k)之間的相似系數(shù)rv(k)，即顯然，相似系數(shù)rv(k)的大小反映了當(dāng)前殘差信息矩陣與歷史信息陣V0(k-1)的相似程度。基于相似系數(shù)rv(k)，本文給出V0(k)估計公式V0(k)=(1 -γ)·根據(jù)相似系數(shù)rv(k)和狀態(tài)估計方差陣的跡tr(Pk-1)確定，本文稱之為模糊加權(quán)系數(shù)。

1.2 模糊加權(quán)系數(shù)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)

本文根據(jù)模糊理論對參數(shù)γ 進(jìn)行在線調(diào)節(jié)，以提高濾波器性能。模糊自適應(yīng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的輸入為當(dāng)前時刻的相似系數(shù)rv(k)和前一時刻狀態(tài)估計方差陣的跡tr(Pk-1)，它們按照Gauss 隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊化，系統(tǒng)的輸出按照重心法進(jìn)行反模糊化。

當(dāng)rv(k)較小，tr(Pk-1)也較小時，表明當(dāng)前信息陣與歷史信息陣的相似程度低，且前次濾波精度較高，歷史信息陣的估值較準(zhǔn)，則γ 應(yīng)取較小值，以減小對當(dāng)前信息陣的利用程度;當(dāng)rv(k)較小，tr(Pk-1)較大時，表明當(dāng)前信息陣與歷史信息陣的相似程度低，且前次濾波精度較低，歷史信息陣的估值不太準(zhǔn)，則γ 應(yīng)取較大值，以加大對當(dāng)前信息陣的利用程度;其余依此類推，從而得到系統(tǒng)的模糊推理規(guī)則如下:

1)如果rv(k)很小且tr(Pk-1)很小，則γ 較小;

2)如果rv(k)很小且tr(Pk-1)較小，則γ 較小;

3)如果rv(k)很小且tr(Pk-1)較大，則γ 較大;

4)如果rv(k)較小且tr(Pk-1)很小，則γ 較小;

5)如果rv(k)較小且tr(Pk-1)較小，則γ 較小;

6)如果rv(k)較小且tr(Pk-1)較大，則γ 較大;

7)如果rv(k)較大且tr(Pk-1)很小，則γ 較大;

8)如果rv(k)較大且tr(Pk-1)較小，則γ 較大;

9)如果rv(k)較大且tr(Pk-1)較大，則γ 較小。

2 聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器結(jié)構(gòu)設(shè)計

本文針對速度加姿態(tài)匹配快速傳遞對準(zhǔn)設(shè)計了一個聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。該濾波器是一種兩級數(shù)據(jù)融合結(jié)構(gòu)，具有2 個子濾波器，分別為速度子濾波器和姿態(tài)子濾波器，前者使用主慣導(dǎo)的速度數(shù)據(jù)作觀測量，后者使用主慣導(dǎo)的姿態(tài)數(shù)據(jù)作觀測量，它們均采用改進(jìn)的強跟蹤Kalman 濾波算法給出各自狀態(tài)變量的最優(yōu)估計，再由主濾波器融合2 個子濾波器的輸出，給出2 個子濾波器共同狀態(tài)的全局最優(yōu)估計.結(jié)構(gòu)中改進(jìn)的Elman 網(wǎng)絡(luò)用于將信息系數(shù)β1，β2，βm自適應(yīng)分配到各子濾波器和主濾波器中。圖中，Pcv，，Pcθ，和Pcm分別為速度子濾波器、姿態(tài)子濾波器以及主濾波器對公共狀態(tài)變量的局部最優(yōu)估計和誤差協(xié)方差陣;為Xc的全局最優(yōu)估計;Pc為全局最優(yōu)估計的誤差協(xié)方差陣;Qc為公共狀態(tài)的過程噪聲方差強度陣。

圖1 快速傳遞對準(zhǔn)聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of federated strong tracking Kalman filter for rapid transfer alignment

3 聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器信息分配

聯(lián)合濾波器的信息分配原則對于提高系統(tǒng)的可靠性、精度等具有重要意義，Carlson［7］最先提出的信息分配原則是固定比例的，考慮到在實際的高動態(tài)導(dǎo)航環(huán)境中，各子濾波器的性能和估計質(zhì)量都是不斷變化的，這時Carlson 提出的固定信息分配策略就不能夠滿足應(yīng)用的需求了。文獻(xiàn)［8 -10］提出了不同的信息分配原則。文獻(xiàn)［8］利用局部濾波和全局濾波一步預(yù)測信息陣的跡之比作為信息分配系數(shù)，從而使聯(lián)合濾波局部濾波器的設(shè)計也成為最優(yōu)。文獻(xiàn)［9］提出一種引入權(quán)衡因子的信息分配策略，能夠根據(jù)具體應(yīng)用場合靈活調(diào)整局部濾波精度和容錯性。文獻(xiàn)［10］提出了一種基于子系統(tǒng)在不同環(huán)境下可能發(fā)生的故障概率的魯棒信息分配方法，對于提高子濾波器的抗干擾能力有一定的效果。雖然關(guān)于信息分配研究成果很多，但目前為止還沒有一個統(tǒng)一的認(rèn)識。尤其是當(dāng)發(fā)生傳感器故障時，怎樣通過信息分配提高具有反饋結(jié)構(gòu)的聯(lián)合濾波器無故障子系統(tǒng)抗污染能力的問題，未引起足夠的重視，而這對于提高聯(lián)合濾波器的魯棒性和快速重構(gòu)能力具有重要意義。

Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［11-12］模型在前饋網(wǎng)絡(luò)的隱含層中增加一個承接層，作為一步延時算子，達(dá)到記憶的目的，從而使系統(tǒng)具有適應(yīng)時變特性的能力，能直接反映動態(tài)系統(tǒng)的特性。因此，本文利用改進(jìn)的Elman 網(wǎng)絡(luò)根據(jù)局部濾波器和主濾波器的實時動態(tài)性能來調(diào)整信息分配系數(shù)，可有效提高系統(tǒng)故障魯棒性和快速重構(gòu)能力。

3.1 改進(jìn)型Elman 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與訓(xùn)練算法

標(biāo)準(zhǔn)Elman 網(wǎng)絡(luò)中自反饋增益α 是固定值，一般是根據(jù)經(jīng)驗來選取，α 值選擇得不好會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，而本文考慮把各α 當(dāng)作連接權(quán)值投入到網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練中，從而實現(xiàn)自反饋增益系數(shù)的動態(tài)修正。此外，為了增加神經(jīng)元對歷史數(shù)據(jù)的敏感程度，在原Elman 網(wǎng)絡(luò)中增加了輸出層關(guān)聯(lián)單元，以存儲輸出層的歷史數(shù)據(jù)，并反饋給輸出單元，設(shè)計了一個適于本系統(tǒng)的改進(jìn)型Elman 網(wǎng)絡(luò)，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。改進(jìn)后的Elman 網(wǎng)絡(luò)具有較高的收斂精度和較短的學(xué)習(xí)時間。設(shè)網(wǎng)絡(luò)的輸入層為r 個節(jié)點，隱層和隱層關(guān)聯(lián)單元為n 個節(jié)點，輸出層和輸出層關(guān)聯(lián)單元為m 個節(jié)點，則網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

式中:Wxc，Wxu，Wyx，Wyc分別為隱層關(guān)聯(lián)單元到隱層，輸入單元到隱單元，隱單元到輸出單元及輸出層關(guān)聯(lián)單元到輸出單元的權(quán)矩陣;Wα=diag［α1，…，αn］，Wγ=diag［γ1，…，γn］為自反饋增益矩陣;f 為Sigmoid 函數(shù)。

設(shè)第k 步系統(tǒng)的實際輸出為yd(k)，定義誤差函數(shù)為將E 對連接權(quán)Wγ，Wyx，Wyc，Wα，Wxu，Wxc分別求偏導(dǎo)，由梯度下降法可得Elman 網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法為

圖2 改進(jìn)型Elman 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of improved Elman network

3.2 基于改進(jìn)型Elman 網(wǎng)絡(luò)的信息系數(shù)分配方法

將第i 個子濾波器的估計誤差協(xié)方差陣Pi進(jìn)行特征值分解，即Pi=LΛiLT，其中Λi=diag{λi2，…，λiN}，定義第i 個子濾波器的精度因子Ei=trΛi，它反映了第i 個子濾波器的濾波精度。定義第i 個子濾波器的故障因子ρi(k)=‖Zi(k)-Hi(k)Xi(k，k-1)‖，它反映了第i 個子濾波器的故障程度。令所有子濾波器的Ei，ρi和主濾波器的Em構(gòu)成Elman網(wǎng)絡(luò)的輸入向量u={E1，ρ1，…，El，ρl，Em}T，令所有子濾波器和主濾波器的信息分配系數(shù)βi構(gòu)成Elman網(wǎng)絡(luò)的輸出向量y={β1，…，βl，βm}T，則利用訓(xùn)練好的Elman 網(wǎng)絡(luò)就可以進(jìn)行信息分配系數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)。根據(jù)精度越低，故障程度越大，分配的信息分配系數(shù)越大的原則［8-9］，并結(jié)合聯(lián)合Kalman 濾波器的仿真結(jié)果給出網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本，進(jìn)行離線訓(xùn)練。

為保證信息分配系數(shù)滿足信息守恒原理，再對Elman 網(wǎng)絡(luò)的輸出進(jìn)行修正

4 聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器算法設(shè)計

4.1 聯(lián)合濾波算法流程

結(jié)合圖1，本文提出聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波算法如下:

1)給定初值

初值包括濾波估計初值，協(xié)方差陣P0，系統(tǒng)協(xié)方差陣Q0以及系統(tǒng)信息分配系數(shù)向量初值;

2)信息分配

利用改進(jìn)的Elman 網(wǎng)絡(luò)解算出新的信息分配系數(shù)向量，自適應(yīng)調(diào)整信息分配系數(shù)，公共狀態(tài)變量信息按信息守恒原理在各濾波器間進(jìn)行分配

3)子濾波器進(jìn)行時間更新和測量更新

①時間更新:各子濾波器根據(jù)各自的狀態(tài)方程進(jìn)行時間更新，算法如下

②測量更新:當(dāng)有量測值時，各子濾波器根據(jù)量測值進(jìn)行修正，即進(jìn)行量測更新，算法如下

4)主濾波器時間更新

主濾波器根據(jù)自己的狀態(tài)方程進(jìn)行時間更新，算法如下

式中:L(k)為時變的漸消矩陣;λi(k)≥1，i =1，…，n，為n 個時變的漸消因子，

5)信息全局融合

在各濾波器計算出各自的局部估計之后，由主濾波器把各濾波器的公共狀態(tài)和Pcm按照(23)式和(24)式進(jìn)行信息的全局融合，得到全局估計信息

融合后，返回步驟2)作循環(huán)。

4.2 聯(lián)合濾波算法的簡化

應(yīng)用模糊方法進(jìn)行模糊加權(quán)系數(shù)的計算較為麻煩。在實際應(yīng)用中，可以預(yù)先進(jìn)行各種歸一化輸入量的模糊加權(quán)系數(shù)計算，并將計算結(jié)果存入計算機。在實時計算中只要將輸入量按照同樣的方法進(jìn)行歸一化，然后通過查表即可得到模糊加權(quán)系數(shù)的量值，而不必進(jìn)行復(fù)雜的計算。相似系數(shù)本身在［0，1］內(nèi)，無需再進(jìn)行歸一化;對于tr(Pk-1)，可事先根據(jù)導(dǎo)航子系統(tǒng)濾波的實測值或理論計算值，得到導(dǎo)航子系統(tǒng)精度最差值，即tr(Pk-1)的最大值，將子濾波器的tr(Pk-1)除以最大值，由此可將tr(Pk-1)的歸一化值約束在［0，1］內(nèi)，從而完成歸一化過程。

5 系統(tǒng)仿真

假定載機進(jìn)行搖翼機動，橫滾角的最大偏角為20°，機動周期為6 s，飛行速度200 m/s.子慣導(dǎo)陀螺常值漂移1°/h，隨機漂移1°/h;加速度計常值偏置500 ×10-6，隨機誤差100 ×10-6.主濾波器初始信息分配系數(shù)為0.2，2 個子濾波器的初始信息分配系數(shù)為0.4，Elman 網(wǎng)絡(luò)輸入層節(jié)點數(shù)為5，隱層節(jié)點數(shù)取為8，輸出層節(jié)點數(shù)為3，從而形成5 -8 -3 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)步長均選為0.15.

1)假定速度觀測噪聲是以二階馬爾可夫為隨機過程的有色噪聲。分別應(yīng)用聯(lián)合強跟蹤Kalman濾波器和集中Kalman 濾波器對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計。圖3給出了2 種濾波器的東、北、天向失準(zhǔn)角估計誤差(δφe，δφn，δφu)對比曲線，表1列出了2 種濾波器的對準(zhǔn)精度。通過比較可以看出，聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器在10 s 內(nèi)對東、北、天向失準(zhǔn)角的估計誤差可以收斂到3'以內(nèi)，估計精度比集中Kalman 濾波器要高，而對安裝誤差角和機翼撓曲變形角的估計精度比集中Kalman 濾波器要提高一個數(shù)量級。

圖3 觀測噪聲為有色噪聲時的2 種方法比較Fig.3 Comparison of two methods under coloured noise

2)假設(shè)速度傳感器在10～15 s 之間發(fā)生故障而后恢復(fù)正常。使用本文的方法與使用集中Kalman 濾波器對東、北、天向失準(zhǔn)角估計誤差對比曲線，如圖4所示。從圖4中可以看出，使用聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器時，速度傳感器恢復(fù)正常后，濾波器迅速恢復(fù)正常工作，而使用集中Kalman 濾波器，濾波結(jié)果出現(xiàn)發(fā)散。這表明，使用本文的方法，系統(tǒng)對故障的魯棒性較好。

表1 使用不同濾波器進(jìn)行對準(zhǔn)的對準(zhǔn)精度對比(10 s 內(nèi))Tab.1 The comparison of alignment accuracy of two different filter (in 10 s)

圖4 速度傳感器故障時的2 種方法比較Fig.4 Comparison of two methods when speed sensor malfunctions

由此可見，本文設(shè)計的聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器顯著減少了有色噪聲對濾波器誤差特性的干擾，且具有較強的故障魯棒性，提高了系統(tǒng)狀態(tài)估計精度和抗干擾能力，并大大減小了計算量，提高了濾波器的解算速度。

6 結(jié)論

本文提出了一種適用于快速傳遞對準(zhǔn)的聯(lián)合強跟蹤Kalman 濾波器，它利用模糊加權(quán)系數(shù)對誤差方差陣進(jìn)行估計以提高傳統(tǒng)STF 的濾波精度，并利用改進(jìn)的Elman 網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行信息分配系數(shù)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)。仿真結(jié)果表明該算法可以降低系統(tǒng)模型和噪聲不確定性的影響，提高系統(tǒng)故障魯棒性和對準(zhǔn)精度，并大大減小計算量，提高解算速度。

References)

［1］Shortelle K J，Graham W R，Rabourn C.F-16 flight tests of a rapid transfer alignment procedure［C］∥IEEE Position Location and Navigation Symposium，Piscataway:IEEE，1998:379 -386.

［2］Joon Lyou，You-Chol Lim.Transfer alignment error compensator design based on robust state estimation［C］∥Transactions of the Japan Society for Aeronautical and Space Sciences，Tokyo:Japan:Society for Aeronautical and Space Sciences，2005:143 -151.

［3］GU Dong-qing，QIN Yong-yuan，PENG Rong，et al.Rapid transfer alignment using federated kalman filter［J］.Transactions of Nanjing University of Aeronautics ＆ Astronautics，2005，22(2):139 -143.

［4］付夢印，鄧志紅，張繼偉.Kalman 濾波理論及其在導(dǎo)航系統(tǒng)中的應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2003.FU Meng-yin，DENG Zhi-hong，ZHANG Ji-wei.Kalman filtering theory and its application in the navigation system［M］.Beijing:Science Press，2003.(in Chinese)

［5］王新國，許化龍，李愛華.一種應(yīng)用于星光觀測導(dǎo)彈姿態(tài)確定的強跟蹤濾波算法［J］.宇航學(xué)報，2008，29(3):873 -877.WANG Xin-guo，XU Hua-long，LI Ai-hua.A novel strong tracking EKF algorithm in application of missile attitude determination by star observations［J］.Journal of Astronautics，2008，29(3):873 -877.(in Chinese)

［6］程向紅，萬德鈞.分布式系統(tǒng)中捷聯(lián)慣性系統(tǒng)動基座對準(zhǔn)研究［J］.中國慣性技術(shù)學(xué)報，2004，12(6):8 -12.CHENG Xiang-hong，WAN De-jun.Initial alignment of distributed strapdown inertial system on moving base［J］.Jounal of Chinese Inertial Technology，2004，12(6):8 -12.(in Chinese)

［7］Carlson N A.Federated Kalman filter simulation results［J］.Navigation，1994，41(3):297 -321.

［8］Jamshaid Ali，F(xiàn)ang Jian Cheng.SINS/ANS/GPS integration using federated Kalman filter based on optimized information-sharing coefficients［C］∥AIAA Guidance，Navigation，and Control Conf，Reston:AIAA，2005:6028 -6040.

［9］李金梁，吳訓(xùn)忠，張宗麟.基于矩陣攝動理論的聯(lián)邦濾波信息分配方法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2007，29(11):1940-1944.LI Jin-liang，WU Xun-zhong，ZHANG Zong-lin.Information-sharing approach to federated filtering based on matrix perturbation theory［J］.Systems Engineering and Electronics，2007，29(11):1940 -1944.(in Chinese)

［10］胡志強，張瑛，邱愷.基于故障概率的聯(lián)邦濾波魯棒信息分配方法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008，30(9):1801 -1804.HU Zhi-qiang，ZHANG Ying，QIU Kai.Robust information sharing scheme for federated filter based on fault probability［J］.Systems Engineering and Electronics，2008，30(9):1801 -1804.(in Chinese)

［11］HE Hai-tao，TIAN Xia.An improved Elman network and its application in flatness prediction modeling［C］∥Second International Conference on Innovative Computing，Information and Control，ICICIC 2007，Piscataway:IEEE Computer Society，2008:44 -48.

［12］REN Xue-mei，CHEN Jie，GONG Zhi-hao，et al.Approximation property of the modified elman network［J］.Journal of Beijing Institute of Technology，2002，11(1):19 -23.