?浙江省寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中學 杜開未

對中考中幾個亮點試題的賞析

?浙江省寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中學 杜開未

圖1－1

圖1－2

在每年中考試題中都能看到很多亮點試題，所謂亮點，應具備：題新不怪、知識常用、視角新穎，方法直觀、由易至難、梯度合理，其最大的特色應該是每個學生通過自己的努力都能有不同程度的收獲，有助于增強學生答題時的自信心，激發(fā)他們的斗志，便于盡情發(fā)揮.

一、在熟透知識中考查應變能力——活用等底等高等面積

面積計算中的高、底是學生最熟悉不過的知識，面積的計算又是最簡單的公式套用，因此對高、底、積常缺乏深入的拓展研究.活用面積公式中的等底等高等面積，在近幾年中考試題中是比較常見的，并且考查范圍也越來越廣泛.等底等高等面積的作圖考查，試題難度不高，卻突出了知識的基礎、創(chuàng)新、活用等特點.

例1：（2008年福建省莆田市）某市要在一塊平行四邊形ABCD的空地上建造一個四邊形花園，要求花園所占面積是平行四邊形 ABCD面積的一半，并且四邊形花園的四個頂點作為出入口，要求分別在平行四邊形ABCD的四條邊上，請你設計兩種方案：

（1）如圖1－1所示，兩個出入口E、F已確定，請在圖1-1上畫出符合要求的四邊形花園，并簡要說明畫法；

（2）如圖1－2所示，一個出入口M已確定，請在圖1-2上畫出符合要求的梯形花園，并簡要說明畫法.

【評析】題意簡明，但由于四邊形中兩個點的不確定性，給學生帶來許多遐想，關鍵看學生能否通過分析，聯(lián)想到平行線，等底等高等面積的思路.（如下頁左上圖）一般來說，學生畫出草圖后，對動點G、H的位置分析，需建立在對平行線性質(zhì)及相關知識的熟悉程度，特別是平行四邊形與三角形的面積關系上.本題考查：①靈活構造平行線，運用平行線相關性質(zhì)；②活用面積公式中的等底等高等面積；③平行四邊形知識及平行四邊形與三角形面積關系.

作法：方案（1）：

畫法1：

①過F作FH∥AB交AD于點H.

②在DC上任取一點G連接EF、FG、GH、HE.則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形（下頁左上圖）；

畫法2：

①過F作FH∥AB交AD于點H.

②過E作EG∥AD交DC于點G，連接EF、FG、GH、HE.則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形（下圖）.

畫法3：

①在AD上取一點H，使DH＝CF.

②在CD上任取一點G連接EF、FG、GH、HE.則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形（下圖）.

方案（2）：

畫法：①過M點作MP∥AB交AD于點P.

②在AB上取一點Q，連接PQ.

③過M作MN∥PQ交DC于點N，連接QM、PN、MN.則四邊形QMNP就是所要畫的四邊形（下圖）.

二、在學為所用中考查實用能力——定圓覆蓋定區(qū)域問題

用圓面覆蓋一個特定的區(qū)域，在現(xiàn)代通訊設施中經(jīng)常用到，如在衛(wèi)星、手機信號發(fā)射塔等；這是近幾年中考中出現(xiàn)得比較新的問題，往往會激發(fā)學生對生活環(huán)境的再認識，對所學知識的再思考.由于圓心或半徑的不確定性，造成覆蓋區(qū)域的大小變化，解題時需增加動態(tài)變化思考，抓住動態(tài)中的規(guī)律是試題的主要思想.

例2：（2008年江蘇省無錫市）一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km.現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市.問：（1）能否找到4個這樣的安裝點，使得這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預設的要求？（2）至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達到預設的要求？

答題要求：請你在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計算、推理和文字來說明你的理由.（下面給出了幾個邊長為30km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時選用.）

【評析】覆蓋問題是圓結(jié)合其他幾何知識點綜合運用的另一方式，在競賽題中出現(xiàn)比較多.只要關注定圓覆蓋的最大、最小區(qū)域，或覆蓋中的最大、最小圓半徑即可解決問題，其所用到的知識也只是圓的概念、勾股定理等一些基本計算問題.思維過程不復雜，就是看能不能分析、思考到位，這是思維縝密性程度的問題.本題是一個圓覆蓋正方形的問題，顯然重點在于找出圓心所在位置.由題意可以得到正方形對角線長度為≈42.42＜62，故對問（1），安裝4個，答案有多種，如圖2-2，①可先把大正方形分割成4個全等的小正方形，然后安裝在4個小正方形的對角線交點上.②4個點設在大正方形各邊的中點也可以.對問（2），因為＞31，故一個安裝點不能覆蓋大正方形，可以知道一個安裝點必須安在正方形一邊的中垂線上，其覆蓋的最大區(qū)域是一個對角線長為31km矩形，此時矩形的寬為≈7.810，顯然＜30，可知安裝兩個點也不夠.如圖2-3，分割大正方形，取EF中點O，當AE=時，DE=30-，OD＝≈26.78＜31，顯然至少要安裝3個才能覆蓋.

三、在數(shù)學文化中考查數(shù)學思想——圓球二積的轉(zhuǎn)化運算

對圓面積、球體積的公式運算，那是最為簡單的問題，然而在中國數(shù)學文化中，有許多數(shù)學家在解決數(shù)學事件中運用的數(shù)學思想?yún)s是讓人贊嘆不絕的，這類問題激發(fā)了學生的解題熱情，對學生的思想起著積極的推動作用.

四、在新定義型試題中考查新思想——旋轉(zhuǎn)和相似結(jié)合思想

新定義型試題往往給出一個新概念、新名稱，以運算形式、幾何證明、函數(shù)等形式出現(xiàn)，考查學生在短時間內(nèi)，以最快的速度理解、接受并運用新知識解答數(shù)學問題.新定義試題除了一般優(yōu)點之外，同時還注入新的數(shù)學思想方法.一方面是體現(xiàn)了新定義型試題結(jié)構、命題思想日趨成熟，另一方面也是對學生知識方法的滲透.

例4：（2007年江蘇省南京市）在平面內(nèi)，先將1個多邊形以點O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k，并且原多邊形上的任一點P，它的對應點P'在線段OP或其延長線上；接著將所得多邊形以點O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ，這種經(jīng)過放縮和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），其中點O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉(zhuǎn)角.

（1）填空：①如圖4-1，將△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為A（____，_____）；

②如圖4-2，△ABC是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE，則線段BD的長為_____cm；

（2）如圖4-3，分別以銳角三角形ABC的三邊AB，BC，CA為邊向外作正方形ADEB、BFGC、CHIA，點O1，O2，O3分別是這三個正方形的對角線交點，試分別利用△AO1O3與△ABI，△CIB與△CAO2之間的關系，運用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識說明線段O1O3與AO2之間的關系.

【評析】往常在幾何推理中總是把旋轉(zhuǎn)和相似分步解決.本題把旋轉(zhuǎn)和相似結(jié)合起來，形成一種新的圖形變換形式，對學生在幾何思維方面有較大的幫助.通過（1）的簡單應用，在（2）中得到升華：介紹了一種同時能證明線段相等、垂直關系的一種數(shù)學方法，用旋轉(zhuǎn)相似組合變換思想，同時把相似三角形之間邊之間的數(shù)量關系和角度關系同時說明，顯得說理過程簡潔明了，不像在平時學習中把邊的數(shù)量關系和邊的位置關系分開說理那樣復雜，這是一種很好的說理方法，對學生來說，可以作為以后解答數(shù)學問題的一種思想方法.問（2）思路分析：因△AO1O3∽△ABI,可理解△AO1O3放大，逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△ABI，即線段O1O3放大倍后，再逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到BI；同理可理解BI放大，再逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到AO2，因此O1O3=AO2，O1O3⊥AO2

簡解：（1）①2，60°；②2.

五、在實際問題中考查尺規(guī)作圖——尺規(guī)劃分的奧運場館

尺規(guī)作圖主要是考查常規(guī)作圖技能，有時還需要簡單的幾何推理作輔助，對目標圖形進行作圖原理分析、作圖方法探索.雖然題目要求比單純的技能操作上了一個檔次，但這充分顯示了尺規(guī)作圖的本質(zhì)含義.本例技能與推理相結(jié)合，實踐應用性強，問題簡明，思考角度直接，突出了尺規(guī)作圖本質(zhì)與實際的意義.

例5：（2008年浙江省麗水市）如圖5-1是2008年北京奧運會某比賽場館的平面圖，根據(jù)距離比賽場地的遠近和視角的不同，將觀賽場地劃分成A、B、C三個不同的票價區(qū).其中與場地邊緣MN的視角大于或等于45°，并且距場地邊緣MN的距離不超過30米的區(qū)域劃分為A票區(qū)，B票區(qū)如圖所示，剩下的為C票區(qū).

（1）請你利用尺規(guī)作圖，在觀賽場地中，作出A票區(qū)所在的區(qū)域（只要求作出圖形，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）如果每個座位所占的平均面積是0.8平方米，請估算A票區(qū)有多少個座位.

【評析】結(jié)合了奧運場館票區(qū)的劃分、視角的特征，比單純地說明圓周角，顯得更有創(chuàng)意，更有實際應用價值.本題考查的只是尺規(guī)作圖與圓周角概念的有效結(jié)合及簡單的面積計算.

作法：（1）如圖5-2，作線段MN的中垂線交MN為點G，取GO等于MG，以點O為圓心，以OM為半徑畫圓弧交虛線（與場地邊緣MN相距30米）為點E、F，則EF與所圍成的區(qū)域就是A票區(qū).

（2）連接OM、ON、OE、OF，設MN的中垂線與EF交于H.由題意得∠MON=90°.

六、對亮點試題的新認識

1.亮點試題的價值.

讓更多的人知道中考只是考查基本知識、基本技能、基本思想.中考復習時間的比例應側(cè)重于基礎知識、技能的訓練，重視解題思想、解題方法的研究與運用，不必為獲取高分走解難題、怪題的路.重視多變的教學方式、學習方式，讓學生多多合作交流，交流多角度的思維方式、多元的解決問題方法，達到共同提高能力的目的.

2.亮點試題的來源.

試題往往來源于：學生易錯的題型，師生都不太重視的“熟悉”題型，常用知識結(jié)合實際問題的換臉題型，數(shù)學方法在新環(huán)境中的運用題型，等等；而要提高學生的學習能力，特別解決問題的能力，筆者認為在抓好“三基”的同時，應培養(yǎng)學生良好的思維習慣，讓學生學會在合作中互相編制題目考查對方，在日常生活中能從數(shù)學角度看問題、發(fā)現(xiàn)問題、探討問題、解決問題.當然作為教師在關注學生的全程學習水平外，還要用不同的精制題型以及自編的新題型撞擊學生的“軟肋”.特別是教師自編題型往往來源于學生的平時薄弱環(huán)節(jié)，對學生的教學效果會有更好一些.

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?編輯/張燁