楊宏軍

一次函數(shù)的圖像,可以直觀地確定出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集及二元一次方程組的解等問(wèn)題?？梢泽w會(huì)到方程(組)、不等式的解及二元一次方程組的解與圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)密切關(guān)系,可品味出數(shù)學(xué)結(jié)合思想的內(nèi)在的魅力。下面舉例說(shuō)明如下:

例1 一個(gè)物體現(xiàn)在的速度是5m/s,其速度每秒增加2m/s,再過(guò)幾秒它的速度為17m/s?

[解]方法一:設(shè)再過(guò)x秒物體速度為17m/s.由題意可知:2x+5=17解之得:x=6。

方法二:速度y(m/s)是時(shí)間x(s)的函數(shù),關(guān)系式為:y=2x+5。當(dāng)函數(shù)值為17時(shí),對(duì)應(yīng)的自變量x值可通過(guò)解方程2x+5=17得到x=6。

方法三:由2x+5=17可變形得到:2x-12=0。

直線y=2x-12與x軸的交點(diǎn)為(6,0)。得x=6。

說(shuō)明:這個(gè)題我們通過(guò)三種方法,從方程、函數(shù)解析式及圖像三個(gè)不同方面進(jìn)行解答.它是數(shù)與形的完美結(jié)合,結(jié)果是相同的,這就是特途同歸。

例2.用畫(huà)圖像的方法解不等式2x+1>3x+4

分析:(1)可將不等式化為-x-3>0,作出直線y=-x-3,然后觀察:自變量x取何值時(shí),圖像上的點(diǎn)在x軸上方?或(2)畫(huà)出直線y=2x+1與y=3x+4,然后觀察:對(duì)于哪些x的值,直線y=2x+1上的點(diǎn)在直線y=3x+4上相應(yīng)的點(diǎn)的上方? 解:方法(1)原不等式為:-x-3>0,在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=-x-3的圖像。從圖像可以看出,當(dāng)x<-3時(shí)這條直線上的點(diǎn)在x軸上方,即這時(shí)y=-x-3>0,因此不等式的解集是x<-3。

方法(2)把原不等式的兩邊看著是兩個(gè)一次函數(shù),在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出直線y=2x+1與y=3x+4,從圖像上可以看出它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x=-3,因此當(dāng)x<-3時(shí),對(duì)于同一個(gè)x的值,直線y=2x+1上的點(diǎn)在直線y=3x+4上相應(yīng)點(diǎn)的上方,此時(shí)有2x+1>3x+4,因此不等式的解集是x<-3。兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo),就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解。

例3 兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式如下:

全球通 神州行

月租費(fèi)50元/月0

本地通話費(fèi) 0.40元/分 0.60元/分 如何選擇計(jì)費(fèi)方式更省錢(qián) ?

解:設(shè)一個(gè)通話時(shí)間累計(jì)為x分,全球通與神州行兩種計(jì)費(fèi)差額為y元,則y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式為:

y=(0.40x+50)-0.60x

化簡(jiǎn)為:y=-0.20x+50

在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)函數(shù)圖像。

計(jì)算出直線y=-0.20x+50與x軸的交點(diǎn)為(250,0)。

當(dāng)00,即選神州行省錢(qián)。

當(dāng)x=250時(shí),y=0,即選神州行與全球通沒(méi)有區(qū)別。

當(dāng)x>250時(shí),y<0,即選全球通省錢(qián)。

例4.已知直線y=(1-3k)x+2k-1。

(1)k為何值時(shí),直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn);

(2)k為何值時(shí),直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-2);

(3)k為何值時(shí),直線與x軸的交于( ,0);

(4)k為何值時(shí),y隨x增大而增大;

(5)k為何值時(shí),直線與直線y=-3x-5平行? (

研析:此題綜合考查了一次函數(shù)的基本性質(zhì):(1)直線過(guò)原點(diǎn) 2k-1=0。(2)直線與y軸交點(diǎn)為(0,-2)。當(dāng)x=0時(shí),y=-2。(3)直線于x軸交于(3/4 ,0)當(dāng)x= 時(shí),y=0.(4) y隨x增大而增大,1-3k>0。(5)直線與y=-3x-5平行 1-3k=-3. )。

解:

(1)當(dāng)2k-1=0,即k= 時(shí),直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

(2)當(dāng)x=0時(shí),y=-2,即2k-1=-2,k=-時(shí),直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-2)。

(3)當(dāng)x=時(shí),y=0,即0= (1-3k)+2k-1,k=-1.當(dāng)k=-1時(shí),直線與x軸交于( ,0)。

(4)當(dāng)1-3k>0,即k< 時(shí), y隨x增大而增大。

(5)當(dāng)1-3k=-3,即k= 時(shí),直線于y=-3x-5平行。

說(shuō)明: 對(duì)于直線y=kx+b,直線過(guò)原點(diǎn) b=0, y隨x增大而增大(減小)k>0(k<0);與另一直線y=mx+n平行 k=m。

把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題,有時(shí)會(huì)取得非常良好的效果,這種數(shù)形結(jié)合的思想方法是講解一次函數(shù)圖像的一個(gè)主線?！?

(編輯/李舶)